同济第六版《高等数学》教案WORD版第09章重积分

1、第九章第九章重积分重积分 教学目的：教学目的： 1. 理解二重积分、 三重积分的概念， 了解重积分的性质， 知道二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。 3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。 8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、 引力等） 。 教学重点：教学重点： 1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标） ； 2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 3、二、三重积分的几何应用及物理应用。 教学难点：教学难点： 1 1、利用极坐标计算二重积分； 2 2、利用球坐标计算三重积分； 3 3

2、、物理应用中的引力问题。 9 9 1 1二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念一、二重积分的概念 1 曲顶柱体的体积 设有一立体它的底是 xOy 面上的闭区域 D它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线 平行于 z 轴的柱面它的顶是曲面 zf(xy)这里 f(xy)0 且在 D 上连续这种立体叫做曲顶柱 体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域 1 2n 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于 z 轴的柱面这些柱面把原来的曲顶 柱体分为 n 个细曲顶柱体在每个i中任取一点(ii)以 f (ii)为 高而底为i的平顶柱体的体

3、积为 f (ii) i(i1 2n) 这个平顶柱体体积之和 V f (i,i)i i1 n 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密只需 取极限即 V limf (i,i)i 0i1 n 其中是个小区域的直径中的最大值 2平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点(xy)处的面密度为(xy)这里(xy)0 且在 D 上连续 现在要计算该薄片的质量M 用一组曲线网把D 分成 n 个小区域 1 2n 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量 (ii)i 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 M (i,i)i i1 n 将分割加细取极限 得到平面薄

4、片的质量 M lim(i,i)i 0i1 n 其中是个小区域的直径中的最大值 定义设 f(xy)是有界闭区域 D 上的有界函数将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域 1 2n 其中i表示第 i 个小区域也表示它的面积在每个i上任取一点(ii)作和 f (i,i)i i1 n 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在 则称此极限为函数 f(xy)在闭区域 D 上的二重积分记作 n f(x,y)d 即 D limf(i, i)i f(x,y)d 0i1 D f(xy)被积函数f(xy)d被积表达式d面积元素xy 积分变量D 积分区域积分和 直角坐标系中的面积元素 如果在直角坐标系中

5、用平行于坐标轴的直线网来划分 D那么除了包含边界点的一些 小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域设矩形闭区域 i的边长为 xi和yi则 ixiyi因此在直角坐标系中有时也把面积元素 d记作 dxdy而把二重积分记作 f(x,y)dxdy D 其中 dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素 二重积分的存在性当 f(xy)在闭区域 D 上连续时积分和的极限是存在的 也就是说函 数 f(xy)在 D 上的二重积分必定存在我们总假定函数 f(xy)在闭区域 D 上连续所以 f(xy)在 D 上的二重积分都是存在的 二重积分的几何意义如果f(xy)0被积函数f(xy)可解释为曲顶柱体的在点(xy)处的竖

6、坐标所以二重积分的几何意义就是柱体的体积如果 f(xy)是负的柱体就在 xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积但二重积分的值是负的 二 二重积分的性质 性质 1设 c1、c2为常数 则 c 1 f (x,y)c2g(x,y)dc 1 f (x,y)dc2g(x,y)d DDD 性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域 则在D上的二重积分等于 在各部分闭区域上的二重积分的和 例如 D 分为两个闭区域 D1与 D2则 f (x,y)df (x,y)df (x,y)d DD1D2 性质 31dd(为 D 的面积) DD 性质 4 如果在 D 上f(xy)g(xy)则有不等式 f

7、(x,y)dg(x,y)d DD 特殊地有 |f(x,y)d| f(x,y)|d DD 性质 5 设 M、m 分别是 f(xy)在闭区域 D 上的最大值和最小值为 D 的面积则有 mf(x,y)dM D 性质 6(二重积分的中值定理) 设函数 f(xy)在闭区域 D 上连续为 D 的面积则在 D 上 至少存在一点()使得 f(x,y)d f(,) D 9 9 2 2二重积分的计算法二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 X型区域 D1(x)y2(x)axb Y型区域 D1(x)y2(x)cyd 混合型区域 设 f(xy)0D(xy)|1(x)y2(x)axb

8、 此时二重积分 体积 对于 x0ab 曲顶柱体在 xx0的截面面积为以区间1(x0)2(x0)为底、以曲线 zf(x0y)为 曲边的曲边梯形所以这截面的面积为 2(x0) f(x,y)d 在几何上表示以曲面 zf(xy)为顶以区域 D 为底的曲顶柱体的 D A(x0) b 1(x0) f(x0,y)dy b2(x) 根据平行截面面积为已知的立体体积的方法得曲顶柱体体积为 V A(x)dx aa1(x) f(x,y)dydx b2(x) 即V 可记为 D f (x,y)d a1(x) f (x,y)dydx D f (x,y)ddx a b2(x) 1(x) f (x,y)dy 类似地如果区域

