从Durer魔方跨入线性代数思维之门.ppt

1、,主讲: 关秀翠,东南大学数学系,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程 讲 座,从Drer魔方跨入线性代数思维之门,Drer魔方：4阶，每一行之和为34，每一列之和为34，对角线（或次对角线）之和是34，每个小方块中的数字之和是34，四个角上的数字加起来也是34.,版画创造时间：1514年,多么奇妙的魔方！,Drer魔方,什么是Drer魔方,该魔方出现在德国著名的艺术家 Albrecht Drer于1514年创造的版画Melancolia。,1,4阶Drer魔方： 行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和= 四个角之和.,铜币铸造时间：1514年,多么奇妙的魔方！,你想构造Dre

2、r魔方吗？ Drer魔方有多少个？ 如何构造所有的Drer魔方？,什么是Drer魔方,和为48.,2,Drer魔方,4阶Drer魔方： 行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和= 四个角之和.,你想构造Drer魔方吗？ Drer魔方有多少个？ 如何构造所有的Drer魔方？,什么是Drer魔方,A=,B=,设A,B是任意两个Drer 魔方，,对任意实数k，kA 是Drer魔方吗？,A+B 是Drer魔方吗？,3,Drer魔方,你想构造Drer魔方吗？ Drer魔方有多少个？ 如何构造所有的Drer魔方？,设A,B是任意两个Drer 魔方，,对任意实数k，kA 是Drer魔方吗？,A+

3、B 是Drer魔方吗？,松驰问题的讨论,允许构成魔方的数取任意实数,任意两个Drer魔方的任意的线性组合仍是Drer魔方。,记 D=A=(aij)R44|A为Drer魔方,将A看成16维列向量，则D构成一个向量空间，称为Drer魔方空间.,无穷多个,求出魔方空间的一组基,基的任意线性组合都构成一个Drer魔方.,4,Drer魔方空间,令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和,类似于n维空间的基本单位向量组，利用0和1来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。,求Drer魔方空间的基,5,Drer魔方空间,1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有两种取法。当第二行的1也取定后，第三、四

4、行的1就完全定位了，故共有8个不同的最简方阵，称为基本魔方Q1,Q8,令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和,类似于n维空间的基本单位向量组，利用0和1来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。,求Drer魔方空间的基,Q1=,1,1,1,1,6,Drer魔方空间,求Drer魔方空间的基,1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有两种取法。当第二行的1也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最简方阵，称为基本魔方Q1,Q8,7,Drer魔方空间,显然， Drer空间中任何一个魔方都可以用Q1,Q2,Q8来线性表示，但它们能否构成D空间的一组基呢？,求Drer魔方空间的基

5、,8,Drer魔方空间,求Drer魔方空间的基,Q1,Q8线性相关,显然， Drer空间中任何一个魔方都可以用Q1,Q2,Q8来线性表示，但它们能否构成D空间的一组基呢？,9,Drer魔方空间,Q1,Q2,Q8能否构成D空间的一组基？,求Drer魔方空间的基,Q1,Q8线性相关,由,线性无关。,Q1,Q7构成D空间的一组基，任意Drer魔方都可由其线性表示.,10,Q1,Q2,Q8能否构成D空间的一组基？,Q1,Q7构成D空间的一组基，任意Drer魔方都可由其线性表示.,构造Albrecht Drer的数字魔方,=,=,11,Drer魔方空间,Q1,Q2,Q8能否构成D空间的一组基？,Q1,Q

6、7构成D空间的一组基，任意Drer魔方都可由其线性表示.,随心所欲构造Drer魔方,=,=,dij,所得的线性方程组有 个方程？ 个变量？,16,23,如何求解该线性方程组呢？,12,Drer魔方空间,随心所欲构造Drer魔方,=,(dij), Ar y = 0,16维变量 y,13,Drer魔方空间, A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0; 0 0

