2022-2023学年浙江省金华市南苑中学高一数学文测试题含解析

2022-2023学年浙江省金华市南苑中学高一数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使·取最小值，则P点的坐标是A．(3,0)

B．(－3,0)

C．(2,0)

D．(4,0)

参考答案：A2.下列函数中，在R上单调递增的是（）A．y=﹣x B．y=log3x C． D．y=（）x参考答案：C【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】分别根据函数的性质判断函数的单调性即可．【解答】解：A．函数y=﹣x．在R上单调递J减，B．函数y=log3x在（0，+∞）上单调递增，C．函数y=在R上单调递增，D．函数y=（）x，在R上单调递减，故选：C．【点评】本题主要考查函数单调性的判断，要熟练掌握常见函数的单调性．3.若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝()A．－2

B．－1

C．1

D．2参考答案：C4.△ABC中，若，则该三角形一定是()A．等腰三角形但不是直角三角形

B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形参考答案：D5.若集合，则集合AB=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略6.已知的展开式中没有常数项，则n的最大值是（）A.6 B.7 C.8 D.9参考答案：C【分析】利用二项式通项公式分类讨论：当（x+1）中取x时，式子展开式中无,所以中x的指数幂取不到-1,即；当（x+1）中取1时,式子展开式中无常数项,所以中x的指数幂取不到0即,n要同时满足以上两个不等式,再结合选项验证即可.【详解】因为的展开式中没有常数项；由二项式展开式的通项公式可知(1)当（x+1）中取x时，式子展开式中无,所以中x的幂指数取不到-1,即；（2）当（x+1）中取1时,式子展开式中无常数项,所以中x的幂指数取不到0,即，选项中的n要同时满足上面两个不等式，故选B.【点睛】本题考查了二项式定理地应用，难度较高，解题中首先要根据题意进行分类讨论，确定后面式子中x的指数幂，再根据无常数项的条件确定幂指数满足的不等式组，有一定的难度，解题关键是对二项式定理的深度理解.7.已知点在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则的最大值是（

）A．1

B．3

C．5

D．13参考答案：D8.已知角的终边与单位圆交于点，则的值为(

)A． B．

C． D．参考答案：B由三角函数的定义可得．故选B．

9.《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把个面包分给个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小份为A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.下列函数是偶函数，并且在（0，+∞）上为增函数的为（）A． B． C． D．y=﹣2x2+3参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】探究型；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数，二次函数的图象和性质，分析函数的单调性和奇偶性，可得答案．【解答】解：函数是偶函数，由y′=＞0在（0，+∞）恒成立，可得函数在（0，+∞）上为增函数，函数是非奇非偶函数，函数是非奇非偶函数，函数y=﹣2x2+3偶函数，由y′=﹣4x＜0在（0，+∞）恒成立，可得函数在（0，+∞）上为减函数，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，难度中档．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f（x）=，则f（f（10））=．参考答案：2【考点】函数的值．【分析】先求出f（10）=lg10=1，从而f（f（10））=f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（10）=lg10=1，f（f（10））=f（1）=12+1=2．故答案为：2．12.下列命题中：①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（﹣x）一定是偶函数；②若f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；③已知x1，x2是函数f（x）定义域内的两个值，且x1＜x2，若f（x1）＞f（x2），则f（x）是减函数；④若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）也为奇函数，则f（x）是以4为周期的周期函数．其中正确的命题序号是．参考答案：①④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由偶函数的定义，可判断①的真假；由函数对称性满足的条件，及函数周期性的性质，可以判断②的真假；由减函数的定义，可判断③的真假；由周期函数的定义及性质，可以判断④的真假，进而得到答案．【解答】解：①若函数f（x）的定义域为R，g（x）=f（x）+f（﹣x）∴g（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=g（x），故g（x）=f（x）+f（﹣x）一定是偶函数一定是偶函数，故①正确；②∵定义域为R的奇函数f（x），对于任意的x∈R都有f（x）+f（2﹣x）=0，则f（x）=f（x﹣2），它表示函数是一个周期为2的周期函数，其图象不一定是轴对称图形，故②函数f（x）的图象关于直线x=1对称为假命题；③若f（x）是减函数，则要求任意x1＜x2，均有f（x1）＞f（x2），由于③中x1，x2是函数f（x）定义域内的两个值，不具有任意性，故③为假命题；④若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）也为奇函数，则f（x）是以4为周期的周期函数，故④为真命题．故答案为：①④．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，函数图象的对称性，及函数的奇偶性，是函数性质的综合应用，熟练掌握函数性质的判定法则及函数性质的定义是解答本题的关键．13.若不等式3x2﹣logax＜0在x∈（0，）内恒成立，则a的取值范围是．参考答案：[，1）【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】作出函数f（x）=3x2，x∈（0，）的图象，结合题意可得0＜a＜1，作出函数g（x）=logax（0＜a＜1）的图象，结合图象确定a的取值范围．【解答】解：由题意可得，a＞1不符合题意，故0＜a＜1，分别作出函数f（x）=3x2，x∈（0，）和函数g（x）=logax（0＜a＜1）的图象，而函数f（x）在（0，）单调递增，函数g（x）=logax在（0，）单调递减，不等式x2﹣logax＜0在（0，）内恒成立，只需f（）≤g（），即≤loga，解得≤a＜1，∴实数a的取值范围是≤a＜1．故答案为：．【点评】本题考查了函数的恒成立问题，对于恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．本题选用了数形结合法求解，将3x2﹣logax＜0在x∈（0，）内恒成立，转化为函数f（x）=3x2与g（x）=logax的图象进行求解，解题时要注意抓住“临界”状态分析．为研究数量关系问题而提供“形”的直观性，是探求解题途径、获得解题结果的重要工具，应重视数形结合解题的思想方法．属于中档题．14.已知A（1，1），B（3，4），C（2，0），向量与的夹角为θ，则tan2θ=．参考答案：．【分析】根据平面向量的数量积与模长的定义，求出向量与的夹角余弦值，再根据同角的三角函数关系与二倍角公式，计算即可．【解答】解：A（1，1），B（3，4），C（2，0），∴=（2，3），=（1，﹣1），∴?=2×1+3×（﹣1）=﹣1，||==，||==；由向量与的夹角为θ，∴cosθ===﹣，sinθ==，∴tanθ==﹣5，∴tan2θ===．故答案为：．15.下列命题中，正确的命题个数是

