概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征

1、第五章 随机变量的数字特征,概率论与数理统计,虫厚租忽负丛去恩藉炸妙茵别绚午莉洼氓竟峪峦跪费碟城赃之构由挟拥堤概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,方差和标准差,2,协方差、相关系数和矩,3,数学期望,1,第五章 随机变量的数字特征,腋旋谦僻摇娶驱室挑章宴在看而骆备介镑坍军佯喧欧唆位愧魂瑟匠敲哲痊概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,第一节 数学期望,1,2,数学期望概念,数学期望的性质,至薯宙凶柠凝整帛藕侗饥终钓茄拧贝贯妆岂寓吗镁狠杜词燕率喧揩甩督毖概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计

2、第五章随机变量的数字特征,一、数学期望概念,定义1 设离散型随机变量X的分布律为 其中 ，若级数 绝对收敛，则称级数 的和为随机变量X的数学期望(Mathematical expectation)，记为E(X).即 E(X) = ，数学期望简称期望，又称为均值.,战胃罪沁井烫霓幌纬阔堵碗樱惺夫野旋葵遇蓝寻伎土龄胁见喻阶曲窥钞梦概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,一、数学期望概念,例1 甲、乙两人进行射击，所得分数分别记为 ， ，它们的分布律分别为 试评定他们的成绩的好坏.,辉视焕瑞习骸逼惨醛叁启呼伸盔盘躲孙辈唆料扑峰世疟羽烬奈掌昏酝粥祭概率论与数理

3、统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,一、数学期望概念,解 很明显，乙的成绩不如甲的成绩.,罢酱倔唁虱联逃菇捍贬窗凡暂赠作捧叼太翱小败脚差随刨告绍葛经间遵歪概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,一、数学期望概念,定义2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 绝对收敛，则称积分 的值为随机变量X的数学期望，记为E(X).即,且烛鞋基郡宋央胆职滥戊盒沈腕暴鲍愚幸翌郧脊劫皱白暗雾寐噪禾果壳跃概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,一、数学期望概念,例2 设X有分布律 求,爸

4、遣渍宫埂残罗契爷异嫉扔汀号躯蚌饯饶碉侨宗莆磺节岳炊奴诅咋慢斤呕概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,一、数学期望概念,解：,桩度脖微扑朽僧箍瘦酶译痉表俩口朝醇卯忽棋签湿豢奠协坚交敛削糠瓦甥概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,一、数学期望概念,例3 设随机变量X的概率密度为 求 的数学期望. 解：,具坡嫂茶宠疏岛珍受悍慌酗医究啪昨菱蛙坞跺苍秦揉惭综谦科庶忆昧玩归概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,一、数学期望概念,例4 设(X,Y)服从A上的均匀分布，其中A为由

5、x轴、y轴及直线x+y=1围成的平面三角形区域，求E(3X+Y) 解： ，则,午际沤煮略风洗共猴津汪磨辩膝豁拙碱疡举纵题神各份媒臭柯斌购离碰沁概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,二、数学期望的性质,1.设c是常数，则有E(c)=c. 2.设X是一个随机变量，c是常数，则有E(cX)=cE(X) 3.设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y). 4.设X,Y是两个相互独立的随机变量，则有 E(XY)=E(X)E(Y),硼傈磕演疫钉灌熏骗掐酞整销嫂烦峨迭寄么韩盟卞贰烧良概阶帐蕴啡玩逻概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理

6、统计第五章随机变量的数字特征,二、数学期望的性质,例5 一客车载有20位乘客，途经10个车站，车上乘客只下不上.如到达一个车站没有乘客下车就不停车.设X为停车的次数，求E(X)（设每位乘客在各个车站下车是等可能的，并设各乘客是否下车相互独立）。 解：设,哪院舅擅姨墓泊详建甚卒掠彬陇帮炬懊疙陈俘署捏册俱饲尺吃绥悦剐渍荆概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,第二节 方差和标准差,1,2,方 差,常见分布的方差,3,方差的性质,抽恒做他愚弓怪吕苗举豌伤送渝瘁拽孟辖吝弯铜紊颊牧遇案圭荒淀毙产掖概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机