9、D 为 Y型区域 D1(x)y2(x)cyd 则有 D f(x,y)ddy c d 2(y) 1(y) f (x,y)dx 例 1 计算xyd其中 D 是由直线 y1、x2 及 yx 所围成的闭区域 D 解画出区域 D 方法一可把 D 看成是 X型区域 1x2 1yx于是 42 2 y2 x 11 xx9 3xyd 1 1 xydydx 1 x 2 1 dx 2 1 (x x)dx 2 4 2 1 2 8 D 2x2 注 积分还可以写成xyd dxxydyxdxydy D 1111 22 2x2x 解法 2也可把 D 看成是 Y型区域 1y2yx2 于是 2 2 y3y4 2 9x 22xyd

10、 1 y xydxdy 1 y 2 ydy 1 (2y 2 )dy y 8 1 8 D 2 例 2计算y D 1x2y2d其中 D 是由直线 y1、x1 及 yx 所围成的闭区域 解画出区域 D可把 D 看成是 X型区域1x1xy1于是 y D 1x y ddxy 1x2y2dy 1x 22 11 111 (|x|31)dx 1 (1x2y2)21dx x 3 1 3 1 3 1 2 (x31)dx 1 3 0 2 也可 D 看成是 Y型区域：1y11xy于是 y 1x2y2dydy D 1 1y 1 1x2y2dx 2例 3 计算xyd其中 D 是由直线 yx2 及抛物线 y x 所围成的闭

11、区域 D 解积分区域可以表示为DD1+D2 其中D 1: 0 x1, x y xD2: 1 x4, 2 yx于是 xyddx D 0 2 1x x xydydx 1 4x x2 xydy 积分区域也可以表示为D1y2y2xy2于是 xyddy D 1 y2 y2 2 221 2 xydx x yyy(y2)2y5dy 2 dy y 1 22 1 6y4 4 3 1 2 y 2 y 2y 155 2 4368 讨论积分次序的选择 例例 4 4 求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积 解设这两个圆柱面的方程分别为 x2y2 2及 x2z2 2 利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第

12、一卦限部分的体积 V1然后再乘以 8 就行 了 第一卦限部分是以 D(xy)| 0y R2x2, 0 x为底以z R2x2顶的曲顶柱体 于是 V 8R x d8dx D 22 RR2x2 00 R2x2dy8 R2x2y0R 0 R 2x2dx 8(R2x2)dx16R3 0 3 R 二二 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分 有些二重积分积分区域 D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便且被积函数用极坐标 变量、表达比较简单这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分 n f(x,y)d D 按二重积分的定义 limf(i,i)if(x,y)d 0 i1 D 下面我们来研究这个和的极限

13、在极坐标系中的形式 以从极点 O 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D 分为 n 个小 闭区域小闭区域的面积为 i 1 (ii)2i 1 i2i 1 (2ii)ii 222 (ii) iiiiii 2 其中 i 表示相邻两圆弧的半径的平均值 在i内取点(i,i) 设其直角坐标为(ii) 则有iicosiiisini 于是lim 即 0 limf(icosi,isini)iii f( i,i)i 0 i1i1 nn f(x,y)df(cos,sin)dd DD 若积分区域D可表示为 1() 2() 则f (cos,sin)dd d D 2() 1() f (cos,sin)d

14、 讨论如何确定积分限? f (cos,sin)ddd D () 0 f (cos,sin)d f (cos,sin)ddd D 0 2() 0 f (cos,sin)d 例 5 计算 xe D 2y2dxdy 其中 D 是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域 解在极坐标系中闭区域 D 可表示为 0a 02 于是ex D 2y2a dxdyeddedd 1 e0d 000 2 D 2 2a 2 2 2 1 (1ea)d(1ea) 0 2 22 2 注 此处积分 xe D 2y2dxdy 也常写成 x2y2a2 xe 2y2dxdy 利用 x2y2a2 ex2y2dxdy(1ea)计算广义

15、积分exdx 0 2 2 设 D1(xy)|x2y2R2x0y0 D2(xy)|x2y22R2x0y0 S(xy)|0 xR 0yR 显然 D1SD2由于ex2y20从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式 2ex D1 2y2dxdyex S 2 2y2dxdyex D2 2 y2dxdy 因为ex S y2dxdyexdxeydy(exdx)2 000 RR 2 R 2 又应用上面已得的结果有 ex D 1 2y2dxdy (1eR)ex 4 22y2 D2 dxdy (1e2R) 4 2 于是上面的不等式可写成 (1eR2)( Rex2dx)2 (1e2R2) 4 0 4 令 R上式两端

16、趋于同一极限 从而 ex2dx 0 24 例例 6 6 求球体 x2y2z24a2被圆柱面 x2y22ax 所截得的 （含在圆柱面内的部分） 立体的体积 解由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍 V 44a2x2y2dxdy D 其中 D 为半圆周y 2axx2及 x 轴所围成的闭区域 在极坐标系中 D 可表示为 02a cos0 2 于是V 4 D 4a dd42d 0 22 2acos 0 4a22d 32 a22(1sin3)d 32 a2( 2) 0 3323 9 9 3 3三重积分三重积分 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 定义设 f(xyz)是空间有界闭区域上的有界函数将任意分

