湖南省郴州市城南第二中学2022-2023学年高二数学文下学期摸底试题含解析

湖南省郴州市城南第二中学2022-2023学年高二数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）参考答案：B【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式x2﹣2x﹣3＜0化为（x+1）（x﹣3）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣2x﹣3＜0可化为（x+1）（x﹣3）＜0，解得﹣1＜x＜3，∴不等式的解集是（﹣1，3）．故选：B．2.双曲线上一点P，设为双曲线的左焦点，为双曲线的右焦点，,则的面积为（

）

A．8

B．16

C．5

D．4

参考答案：B略3.已知f（x）为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是(

)A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）参考答案：D【考点】函数单调性的性质．【分析】由函数的单调性可直接得到的大小，转化为解分式不等式，直接求解或特值法均可．【解答】解：由已知得解得x＜0或x＞1，故选D．【点评】本题考查利用函数的单调性解不等式，属基本题．4.已知数列{an}：a1=1，，则an=（）A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣7参考答案：A【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式可得数列{an+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式得答案．【解答】解：由，得an+1+3=2（an+3），∵a1+3=4≠0，∴数列{an+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，则，∴．故选：A．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．5.如图，三棱锥D-ABC中，，，平面DBC⊥平面ABC，M，N分别为DA和DC的中点，则异面直线CM与BN所成角的余弦值为（

）A. B. C. D.0参考答案：A【分析】取BC中点O，连结OD，OA，则OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA，以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CM与BN所成角的余弦值．【详解】取BC中点O，连结OD，OA，∵三棱锥D-ABC中，，平面DBC⊥平面ABC，M，N分别为DA和DC的中点，∴OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA，以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，C（，0，0），A（0，，0），D（0，0，），M（0，，），N（，0，），B（-，0，0），=（-，,），=（，0，），设异面直线CM与BN所成角的平面角为θ，则cosθ=．∴异面直线CM与BN所成角的余弦值为．故选：A．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.已知函数，则方程在区间上的根有（）A．3个

B．2个

C．1个

D．0个参考答案：D略7.下列说法正确的是(

)A．命题“若x＜1，则﹣≤x≤1”的逆否命题是“若x≥1，则x＜﹣1或x≥1”B．命题“?x∈R，ex＞0”的否定是“?x∈R，ex≤0”C．“a＞0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件D．已知命题p：?x∈R，lnx＜lgx；命题q：?x0∈R，x03=1﹣x02，则“（￢p）∨（￢q）为真命题”．参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据复合命题以及函数的单调性分别对A、B、C、D各个选项进行判断即可．【解答】解：命题“若x＜1，则﹣≤x≤1”的逆否命题是“若x＜﹣1或x≥1，则x≥1”，故A错误；命题“?x∈R，ex＞0”的否定是“?x∈R，ex≤0，故B错误；函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件是：a≥0，故C错误；已知命题p：?x∈R，lnx＜lgx；由lnx﹣lgx=lnx﹣=lnx（1﹣），∵1﹣＞0，∴x＞1时，lnx＞lgx，0＜x＜1时，lnx＜lgx，故命题p是假命题，￢p是真命题；故不论命题￢q真假，则“（￢p）∨（￢q）总为真命题，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数的单调性问题，是一道综合题．8.设△的三边长分别为△的面积为，内切圆半径为，则.类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为，四面体的体积为，则＝参考答案：C9.直线l过点(－1,2)且与直线垂直，则l的方程是A. B. C. D.参考答案：C∵直线2x?3y+4=0的斜率为，由垂直可得所求直线的斜率为，∴所求直线的方程为y?2=(x+1)，化为一般式可得3x+2y?1=0本题选择C选项.10.下列说法正确的是（

）A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行；B．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直；C．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面；D．如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.幂函数的图像经过点，则的解析式为

。参考答案：略12.命题“ax2－2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是

.参考答案：或13.已知点P（m，4）是椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为．参考答案：

【考点】椭圆的简单性质．【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a，再由三角形的面积公式以及内切圆的圆心与三个顶点将三角形△PF1F2分成三个小三角形，分别求面积再求和，得到a，c的方程，由离心率公式计算即可得到．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a，由三角形的面积公式可得=×2c×4=4c，由△PF1F2的内切圆的半径为，则=×（m+n+2c）=（2a+2c）=（a+c），即有4c=（a+c），即为5c=3a，则离心率e==．故答案为：．14.曲线，所围成的封闭图形的面积为___________．参考答案：略15.已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是

．参考答案：x+2y﹣8=0【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），由“点差法”可求出直线l的斜率k==﹣=﹣=﹣=﹣．再由由点斜式可得l的方程．【解答】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k==﹣=﹣=﹣=﹣．由点斜式可得l的方程为x+2y﹣8=0．【点评】本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”．16.若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________．参考答案：±117.P为椭圆上一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，若使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，则椭圆离心率的取值范围是

▲

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（1）已知a，b，c∈R，且2a+2b+c=8，求（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2的最小值．（2）请用数学归纳法证明：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（n≥2，n∈N*）．参考答案：【考点】RG：数学归纳法；RA：二维形式的柯西不等式．【分析】（1）使用柯西不等式证明；（2）先验证n=2成立，假设n=k成立，推导n=k+1成立即可．【解答】解：（1）由柯西不等式得：（4+4+1）×[（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2]≥[2（a﹣1）+2（b+2）+c﹣3]2，∴9[（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2]≥（2a+2b+c﹣1）2．∵2a+2b+c=8，∴（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2≥，∴（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2的最小值是．（2）证明：①当n=2时，左边=1﹣=，右边==，所以等式成立．②假设当n=k（k≥2，k∈N+）时，等式成立，即

（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（k≥2，k∈N+）．当n=k+1时，（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=?==，∴当n=k+1时，等式成立．∴对n≥2，n∈N+时，等式成立．【点评】本题考查了柯西不等式的应用，属于归纳法证明，属于中档题．19.计算下列定积分。（本小题满分10分）（1）

（2）

参考答案：1）

（2）=

==

==

=1略20.已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多运280万吨煤，西车站每年最多运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，使总运费最少？参考答案：解析：设甲煤矿调往东站的煤为万吨，乙煤矿调往东站的煤为万吨，则那么总运费：万元，即，而满足，作出可行域，（略）设直线与轴交点为，则.把直线向上平移至M时最小。所以甲煤矿生产的煤全部运往西站；乙煤矿向东站运280万吨，向西站云20万吨时，总运费最少。21.已知函数f（x）=+cosx+1．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）若a为第三象限角，且，求的值．参考答案：考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由三角函数恒等变换化简可得函数解析式为f（x）=，由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期和值域；（2）由根据（1）可得sinα，结合a为第三象限角，可求cosα的值，由二倍角公式化简所求即可得解．解答： （本题满分12分）解：（1）∵=…=…∴函数f（x）的周期为2π，值域为．…（2）∵，∴，即…∵==…=，…又∵α为第三象限角，所以…∴原式=…点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，同角三角函数的关系式的应用，属于基本知识的考查．22.已知函数f（x）=x3﹣4x+m，（m∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在[0，3]上的最值．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间