7、0 0 1 1 0; %变量r对应的系数矩阵 C=A,-eye(16); %系数矩阵(A,E ) C1=rref(C) %求行最简形 C1=,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0

8、 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 -1 -1 0 0 0 0

9、 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 -1 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 1 0 -1 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 -1 0 0,d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44,14,Drer魔方空间,随心所欲构造Drer魔方,=,(di

10、j), Ar y = 0,16维变量 y,自由变量可取为d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44,15,Drer魔方空间,%程序mymagic.m %输入d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44，得到整个Drer魔方 d=input(please input a vector d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44:) A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0

11、0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 1 0; %变量r对应的系数矩阵 C=A,-eye(16); %系数矩阵(A,E ) x=null(C,r); %求齐次方程组的基础解系 y=d(1)*x(:,1)+d(2)*x(:,2)+d(3)*x(:,3)+d(4)*x(:,4) +d(5)*x(:,5)+d(6)*x(:,6)+d(7)*x(:,7); %基础解系的线性组合 y=y(8:23,:); %y为16维魔方向量 D=vec2mat(y,4,4) %将y转化为4阶魔方阵 mymagic please input a vector d24,d32,

12、d34,d41,d42,d43,d44: 6 3 15 20 09 12 7,随心所欲构造Drer魔方,16,Drer魔方空间,(2)任给d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一组值，就可得唯一确定Drer魔方的其他值.,还不够随心所欲？,赋予魔方更大的威力吧！,自由变量的选取不唯一,(3)任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一组值，也可得唯一确定Drer魔方的其他值.,12,5,8,6,11,4,6,7,10,17,还不够随心所欲？,(3)任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一组值，也可得唯一确定

13、Drer魔方的其他值.,赋予魔方更大的威力吧！,自由变量的选取不唯一,12,5,8,6,11,4,6,7,10,由d43+26=d43+62+d13.,如何选取自由变量？,36,由x+26=x+24+d14.,33,x,x+2,2,x+3,x+46,x39,x+54,由x+26=3x+24.,可得 x = 1.,18,还不够随心所欲？,(3)任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一组值，也可得唯一确定Drer魔方的其他值.,赋予魔方更大的威力吧！,自由变量的选取不唯一,12,5,8,6,11,4,6,7,10,由d43+26=d43+62+d13.,如何选取自由

14、变量？,由x+26=x+24+d14.,33,由x+26=3x+24.,可得 x = 1.,36,1,3,2,4,47,55,-38,19,还不够随心所欲？,能否将Drer魔方“和相等”的限制再增强吗？,赋予魔方更大的威力吧！,令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和,(1) 7维Drer魔方空间D：R=C=D=S,(2) 要求所有数都相等:,一维向量空间 G = rE,rR，其中eij=1, i,j.,(3) 特别的，当r =0:,0维向量空间 O,20,能否将Drer魔方“和相等”的限制再增强吗？,Drer空间的子空间,能否将Drer魔方“和相等”的限制再放宽吗？,令R为行和，C为

15、列和，D为对角线和，S为小方块和,(1) 7维Drer魔方空间D：R=C=D=S,(2) 要求所有数都相等:,一维向量空间G = rE,rR.,(3) 特别的，当r =0:,0维向量空间 O,O, G, D,魔方空间,维 数,0, 1, 7,(4) 8维魔方空间Q：R=C=D,(5) 16维数字空间M：数字可任意取值, Q, 8, M, 16,和扩张,21,Drer魔方空间,从Drer魔方跨入线性代数思维之门,2. 培养观察问题分析问题的能力,1. 培养化繁为简的思考模式,(1) 转换思考角度，训练思维的求异性,(2) 探讨变换问题的条件,3. 培养发散思维,(4) 将结论作为条件倒退,(3)