▲

．①②③④⑤；⑥参考答案：4略16.已知：在锐角三角形中，角对应的边分别是，若，则角为

▲

.参考答案：17.方程sinx﹣cosx=0（x∈[0，2π]）的所有解之和为_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13.(1)求{an}，{bn}的通项公式；

(2)求数列的前n项和Sn.参考答案：(1)设等差数列的公差为d

等比数列的公比为q，由题意得1+2d+q4=21，

①

1+4d+q2=13，

②①×2－②得，2q4－q2－28=0，解得q2=4

又由题意，知{bn}各项为正，所以q=2，代入②得d=2，所以an=2n－1，bn=2n-1.(2)由(1)可知，，又，

(1)，

(2)(2)－(1)得

，∴19.如图，四边形ABCD中，E,F分别为AC、BD的中点，设向量

，且（1）若与垂直，求的值；（2）试用表示,（3）若为自变量，求的最小值;参考答案：(1)

2

(2)

（3）略20.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．（1）现已画出函数在轴左侧的图像，如图所示，请补全函数的图像，并根据图像写出函数的增区间；（2）写出函数的值域；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（3）写出函数的解析式。

参考答案：解析:（1）在区间，上单调递增———6分l

写成并集形式，扣2分（2）函数的值域是————————8分（3）设，则

——————————————9分函数是定义在上的偶函数，且当时，

——————11分——————————————————————12

21.已知函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且曲线y=f（x）在其与y轴的交点处的切线记为l1，曲线y=g（x）在其与x轴的交点处的切线记为l2，且l1∥l2．（1）求l1，l2之间的距离；（2）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；（3）对于函数f（x）和g（x）的公共定义域中的任意实数x0，称|f（x0）-g（x0）|的值为两函数在x0处的偏差．求证：函数f（x）和g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．参考答案：（1）；（2）；（3）见解析【分析】（1）先根据导数的几何意义求出两条切线，然后利用平行直线之间的距离公式求出求l1，l2之间的距离；（2）利用分离参数法，求出h（x）=x-ex的最大值即可；（3）根据偏差的定义，只需要证明的最小值都大于2．【详解】（1）f′（x）=aex，g′（x）=，y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），由题意得f′（0）=g′（a），即a=，又∵a＞0，∴a=1．∴f（x）=ex，g（x）=lnx，∴函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x-y+1=0，x-y-1=0，∴两平行切线间的距离为.（2）由＞，得＞，故m＜x-ex在x∈[0，+∞）有解，令h（x）=x-ex，则m＜h（x）max，当x=0时，m＜0；当x＞0时，∵h′（x）=1-（+）ex，∵x＞0，∴+≥2=，ex＞1，∴（+）ex＞，故h′（x）＜0，即h（x）在区间[0，+∞）上单调递减，故h（x）max=h（0）=0，∴m＜0，即实数m的取值范围为（-∞，0）．（3）解法一：∵函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞），∴F′（x）=ex-，设x=t为F′（x）=0的解，则当x∈（0，t），F′（x）＜0；当x∈（t，+∞），F′（x）＞0，∴F（x）在（0，t）单调递减，在（t，+∞）单调递增，∴F（x）min=et-lnt=et-ln=et+t，∵F′（1）=e-1＞0，F′（）=-2＜0，∴＜t＜1，故F（x）min=et+t=+＞+=2，即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．解法二：由于函数y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞），令F1（x）=ex-x，x∈（0，+∞）；令F2（x）=x-lnx，x∈（0，+∞），∵F1′（x）=ex-1，F2′（x）=1-=，∴F1（x）在（0，+∞）单调递增，F2（x）在（0，1）单调递减，在（1