生报到人数预测_数学建模实训论.doc

数学与信息科学学院数学建模实训论文数学建模实训论文实训题目：新生报到人数预测学生姓名、学号、专业班级指导教师：张建玲2015年12月24日14新生报到人数预测摘要1、 研究目的：预测该校未来三年内每年9月新生的报到人数以及分析2009年新生报到人数骤然下降的原因。2、 建立模型思路：首先，由于一所高校的新生报到人数反映了该校的知名度和综合实力。对于一所综合实力较强的大学来说，新生报到人数应是稳步增长的，新生报到人数系统是一个灰色系统。鉴于此，我们建立了灰色预测模型。其中简化了许多外在因素对新生报到人数的影响，只考虑随着时间的变化对该学校新生报到人数造成的影响，用已知的新生报到人数的时间序列来构造灰色预测模型，从而对未来学生报到人数的变化趋势进行分析。在预测未来三年报到人数的过程中，针对第二个问题2009年新生报到人数骤然下降的原因给予了一系列合理的分析。3、 求解思路：（1）构造累加生成序列；（2）构造矩阵B和数据向量 ；（3）通过MATLAB软件对参数求解；（4）得出预测模型；（5）残差检验；（6）关联度检验；（7）后验差检验；（8）得出预测结果。4、 建模特点：灰色预测模型适用于数据少的系统，且预测精度高，此模型理论性强，可借助MATLAB等数学软件进行计算，使得数据处理简便，检验方便，准确度高。5、 在模型的检验中，本文分别讨论了以上模型的精度和稳定性。关键词：灰色预测、新生人口，GM(1，1)模型一、问题重述（一）问题背景在大学的教务招生系统中，预测新生报名人数是大学教学前期工作的重要指标之一。在目前，尽管我们可以通过更多更宽的渠道去获取更多的考生资源信息，但是各大高校对新生人数的预测仍然停留在他们的宏观计划上。怎样高效率地根据每年的考生数和综合往年的招生经验对现年的招生人数进行一个系统并且相对准确的预测,仍然是各大高校不可忽视的问题。毕竟每年的大学新生报到人数都会受到众多因素的干扰，所以预测新生的人数备受关注是在所难免的。小到学校自身规模上的变化，大到国家的宏观经济调控政策，以及各大院校政策的改变等等无不对此问题产生着影响。还有另一个重要的方面，那就是报到人数与招生人数存在差异。综上，不可测干扰因素多，既有已知理论信息，亦有诸多未知信息，新生预测与实际必定会有差别，所以我们一定要以应用灰色系统理论为前提。灰色系统是指既含有已知信息、又含有未知或非确知信息的系统，也称为贫信息系统。对于那些难以精确地建立数学模型的系统都属于灰色系统的范畴。在灰色系统理论中，称抽象系统的逆过程（有系统的行为确立模型）典型的灰色预测模型是邓聚龙教授提出的GM（1,1）模型，并且至今已经获得了迅速发展和快速应用。由于灰色预测模型能根据现有少量信息进行计算和推测，因而在人口，经济、生态农业、医学、工程技术、气象、水文及减灾等方面广泛应用。现阶段,静态的描述难以反映出系统发展速度与其经济水平之间的动态关系，并且学生报到人数虽然与许多因素有着密不可分的关系，但是，鉴于其与给定的年份并没有直接的相关关系，所以我们大多回避回归预测法建立经济序列的各种指示方程，而是要用比回归分析法更加适合处理该问题的灰色预测模型。（二）需要解决的问题问题一：预测该校未来三年内每年9月份新生报到的人数；问题二：分析该校2009年新生报到人数骤然下降的原因。二、问题分析该校新生报到人数既受到山东省招生计划等确定性因素的影响，又受到社会、经济发展等不确定性因素的影响。如此众多的因素不可能通过几个指标就能表达清楚，它们对新生人数的潜在而复杂的影响更是无法精确计算。所以，这个新生报到人数系统是一个灰色系统，可以利用灰色预测模型对新生报到人数进行预测。灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。尽管灰色过程中所显示的现象是随机的，但毕竟是有序的。这一数据集合具有潜在的规律，所以，用它来预测新生报到人数具有合理性。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势。灰色预测用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。基于以上思想，我们建立了灰色预测模型。三、模型假设1、 假设题中所给数据都真实可靠且具有预测性；2、 忽略由于学生个人原因（如地域原因，留级，家庭经济状况，保留学籍参军等）造成的不报到情况；3、 忽略国家教育体制改革对新生报到人数的影响；4、 忽略社会、经济发展对其影响；5、 忽略交换生对新生报到人数的影响。四、名词解释1、 灰色系统：既含有已知信息、又含有未知或非确知信息的系统，也称为贫信息系统。2、 累加生成：将同一序列中数据逐次相加以生成新的数据。