16、 培养多角度看问题,(5) 利用精炼的语言比拟,4. 培养归纳总结的能力,22,根据1的取法，确定了8个基本魔方Q1,Q8,求Drer魔方空间的基,1. 培养化繁为简的思考模式,类似于n维空间的基本单位向量组，利用0和1来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。,但是，Q1,Q8线性相关，而任意7个都线性无关.,可取Q1,Q7构成D空间的一组基，任意Drer魔方都可由其线性表示.,凭空构造魔方空间的一组基是很难的,23,分阶段处理复杂问题的“水泵”思维化繁为简,1. 培养化繁为简的思考模式,24,定理1.2.,|A| = ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin, i=1,2, , n.,

17、1.3 行列式的性质及计算,证明：,(1),(2),(3),第一章 行列式和线性方程组的求解,= a11A11,= aijAij,= ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin.,25,4阶Drer魔方： 行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和= 四个角之和.,你想构造Drer魔方吗？Drer魔方有多少个？ 如何构造所有的Drer魔方？,允许构成魔方的数取任意实数,任意两个Drer魔方的任意的线性组合仍是Drer魔方。,D=AR44|A为Drer魔方,构成Drer魔方向量空间.,求Drer魔方空间的一组基, 任意一个Drer魔方都可由这组基线性表示.,2. 培养观察问题分析问题的

18、能力,26,十秒钟加数,时间到！,答案是 6710。,请用十秒，计算出左边一列数的和。,27,2. 培养观察问题分析问题的能力,“斐波那契数列”,若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , ,意大利数学家斐波那契的算盘书（1202年）,28,2. 培养观察问题分析问题的能力,“十秒钟加数”揭密,右式的答案是：,610 11 = 6710,数学家发现：连续 10个斐波那契数之和，必定等于第 7个数的 11 倍！,29,2. 培养观察问题分析问题的能力,Fibonacci兔子问题,假设一对初

19、生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对(雌雄)兔子，那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少对兔子呢？,30,2. 培养观察问题分析问题的能力,Fibonacci兔子问题,解答,1 月1 对,31,2. 培养观察问题分析问题的能力,Fibonacci兔子问题,解答,1 月1 对,2 月1 对,32,2. 培养观察问题分析问题的能力,Fibonacci兔子问题,解答,1 月1 对,2 月1 对,3 月2 对,33,2. 培养观察问题分析问题的能力,Fibonacci兔子问题,解答,1 月1 对,2 月1 对,3 月2 对,4 月3 对,34,2. 培养观察问题分析问题的能力,

20、Fibonacci兔子问题,解答,1 月1 对,2 月1 对,3 月2 对,4 月3 对,5 月5 对,35,2. 培养观察问题分析问题的能力,Fibonacci兔子问题,解答,1 月1 对,2 月1 对,3 月2 对,4 月3 对,5 月5 对,6 月8 对,36,2. 培养观察问题分析问题的能力,Fibonacci兔子问题,解答,1 月1 对,2 月1 对,3 月2 对,4 月3 对,5 月5 对,6 月8 对,7 月13 对,37,2. 培养观察问题分析问题的能力,Fibonacci兔子问题,1) 分析问题、抓住本质、简化。 本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，简称为大兔子；新生的兔子

21、不能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子.求的是大兔子与小兔子的总和。,2）深入观察发现规律 每月小兔对数 =上个月大兔对数. 每月大兔对数 =上个月大兔对数 +上个月小兔对数.,=上个月大兔对数 +上上个月大兔对数.,2. 培养观察问题分析问题的能力,38,2. 培养观察问题分析问题的能力,Fibonacci兔子问题,1) 分析问题、抓住本质、简化。 本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，简称为大兔子；新生的兔子不能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子.求的是大兔子与小兔子的总和。,2）深入观察发现规律 每月小兔对数 =上个月大兔对数. 每月大兔对数 =上个月大兔对数 +上个

