云南省昆明市学区中学高三数学文期末试卷含解析

云南省昆明市学区中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.为了有效管理学生迟到问题，某校专对各班迟到现象制定了相应的等级标准，其中D级标准为“连续10天，每天迟到不超过7人”，根据过去10天1、2、3、4班的迟到数据，一定符合D级标准的是A．1班：总体平均值为3，中位数为4 B．2班：总体平均值为1，总体方差大于0C．.3班：中位数为2，众数为3 D．4班：总体平均值为2，总体方差为3参考答案：D2.若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为(

) A．64π B．16π C．12π D．4π参考答案：A考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC，∠ABC=90°，可得△ABC截球O所得的圆O′的半径，利用SA⊥平面ABC，SA=2，此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．解答： 解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC=，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=1，∵SA⊥平面ABC，SA=2∴球O的半径R=4，∴球O的表面积S=4πR2=64π．故选：A．点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题的关键．3.已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，若对?p，q∈（0，1），且p≠q，有恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，18） B．（﹣∞，18] C．[18，+∞） D．（18，+∞）参考答案：C【考点】对数函数的图象与性质．【分析】恒成立恒成立?'f（x+1）≥2恒成立，即恒成立，分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）=aln（x+1）﹣x2，所以f（x+1）=aln[（x+1）+1]﹣（x+1）2，所以．因为p，q∈（0，1），且p≠q，所以恒成立恒成立?'f（x+1）≥2恒成立，即恒成立，所以a＞2（x+2）2（0＜x＜1）恒成立，又因为x∈（0，1）时，8＜2（x+2）2＜18，所以a≥18．故选：C．4.已知sinαcosα=,且α∈，则sinα-cosα等于

（

）A. B.

C.

D.参考答案：D5.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=A．

B．

C．

D．参考答案：B6.已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B由题意，对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面平面，，，∵平面平面，∴当时，必有，而，∴，而在平面内与平行的直线有无数条，这些直线均与垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确；故选B．7.已知函数数列满足,且是单调递增数列,则实数的取值范围（

）

A.

B．

C．

D．参考答案：C略8.奇函数是定义在上的减函数，满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：D9.直线l是抛物线在点(－2,2)处的切线，点P是圆上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先由题意求出直线的方程，再求出圆的圆心到直线的距离，减去半径，即为所求结果.【详解】因为，所以，因此抛物线在点处的切线斜率为，所以直线的方程为，即，又圆可化为，所以圆心为，半径；则圆心到直线的距离为又因点是圆上的动点，所以点到直线的距离的最小值等于.故选C10.已知函数，则下列结 论正确的是 （A）两个函数的图象均关于点（—，0）成中心对称 （B）淤的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向 右平移个单位即得于 （C）两个函数在区间（—，）上都是单调递增函数 （D）两个函数的最小正周期相同参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在直角坐标系xOy中，M是曲线：(t为参数)上任意一点，N是曲线：(为参数)上任意一点，则的最小值为 .参考答案：12.

.参考答案：13.已知的展开式各项系数之和为256，则展开式中含x2项的系数为

．参考答案：28

14.若集合，集合,,,,，则

.参考答案：由得，即，所以，即，所以。15.函数在区间上的最大值是________.参考答案：2略16.某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为___

________．参考答案：17.若实数，满足条件则的最大值为___________。参考答案：9略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足（Ⅰ）证明：点P在C上；

（II）设点P关于O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。参考答案：解：（I）F（0，1），的方程为，代入并化简得

…………2分设则由题意得所以点P的坐标为经验证，点P的坐标为满足方程故点P在椭圆C上。

…………6分

（II）由和题设知，PQ的垂直一部分线的方程为

①设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线为的方程为

②由①、②得的交点为。

…………9分故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上

…………12分19.已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．参考答案：【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．【专题】压轴题；直线与圆．【分析】（1）由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化简可得a，b间满足的等量关系．（2）由于PQ==，利用二次函数的性质求出它的最小值．（3）设⊙P的半径为R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函数的性质求得OP=的最小值为，此时，求得b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1，从而得到圆的标准方程．【解答】解：（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2．由已知PQ=PA，可得PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化简可得2a+b﹣3=0．（2）∵PQ====，故当a=时，线段PQ取得最小值为．（3）若以P为圆心所作的⊙P的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．而OP===，故当a=时，PO取得最小值为，此时，b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1．故半径最小时⊙P的方程为+=．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，圆的切线的性质，两点间的距离公式以及二次函数的性质应用，属于中档题．20.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；向量方法证明线、面的位置关系定理．【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…21.（本小题满分14分）已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的左右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：当点在椭圆上运动时，恒为定值.参考答案：解：（1）由题意可知，，

……………1分而，

……………2分且.

……………3分解得，

……………4分所以，椭圆的方程为.

……………5分（2）.设，，