3、 累减生成：将原始序列前、后两个数据相减，所得数据序列为累减生成序列，累减是累加的逆运算。4、 灰色预测法：一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。五、符号说明表格 1 符号说明符号意义新生报到人数发展灰度内生控制灰数标准差关联系数关联度小误差概率残差（绝对误差）分辨率方差比 六、模型的建立灰色预测模型对于新生报到人数预测问题，我们在研究的过程中忽略了许多其他的因素，只考虑了随着时间的变化对该学校新生报到人数造成的影响，用已知的新生报到人数的时间序列来构造灰色预测模型，从而，对未来学生报到人数的变化趋势进行分析。灰色预测模型是根据关联度、生成数灰导数，灰微分等观点和一系列数学方法建立起来的连续性的微分方程。通常用GM（1,1）表示单变量一阶灰色预测模型。首先以2004年-2007年的学生报到人数为例观察该问题是否可以运用灰色预测法，然后再通过对之后几年内学生报到人数的分析来预测未来三年的学生报到人数。（一）检验灰色预测模型能否对该问题进行预测1) 构造累加生成列记GM（1,1）模型的原始序列为：这是一组信息并不完全的灰色量，并且还具有很大的随机性、不确定性，为了能够得到更加有用的信息，将上述原始序列进行生成处理，通过累加处理从而得到下述序列： 即 在一般情况下，用一次累加生成便可以使数据呈现一定的规律性，但是，假设没有呈现预期的规律，亦或是规律性不够，则可增加累加生成的次数，从而得到相应的规律。在数据生成的基础上，用线性动态模型对生成数据进行拟合和逼近，GM（1,1）模型相应的白化形式微分方程为： -（1）记 为待估参数向量，利用最小二乘法求解，可得： -（2）2) 构造矩阵B和数据向量 。求解微分方程，即可得预测模型： -（3）3) 通过计算BTB,(BTB)-1,和BTYn对参数求解运用Matlab软件编程（程序见附录）对参数a和求解可以得到： a=-0.3 =1766.44) 得出预测模型将参数代入公式（1）便可得出预测模型为： -（4）5) 残差检验通过公式（4）可求得： ；(由于研究对象为人数，故上述数据均取整数）然后，再通过累减生成预测的序列，并将其与实际值进行对比，观察其是否可行。; ;； ;； ；表 2 残差计算年份(年)实际值预测值绝对误差相对误差（%）2004416416002005202422051810.0894268772006319929772220.0693966862007387740191420.0366262572008465554257700.16541353420094234732230880.7293339631-图 1 2004-2009年实际值、预测值对比由上表可以清晰地看出，除去2009年特殊情况外，其他几年相对误差均小于0.5%，模型的精确度较高，故可以对未来几年内的学生人数进行预测。该校2009年新生报到人数骤然下降的原因由上表可以看出2009年的新生报到人数本应该比2008年多，而实际情况却少，经我们分析可能有以下几个原因：第一,可能是2009的高考试题比较难，该校2009年的录取分数线与之前有较大不同。一方面是很多考生填报志愿时都会参照该大学往年的录取分数线，他们会根据自己的分数情况去斟酌。所以部分考生在填报志愿的时候就放弃了填报该学校。另一方面是部分家长觉得孩子考得本来就不理想，学一些相对冷门的专业将来就业机会也不容乐观，与其花4年时间和金钱还不如早早下来找工作，由此造成了申报人数在数量上差别较大。第二，很多考生都是冲着某个大学的某几个或者某个热门专业而去的，对于该学校其他专业没有意向，而其他专业的招生数量远远达不到预计人数，这就造成了专业填报的扎堆现象。那些热门专业由于报名人数太多有很多分数相对偏低的学生录取不上，他们又不愿意接受调剂，因为在他们看来“我就是冲着某某专业去的”，既然录取不到，他们宁可选择不填报，所以即使有调剂的专业可供他们选择，他们也不会考虑去填报。第三，现在大学越来越多，所以就给考生提供了很多可供选择的机会。从该校自身原因考虑，与其他学校相比该校的录取分数线可能偏高。可是这就使得很多考生在填报志愿的时候由于录取分数线太高了不敢轻易填报该学校，在学生源数量有限的前提条件下，具备同等条件填报志愿资质的考生选择其他学校的概率和人数与之前差异较大。第四，该校的就业情况影响了学生的选择。目前日益紧张的就业难的问题让现代大学生感受到了很大的压力。学生通过网络和往届学生的表述中可以得知该校的就业情况，近年来就业不大好的专业，申报的人数就会下降。而争相申报就业好的专业，就会造成大部分人员因分数低被刷掉。而少部分家庭条件较差的考生会因为自己的成绩不理想而放弃学业，他们对那昂贵的学费望而却步，转头踏上打工之路。这就使得即使该学校预计人数达到一定数量，但是与报到的人数也会存在较大差异，那么新生报到人数减少甚至是骤降也是情理之中的事。