22、月小兔对数.,= 前两个月大兔对数之和.,2. 培养观察问题分析问题的能力,39,2. 培养观察问题分析问题的能力,1）分析问题、抓住本质,月 份 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 兔子总数 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233,二阶递推公式,2）深入观察发现规律 每月小兔对数 =上个月大兔对数. 每月大兔对数 =上个月大兔对数 +上个月小兔对数.,= 前两个月大兔对数之和.,Fn,2. 培养观察问题分析问题的能力,40,2. 培养观察问题分析问题的能力,2）深

23、入观察发现规律,3）深入研究问题,二阶递推公式,由,可得,2. 培养观察问题分析问题的能力,41,2. 培养观察问题分析问题的能力,3）深入研究问题,3）深入研究问题,二阶递推公式,因此,2. 培养观察问题分析问题的能力,42,2. 培养观察问题分析问题的能力,3）深入研究问题,1）树杈的数目,13 8 5 3 2 1 1,生活中的斐波那契数,43,2. 培养观察问题分析问题的能力,生活中的斐波那契数,2）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数,种子按顺、逆时针的螺线排列，两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55; 89和144; 144和233条螺线。,44,2. 培养观察问题分析

24、问题的能力,生活中的斐波那契数,松果种子的排列的螺线数(8-13),45,2. 培养观察问题分析问题的能力,生活中的斐波那契数,菜花表面排列的螺线数（5-8）,46,2. 培养观察问题分析问题的能力,生活中的斐波那契数,问题的提出：设 A 是n阶方阵 , 求Ak ?,分析：,(1) 若A是对角阵，则易求 Ak =k.,A = P1Q1,(2)一般方阵A可与对角阵相抵，即存在n阶可逆阵P,Q, 使得 PAQ =., Ak = (P1Q1) (P1Q1)(P1Q1),若Q1 =P ,则 Ak =P1 k Q1 = Qk Q1,(3) 因此，当存在n阶可逆阵Q, 使得 Q1AQ =(对角阵 )时,

25、易求方阵Ak.,此时称方阵A可与对角阵相似。,2. 培养观察问题分析问题的能力,3）深入研究问题,47,2. 培养观察问题分析问题的能力,3）深入研究问题,问题：当A可与对角阵相似, Q 与的关系如何 ?,当方阵A可与对角阵相似，即存在n阶可逆阵Q, 使得 Q1AQ =(对角阵 )时, 易求方阵Ak.,Q1AQ =,设Q 的列向量为q1, q2, , qn. 显然它们线性无关.,即A(q1, q2, , qn) = (1q1, 2q2, , nqn),即 A qi = i qi, i=1,n,特征值,特征向量,qi ,2. 培养观察问题分析问题的能力,则AQ = Q = Qdiag(1, 2,

26、 , n),3）深入研究问题,48,2. 培养观察问题分析问题的能力,3）深入研究问题,(1)任给d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一组值，就可唯一确定Drer魔方.,Drer魔方空间是7维的.,(1) 转换思考角度，训练思维的求异性,自由变量还有其他的选取方式吗？,只要选取系数矩阵23列中16个线性无关的列，其余7列对应的变量就可取为自由变量.,3.培养发散思维,49,例5. 设 , 求A1.,求逆阵的方法：,(1) 定义法：AB=BA=E,(1) 转换思考角度，训练思维的求异性,(2) 公式法：A1=A*/ |A|,(3) 初等变换法：(A,E) (E,A1

27、),解：,注意到 A =AT，,且 A AT = A2 = 4E,所以 A1 = A/ 4,3.培养发散思维,50,3. 培养发散思维,(1) 转换思考角度，训练思维的求异性,Drer空间的子空间和扩张,(3) 7维Drer魔方空间D：R=C=D=S,(2) 要求所有数都相等:,一维向量空间G = rE,rR.,(1),0维向量空间 O,O, G, D,魔方空间,维 数,0, 1, 7,(4) 8维魔方空间Q：R=C=D,(5) 16维数字空间M：数字可任意取值, Q, M, 8, 16,(2) 探讨变换问题的条件,3.培养发散思维,51,3. 培养发散思维,(2) 探讨变换问题的条件,(2)