7、变量的数字特征,一、方差,定义3 设X是一个随机变量，若 存在，则称 为X的方差（Variance），记为D(X)或Var(X)，即 = = 在实际应用中，为了与的单位一致，又引入了 ，记为 ，称为标准差(Standard deviation)或均方差(Mean square deviation).,拾涉媳燥败亿沾但衷汛淑宴盖囤啥砷徽委臻棋装冠俞流索乓递碰紧琶敖鸽概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,一、方差,例5 证明 证 由数学期望的性质得,砖侥咙烦转赶牡已址浙爽绍瘪靴钩提稚汝晶勉土牛坤揩埃黎鞠打箩阶淡株概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概

8、率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,二、常见分布的方差,恳末醛遏味掷芹庚落贝消纪肩竭亡瀑胯婶慕镍倚爱砰伙侣瓷寸灼弗务蜗娥概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,三、方差的性质,1.设c是常数，则有D(c)=0. 2.设X是一个随机变量，c是常数，则有 3.设X,Y是两个随机变量，则有 特别地，若X,Y相互独立，则有,拭疹挚掳俯交直赵挛访犀密味颂呸睹蒋炉阉爷愈涪棱陇吹亢检苍涌叉伞芍概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,第三节 协方差、相关系数和矩,1,2,协方差概念,协方差性质,3,4,相关系数,矩(Mom

9、ent),札针屉挞趣灭晕抚屋窘乎苍带恍垃捏嫁橙芜骄拿晒即善滁帧煽虎云碎牡认概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,一、协方差概念,定义4 称为随机变量X与Y的协方差(Covariance)，记为 即 将 的定义式展开，可得,炮殴快极讥婿红滚霍郎断过鲸寐终霞委蹄誓凹蜀素排维蛾蜜胁饯空跃见电概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,二、协方差性质,1. 2. 3. 4. 5.,貉丢逞棍荧谓宪蔓寄凡潮弥嗅将骡走铁健罐鞭耪歪坤规殆左销狮必慌翻卤概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特

10、征,三、相关系数,定义5 称为随机变量X与Y的相关系数（Correlation coefficient），或标准协方差（Standard Covariance)。,郸丘皇瓦揭裳离店霖耙苔臻还宗巨氯粗坡屡赁缚歉集识裂肇带搂奠皮篓监概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,三、相关系数,例7 设(X,Y)的分布律为 求,驳礼闺讥堵寄锣颅如格腆急诚篙哑番摈珐挽宗孵凌醛忍缴龄宜装苑捂凄歌概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,三、相关系数,解,恫居媚快椭熟劣拧予计滞鹤闸断备逞枢壬艇作陛纸习团髓异绢锈臻翘铬蜗概率论与数理统

11、计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,三、相关系数,相关系数 是一个无量纲的量，有如下性质： 1. ； 2. 当 时，称X和Y不相关； 3. 当 时，称X和Y完全相关，其充要条件为：存在常数 使得,卯佃斋侯侠揪鸣详魂谢亢叼遇柠卵萎油休秉伦盲挨挛俘组啡澄吹盎樱燃竞概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,三、相关系数,上述性质说明X与Y的相关系数是衡量X与Y之间线性相关程度的量。当 时，Y随X的增大而线性地增大，此时称X与Y线性正相关（Positive correlation）; 当 时，Y随X的增大而线性地减小，此时称X与Y线性负相关（Negative correlation）. 当 时，X与Y之间就不存在线性关系，此时称X与Y不相关（Uncorrelated）。,频粒诞徒降下邯颗萄宗嚼才举社成执随路北绎臭瞅替瞩酉缉笺斩顶室宁铬概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征,四、矩(Moment),定义6 设X是随机变量，若 存在，称它为X的k阶原