《高中数学思想方法与解题方法全解》素材

目录

前言....................................................................................2

第一章高中数学解题基本方法..................................................................3

-、配方法..................................................................................3

二、换元法..................................................................................7

三、待定系数法..............................................................................15

四、定义法.................................................................................20

五、数学归纳法.............................................................................24

六、参数法.................................................................................30

七、反证法.................................................................................34

第二章高中数学常用的数学思想...............................................................38

一、数形结合思想方法.......................................................................38

二、分类讨论思想方法.......................................................................45

三、函数与方程的思想方法...................................................................52

四、等价转化思想方法.......................................................................60

第三章高考热点问题和解题策略...............................................................66

一、应用问题...............................................................................67

二、探索性问题.............................................................................74

三、选择题解答策略.........................................................................80

四、填空题解答策略.........................................................................86

一j

前

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，

总想用熟悉的题型去“套，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，

才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其

解答过程都蕴含着重要的教学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能

力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。

高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：

①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；

②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；

③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与•般、类比、归纳和演绎等；

④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。

数学思想方法与教学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和

符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，

只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受

用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。

数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，

可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的

同时获得。

可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数

学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。

为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：

配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、

类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨

论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了

近几年的高考试卷。

在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是

一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩

固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几

何几个部分重要章节的数学知识。

第一章高中数学解题基本方法

一、配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系,

从而化繁为筒。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,

从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次

方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b?,将这个公式灵活运用，

可得到各种基本配方形式，如：

a'+b'—(a+b)—2ab—(a—b)2+2ab；

b

a2+ab+b2=(a+b)2—ab=(a—b)2+3ab=(aH—)2+(---b)2；

22

a2+b2+c2+ab+bc+ca=—[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]

2

a2+b2+c2=(a+b+c)2—2(ab+bc+ca)=(a+b—c)2—2(ab—be—ca)=•••

结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：

1+sin2a=l+2sinacosa=(sina+cosa)2；

x2H—7=(x4—尸—2—(x---)2+2；....等等。

X"XX

I、再现性题组：

1.在正项等比数列｛a“｝中，a।%5+2a?%5+a§=25,则a?+a$=。

2.方程x2+y2—4kx—2y+5k=0表示圆的充要条件是。

A.*k<lB.k〈｝或k>lC.k£RD.k=弥或k=l

3.已知sin"a+cos4a=1,则sina+cosa的值为。

A.1B.-1C.1或一1D.0

4.函数y=log4(-2x2+5x+3)的单调递增区间是。

A.(-°°,IB.[-4,+°°)C.(―2,4]D.[/,3)

222

5.已知方程x+(a-2)x+a-l=0的两根x1、x2,则点P(x]，x2)在圆x+y=4±,则实数a=。

【简解】1小题：利用等比数列性质将已知等式左边后配方(a3+a5)2易求。

答案是：5。

2小题：配方成圆的标准方程形式(x-a)2+(y—b)2=”，解「2>0即可，选B。

3小题：已知等式经配方成(sin2a+COS?a)2—'Zsin?acos2a=1,求出sinacosa,然后求出所

求式的平方值，再开方求解。选C。

4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。

5小题：答案3一而。

II、示范性题组：

例L已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为。

A.273B.V14C.5D.6

[2(xy+yz+xz)=11

【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z,则，、，而欲

[4(x+y+z)=24

求对角线长/'y'z?，将其配凑成两已知式的组合形式可得。

【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”