28、 探讨变换问题的条件,例6. 设,证明：,(1)证：,设 x 是Ax = 0的非零解.,令B=(x,0,0),则,(2)证1：,设 x1,x2,xn-r是Ax = 0的基础解系.,令B=(x1,x2,xn-r),则,(2)证2：,则存在n阶可逆阵P,Q, 使得,令,则,52,3. 培养发散思维,(2) 探讨变换问题的条件,(2) 探讨变换问题的条件,例6. 设,(3)证明：,(2)证1：,设 x1,x2,xn-r是Ax = 0的基础解系.,令B=(x1,x2,xn-r),则,(2)证2：,则存在n阶可逆阵P,Q, 使得,令,则,(3)证：,则存在n阶可逆阵P,Q, 使得,令,则,53,3. 培

29、养发散思维,(2) 探讨变换问题的条件,n阶方阵A可逆, A与E相抵, A的行最简形矩阵为E., A = P1P2Ps, Pi为初等阵.,(3) 培养多角度看问题, A的行(列)向量组线性无关, 任一n维向量 都可由行(列)向量组线性表示, A的特征值均不为零, A的行(列)向量组的秩都是n.,(非奇异阵、非退化阵),(满秩), A的行(列)向量组是Rn的基., A为Rn的两组基下的过渡矩阵., A的解空间的维数为0., A的列空间的维数为n., ATA为正定阵.,54,3. 培养发散思维,(3) 培养多角度看问题,n阶方阵A不可逆, 0是A的一个特征值.,例7. 设,证明：,证1：,(反证法

30、),则A可逆.,产生矛盾.,假设,利用可逆性,(3) 培养多角度看问题 一题多解,55,3. 培养发散思维,(3) 培养多角度看问题,n阶方阵A不可逆, 0是A的一个特征值.,证2：,利用 r(A)n.,例7. 设,证明：,(3) 培养多角度看问题 一题多解,56,3. 培养发散思维,(3) 培养多角度看问题,n阶方阵A不可逆, 0是A的一个特征值.,证3：,利用齐次方程组有非零解.,例7. 设,证明：,(3) 培养多角度看问题 一题多解,57,3. 培养发散思维,(3) 培养多角度看问题,n阶方阵A不可逆, 0是A的一个特征值.,证4：,利用0是A的一个特征值.,所以0是A的一个特征值.,例

31、7. 设,证明：,(3) 培养多角度看问题 一题多解,58,3. 培养发散思维,(3) 培养多角度看问题,n阶方阵A不可逆, 0是A的一个特征值.,错误解析：矩阵乘法消去率不成立.,例7. 设,证明：,(3) 培养多角度看问题 一题多解,59,3. 培养发散思维,(3) 培养多角度看问题,n阶方阵A不可逆, 0是A的一个特征值.,错误解析：非零矩阵的行列式不一定为0.,例7. 设,证明：,(3) 培养多角度看问题 一题多解,60,3. 培养发散思维,(3) 培养多角度看问题,若行列式D=0，则D都可能是什么类型的行列式？,(1) 行列式D有两行或两列的元素成比例；,(2) 行列式D有至少有一行或一列元素都是零 ；,(3) 主对角线上至少有一个元素等于零的对角行列式；,(4) 主(次)对角线上至少有一个零元素的三角行列式；,(5) 所有可以利用行列式性质化成上述形式的行列式,(4) 将结论做为条件进行倒推,3.培养发散思维,61,3. 培养发散思维,(4) 将结论做为条件进行倒推,3.培养学生的发散思维,(5) 利用精炼的语言比拟,转置: (AB)T = BTAT,逆矩阵: (AB)1 = B1A1,伴随矩阵