河南省信阳市杨集乡中学高三数学文下学期期末试卷含解析

河南省信阳市杨集乡中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，若实数使得对任意实数恒成立，则的值等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f（x）+f（x-c）=2，于是取a=b=，c=π，则对任意的x∈R，f（x）+f（x-c）=1，由此得=-1，选C2.椭圆的焦点坐标是（

）A

(0,)、(0,)

B

(0,-1)、(0,1)

C

(-1,0)、(1,0)

D

(,0)、(,0)参考答案：A略3.设集合，则等于

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.已知命题p：|x－1|≥2，q：x∈z．若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（

）

A．{x|x≥3或x≤－1，xz}

B．{x|－1≤x≤3，xz}

C．{－1，0，1，2，3}

D．{0，1，2}参考答案：D5.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，且3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法种数为（

）A.60

B.54

C.48

D.42参考答案：D6.若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={－1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为A．15

B．16

C．28

D．25参考答案：A7.已知命题，都有，命题，使得成立，则下列命题是真命题的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：对数函数定义域大于零，所以为假命题.显然是真命题，故为真命题.考点：含有逻辑联结词命题真假性.8.已知函数，则下面结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．C．函数的图像关于直线对称D．函数在区间上是增函数参考答案：D试题分析：由题意得，根据给定的图象可得，所以，所以，即，令，则，解得，所以函数的解析式为，当时，则，所以函数在区间上是增函数，故选D.考点：三角函数的图象与性质.9.函数在区间上的最小值是

（

）

A．

B．1 C．

D．参考答案：B10.已知函数，，则的零点的个数为A．2

B.3

C.4

D5参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数（其中为虚数单位）的虚部为

参考答案：略12.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是

参考答案：13.已知函数f(x)＝2ax2－bx＋1，若a是从区间[0,2]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，则此函数在[1，＋∞)递增的概率为________．参考答案：略14.已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则的值为

.参考答案：因为的图像与函数的图像关于直线对称，则与互为反函数。所以由得，解得，所以。15.我校计划招聘男教师名,女教师名,和须满足约束条件则我校招聘的教师人数最多是

名.参考答案：16.正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是______________.参考答案：17.的最小正周期是＿＿＿＿。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)如图，椭圆长轴端点为,为椭圆中心，为椭圆的右焦点,且，.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.参考答案：（1）设椭圆方程为，由题意又∵即∴

故椭圆方程为

…………4分（2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则设，∵，故

……………6分于是设直线为，由得

…………8分∵又得

即

由韦达定理得解得或（舍）

经检验符合条件则直线的方程为:………14分19.设函数f（x）=1﹣e﹣x，函数g（x）=（其中a∈R，e是自然对数的底数）．（1）当a=0时，求函数h（x）=f′（x）?g（x）的极值；（2）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案：解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=1﹣e﹣x，∴f′（x）=﹣e﹣x?（﹣1）=e﹣x，函数h（x）=f′（x）?g（x）=xe﹣x，∴h′（x）=（1﹣x）?e﹣x，当x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，故该函数在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴函数h（x）在x=1处取得极大值h（1）=．（Ⅱ）由题1﹣e﹣x≤在[0，+∞）上恒成立，∵x≥0，1﹣e﹣x∈[0，1），∴≥0，若x=0，则a∈R，若x＞0，则a＞﹣恒成立，则a≥0．不等式1﹣e﹣x≤恒成立等价于（ax+1）（1﹣e﹣x）﹣x≤0在[0，+∞）上恒成立，令μ（x）=（ax+1）（1﹣e﹣x），则μ′（x）=a（1﹣e﹣x）+（ax+1）e﹣x﹣1，又令v（x）=a（1﹣e﹣x）+（ax+1）e﹣x﹣1，则v′（x）=e﹣x（2a﹣ax﹣1），∵x≥0，a≥0．①当a=0时，v′（x）=﹣e﹣x＜0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，∴μ（x）在[0，+∞）上单减，∴μ（x）≤μ（0）=0，即f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（7分）②当a≥0时，v′（x）=﹣a?e﹣x（x﹣）．ⅰ）若2a﹣1≤0，即0＜a≤时，v′（x）≤0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，∴μ（x）在[0，+∞）上单调递减，∴μ（x）≤μ（0）=0，此时f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；ⅱ）若2a﹣1＞0，即a＞时，若0＜x＜时，v′（x）＞0，则v（x）在（0，）上单调递增，∴v（x）=μ′（x）＞v（0）=0，∴μ（x）在（0，）上也单调递增，∴μ（x）＞μ（0）=0，即f（x）＞g（x），不满足条件．综上，不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围是[0，]．

略20.（12分）已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m，是否存在实数m，使得y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：[解]函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且只有三个不同的交点，即函数h(x)＝g(x)－f(x)有且只有三个零点．∵h(x)＝x2－8x＋6lnx＋m，定义域为(0，＋∞)，∴h′(x)＝2x＋－8，令h′(x)＝0，得x＝1或x＝3.

x，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)h′(x)＋0－0＋h(x)↗极大值↘极小值↗如图，要使h(x)有且只有三个零点，当且仅当∴7<m<15－6ln3.

因此存在实数m，使得函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像有且仅有三个不同的交点，m的取值范围是(7,15－6ln3)．略21.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且，其中（1）求数列的通项公式;（2）若，数列的前项和为，求证：参考答案：（1）；（2）见解析【知识点】数列与不等式的综合；数列递推式．D1D4解析：（1）令，得，即，由已知，得………1分把式子中的用替代，得到由可得即，即即得：，……4分所以：即………………6分又，所以又，……………7分（2）,……11分【思路点拨】（1）求出数列的首项，通过，得到数列的递推关系式，利用累加法求数列{an}的通项公式；（2）化简bn=+，为，然后求解数列{bn}的前n项和为Tn，即可证明：Tn＜2n+．22.某人经营一个抽奖游戏，顾客花费3元钱可购买一次游戏机会，每次游戏中，顾客从标有黑1、黑2、黑3、黑4、红1、红3的6张卡片中随机抽取2张，并根据摸出的卡片的情况进行兑奖，经营者将顾客抽到的卡片情况分成以下类别：A：同花顺，即卡片颜色相同且号码相邻；B：同花，即卡片颜色相同，但号码不相邻；C：顺子，即卡片号码相邻，但颜色不同；D：对子，即两张卡片号码相同；E：其他，即A，B，C，D以外的所有可能情况．若经营者打算将以上五种类别中最不容易发生的一种类别对应顾客中一等奖，最容易发生的一种类别对应顾客中二等奖，其他类别对应顾客中三等奖．（1）一、二等奖分别对应哪一种类别？（写出字母即可）（2）若经营者规定：中一、二、三等奖，分别可获得价值9元、3元、1元的奖品，假设某天参与游戏的顾客为300人次，试估计经营者这一天的盈利．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）分别用A1，A2，A3，A4，B1，B3表求标有黑1、黑2，黑3，红苕，红3的卡片，从6张卡片中任取2张，共有15种取法，分别求出A类别、B类别、C类别、D类别、E类别的概率，由此能求出一等奖、二等奖对应的类别．（2）顾客获一、二、三等奖的人数分别为40，80，180，由此能估计经营者这一天的盈利．【解答】解：（1）分别用A1，A2，A3，A4，B1，B3表求标有黑1、黑2，黑3，红苕，红3的卡片，从6张卡片中任取2张，共有15种取法，共中A类别包括A1A2，A2A3，A2A4，即P（A）=；B类别包括A1A3，A1A