17、成 n 个小闭区域 v1v2vn 其中vi表示第 i 个小闭区域 也表示它的体积 在每个vi上任取一点 (iii)作乘积 f(iii)vi(i1 2n)并作和 f (i,i,i)vi如果当各小闭区域的直径中的最大值趋 i1 n 于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(xyz)在闭区域 上的三重积分 记作 f(x,y,z)dv即 limf(i, i,i)vi f(x,y,z)dv 0i1 n 三重积分中的有关术语积分号f(xyz)被积函数f(xyz)dv被积表达式dv 体积元素xyz积分变量积分区域 在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则vixiyizi 因此也把体积元 素记为

18、 dvdxdydz 三重积分记作 f (x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydz 当函数 f (xyz)在闭区域上连续时极限lim f (i,i,i)vi是存在的 0i1 n 因此 f(xyz)在上的三重积分是存在的以后也总假定 f(xyz)在闭区域上是连续的 三重积分的性质与二重积分类似 比如 c 1 f(x,y,z)c2g(x,y,z)dvc 1 f (x,y,z)dvc2g(x,y,z)dv 12 f(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dv 12 dvV 其中 V 为区域的体积 二、三重积分的计算 1 利用直角坐标计算三重积分 三重积分的计算三重积分也可化为三次积分

19、来计算设空间闭区域可表为 z1(xy)zz2(xy)y1(x)yy2(x)axb 则 b f (x,y,z)dv D z2(x,y) z1(x,y) f (x,y,z)dzd dx a b a y2(x) y1(x) y1(x) z2(x,y) z1(x,y) f(x,y,z)dzdy f(x,y,z)dz by2(x) dx 即 y2(x)dyz2(x,y) z1(x,y) f (x,y,z)dvdx ay1(x) dy z2(x,y) z1(x,y) f (x,y,z)dz 其中 D: y1(x)y y2(x)axb它是闭区域在 xOy 面上的投影区域 提示 设空间闭区域可表为 z1(xy

20、)zz2(xy)y1(x)yy2(x)axb 计算f (x,y,z)dv 基本思想 对于平面区域 D y1(x)yy2(x)axb 内任意一点(xy) 将 f(xyz)只看作 z 的函数在区间 z1(xy) z2(xy)上对 z 积分 得到一个二元函数 F(xy) z2(x,y) F(x,y) z1(x,y) f(x,y,z)dz 然后计算F(xy)在闭区域D上的二重积分这就完成了f(xyz)在空间闭区域上的三重积分 F(x,y)d DD z2(x,y) z1(x,y) f (x,y,z)dzddx a by2(x) y1(x) z2(x,y) z1(x,y) f(x,y,z)dzdy 则 f

21、 (x,y,z)dv D z2(x,y) z1(x,y) f (x,y,z)dzd dx a b a by2(x) y1(x) y1(x) z2(x,y) z1(x,y) f(x,y,z)dzdy f(x,y,z)dz by2(x) dx 即 y2(x)dyz2(x,y) z1(x,y) f (x,y,z)dvdx ay1(x) dy z2(x,y) z1(x,y) f (x,y,z)dz 其中 D: y1(x)y y2(x)axb它是闭区域在 xOy 面上的投影区域 例1 计算三重积分 解 作图区域可表示为: 0z1x2y0y(1x) 0 x1 于是 1 xdxdydz其中为三个坐标面及平面

22、x2yz1所围成的闭区域 1 2 xdxdydz 0 dx 1x 2(1x2y)dy 0 1 1x 1x2y 2dyxdz 00 xdx 0 11 (x2x2x3)dx 1 4 0 48 讨论其它类型区域呢? 有时我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分设空间 闭区域(xyz)|(xy)Dzc1zc2其中Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域所得到的一 个平面闭区域则有 f(x,y,z)dv c dzf(x,y,z)dxdy 1 c2 Dz 2y2z2x 例 2 计算三重积分z dxdydz其中是由椭球面 2 2 2 1所围成的空间闭区域 abc 2 解 空间区域可表为

23、: x2 y2 1 z2 czc a2b2c2 于是 c 2 z2 )z2dz 4 abc3 z dxdydzz dzdxdy ab(1 c 2 2 c Dz c c15 练习 1 将三重积分If (x,y,z)dxdydz化为三次积分 其中 (1)是由曲面 z1x2y2z0 所围成的闭区域 (2)是双曲抛物面 xyz 及平面 xy10z0 所围成的闭区域 (3)其中是由曲面 zx22y2及 z2x2所围成的闭区域 2 将三重积分If (x,y,z)dxdydz化为先进行二重积分再进行定积分的形式其中由 曲面 z1x2y2z0 所围成的闭区域 2 利用柱面坐标计算三重积分 设 M(xyz)为空间内一点并设点 M 在 xOy 面上的投影 P 的极坐标为 P()则这样的三个 数、z 就叫做点 M 的柱面坐标这里规定、z 的变化范围为 0 02z 坐标面0 0zz