第五，该校的教学状况对学生选择的影响。由于前几年某些专业的考研率较低，或者某些专业并不是该校擅长的系别导致了本该申报这些专业的学生打了退堂鼓，改报其他专业甚至是其他学校。第六，学校的知名度对学生选择的影响。现如今学历越来越重要，本科比专科强，一流大学比二流大学棒，这就促使了很多学生和家长务必晚要上好大学的心理。人人都想上的大学越高端越好，宁当凤尾不做鸡头的势头正盛。该校可能在此方面不如其他学校有竞争优势，知名度不是很高，由此造成了新生人数下降。综上，该校2009年新生报到人数骤然下降受试题难易程度、分数线高低、选择机会、就业、教学、知名度等众多因素的影响，高校应该提高各方面资源的配置水平，及时准确的预测新生报到人数，促进学校的长久发展。（2） 通过已知图表中2011年2014年新生报到人数来预测未来三年学生报到人数的情况。1) 原始序列为：对原始序列进行累加生成：2) 构建矩阵B和数据向量。3) 计算BTB,(BTB)-1,和BTYn对参数求解。运用MATLAB程序（见附录）来对未知参数a和求解得到：a=-0.1; =5387.64) 讲参数代入得出预测模型。 -（5）5) 残差检验。由公式（5）可求得：； ； ；通过累减生成预测序列:; ; ;表格 3 残差计算年份实际值预测值绝对误差相对误差（%）2011年59315931002012年610262891870.030645692013年648769524650.0716818252014年709476835890.083027911图 2 2011-2014年实际值、预测值对比显然，由上表可知，相对误差小于0.5%，模型的精确度较高。6) 关联度检验。；1 计算关联系数。 -（6）运用公式计算得：； ； ；2 计算关联度。r=0.605满足=0.5时的检验准则r0.60.7) 后验差检验。i.计算原始序列的标准差。ii.计算残差的标准差。iii.计算方差比C。iv.计算小误差概率。将中所有数据与进行对比，显然中的所有值均小于，故小误差概率为：又由于C0.50，那么模型有较好的预测精度。8) 模型经检验后可用于预测，预测公式为：当k=4时，可预测出第五个数值为：当k=5时，可预测出第六个数值为：当k=6时，可预测出第七个数值为：即：2015年预计学生报到人数为8490人，2016年预计学生报到人数为9384人，2017年预计学生报到人数为10370人。八、模型评价（一）优点1、灰色预测模型所用数据量少，预测精度高。它是一个长期的预测模型，将预测系统中的随机元素作为灰色数据进行处理，找出数据的内在规律。2、此模型理论性强，可借助MATLAB等数学软件进行计算，使得数据处理简便，检验方便，准确度高。3、适用性强。用灰色预测模型既可对周期性变化的系统行为进行预测，亦可对非周期性变化的系统行为进行预测；既可进行宏观长期的预测，亦可用于微观短期的预测。（二）缺点1、累加次数增多，预测值增大。对于原始数列来说，若一次累加建模，那么对一次求导，即可得原始数列的还原值和预测值，若二次建模，那么需要对二次求导，才能得到的还原值和预测值。由于二次累加建模后还原曲线的斜率大于一次累加建模后还原曲线的斜率,这对于同一原始序列来说就会造成累加次数越多，预测值越大。2、新序列的第二项减小，预测值增大。当序列长度增加一项时，预测值的变化取决于新序列第二项的增减变化。如果新序列的第二项减小，那么还原曲线的斜率增大，即该曲线变陡，因而预测值增大。3、不考虑系统内在机理，有时会出现较大的错误。因此，对于内在机理明确的系统，一般不建议使用灰色预测模型。九、模型推广本文利用灰色预测模型对高校的新生报到人数进行了预测，经残差检验，该模型的精确度高，对预测新生报到人数情况具有可行性和有效性。预测结果对高校未来几年的招生人数具有指导作用，高校可利用预测反馈信息进行优化学校各专业设置，改善招生计划，促使更多高校招到更好的生源。由于灰色预测模型能根据现有少量信息进行计算和推测，因而在人口，经济、生态农业、医学、工程技术、气象、水文及减灾等许多部门得到了广泛的应用。十、参考文献1 兰州交通大学新生人数预测模型，/link?url=dz86-rc_2I1zxQ7B5i42lccGk5IfCOBkAeSxWicV4jk3l4-70uUYY_iwEnlMMAYXvS26AfwbIQetI1ih3l6XBadGjZ0yOKMyhGqckmq_pci，2015，12，22.2 徐春林，基于灰系统的高校新生报到率预测研究，科技创新导报，2009,28:11.3 熊和金，徐华中，灰色控制，北京：国防工业出版社，2005. 4 徐国祥，统计预测和决策，上海：财经大学出版社,2012. 十一、附录附件：灰色预测模型MATLAB程序.doc1. 累加：y=inpu