k汨f2(xy+yz+xz)=11

而得：。

[4(x+y+z)=24

长方体所求对角线长为：yjx2+y2+z2=J(x+y+z)2-2(xy+yz+xz)=A/62-11=5

所以选B。

【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，

容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的

一种解题模式。

例2.设方程x2+kx+2=0的两实根为p、q,若（£）2+（9）2^7成立，求实数k的取值范围。

qp

【解】方程x*+kx+2=0的两实根为p、q,由韦达定理得：p+q=-k,pq=2,

（P（p2+r）22p2q2[（p+q）2—2pq]2-2p、2（攵24）28

qP（pq）2（pq¥（pq）24

7,解得kW一历或k'M。

又Vpsq为方程x?+kx+2=0的两实根，，△=!i?-820即k22JI或k<-2J5

综合起来，k的取值范围是：一Ji0WkW-2五或者2&WkWji。。

【注】关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“△”；已知方程有两根时，可以恰当

运用韦达定理。本题由韦达定理得到p+q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方,

表示成p+q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉

对的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。

例3.设非零复数a、b满足a?+ab+b2=0,求（上:）师8+（一叨8。

a+ba+b

araa

【分析】对已知式可以联想：变形为（7）2+（7）+1=0,则7=3（3为1的立方虚根）；或配

bbb

方为（a+b）2=ab。则代入所求式即得。

cra、a

【解】由a+ab+b=0变形得：（丁）~+（7）+1=0,

bb

ci°_1/?o—

设3=—,则3~+3+1=0,可知3为1的立方虚根，所以：———，W'=CD'=1o

bcoa

又由a?+ab+b2=0变形得：（a+b）2=ab,

所以（一^-”须+（上）1998=（Q）999+（4）999=（q）999+（2）999=3999+石999=2。

a+ba+bababba

【注】本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用3的性质，计算表达式中的高

次辕。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。

【另解】由a2+ab+b2=0变形得：(£)2+(/)+i=o,解出2=二1^1_后，化成三角形式，

bba2

11I/o•

代入所求表达式的变形式(f)999+(一)"9后，完成后面的运算。此方法用于只是未一二‘联想到3

ba2

时进行解题。

_1+5

假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a2+ab+b2=0解出：a=—1一b,直接代入

所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。

m、巩固性题组：

1.函数y=(x—a)2+(x—b)2(a、b为常数)的最小值为。

A.8B.区-4C.♦+.〃.D.最小值不存在

22

2.a、B是方程x2—2ax+a+6=0的两实根，则(a-l)2+(。-1)2的最小值是。

A.一叠B.8C.18D.不存在

3.已知x、yeR+,且满足x+3y—1=0,则函数t=2"+8■'有。

A.最大值2拒B.最大值也C.最小值2啦B.最小值也

22

4.椭圆x?—2ax+3y*+a?—6=0的一个焦点在直线x+y+4=0上，贝ija=。

A.2B.-6C.-2或一6D.2或6

5.化简：2Vl-sin8+J2+2cos8的结果是。

A.2sin4B.2sin4—4cos4C.—2sin4D.4cos4—2sin4

6.设F]和F2为双曲线二一y2=l的两个焦点，点P在双曲线上且满足/F]PF2=90°,则△'PF’的

4

面积是o

7.若x〉一l,则£&)=乂2+2乂+」_的最小值为o

x+\

8.已知工<0<a<9冗，cos(a-p)=!Z,sin(a+0)=-2,求sin2a的值。(92年高考题)

24135

9.设二次函数f(x)=Ax?+Bx+C,给定m、n(m<n)，且满足A?[(m+n)?+m2n?]+2A[B(m+n)—Coin]

22

+B+C=0O

①解不等式f(x)〉0；

②是否存在一个实数t,使当te(m+t,n-t)时，f(x)<0?若不存在，说出理由；若存在，指出t的

取值范围。

4422

10.设s>l,t>l,meR,x=logit+log,s,y=logJt+logrs+m(logJt+log,s),

①将y表示为x的函数y=f(x),并求出f(x)的定义域；

②若关于x的方程f(x)=0有且仅有一个实根，求m的取值范围。

二、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对

象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件

显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、

函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，

某个代数式儿次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不

等式：4*+2,—220,先变形为设2*=t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点

联系进行换元。如求函数y=J7+J匚嚏的值域时;易发现xe[0,1],设乂=$行2a,aG[0,

问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号

的需要。如变量x、y适合条件x?+y2=r2(r>0)时，则可作三角代换x=rcos()、y=rsin()化为三角

问题。

Ss

均值换元，如遇到乂+丫=$形式时，设X=]+t,y=^—t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一

7C

定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和ae[0,y]o

I、再现性题组：

1.y=sinx,cosx+sinx+cosx的最大值是。

2.设f(x?+1)=log“(4一x4)(a>l),则f(x)的值域是。

3.已知数列｛a“｝中，a1=-1,a,,”•a“=a“M—a”，则数列通项a“=。

4.设实数x、y满足x2+2xy—l=0,则x+y的取值范围是。

1+3-

5.方程二寸=3的解是_____o

1+3,

x+,

6.不等式log2(2'-l).log2(2-2)〈2的解集是。

产1

【简解】1小题：设sinx+cosx=te[―y[2,V2],贝ijy=万+t——,对,称轴t=-1,当t=V2,

yma*=万+后；

2小题：设x?+l=t(t2l),则f(t)=log”[-(tT)2+4],所以值域为(-8,kg”]；

3小题：已知变形为」-----L=-1,设b“=」-,则b|=-1,b“=-1+(n—1)(T)=-n,所以

-%a.

1

a」/

4小题：设x+y=k,则x?—2kx+l=0,△=41?—420,所以k21或kW-l；

1

5小题：设3*=y,则3y?~+2y—1=0,解得y=g,所以x=-1；

6小题：设log2(2'—1)=y,则y(y+l)<2,解得一2<y〈l,所以x£(log21,log??)。

II、示范性题组:

11

例1.实数X、y满足4x?-5xy+4y2=5（①式）设S=x2+y2,求不一+不一的值。（93

°inax°min

年全国高中数学联赛题）

,,,，[x=Vscosa

【分析】由S=x?+y2联想到cos2a+sin2a=1,于是进行三角换元，设（代入①式

y=JSsinQ

求Smax和Smin的值。

x=Vscosa

【解】设彳r-代入①式得：4S—5S•sinacosa=5

y=JSsinQ

10

解得S=

8-5sin2a

101010

丁—lWsin2aWl3W8-5sin2aW13—W-----w—

138-5sina3

*--1--_|_---1--——3—|_—13.——16——8

•,5叫MJI。10-10-5

OC_inoc_1Q

此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2a=-=—的有界性而求，即解不等式：|—，

JJ

W1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

252sS

[另解]由S=X?+y2设x2=]+t,y2=--t,tG[--）

S2,仁

则xy=±代入①式得：4S+5彳一厂=5,

移项平方整理得100t2+39S2-160S+100=0。

21010

39s2-160S+100W0解z得：一WSW一

133

11313168

I---=--1--=

jmaxJmin1010105

【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S=x?+y2与三角公式cos?a+sin2

a=l的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换

元法”，主要是由等式S=x?+y2而按照均值换元的思路，设x2=E+t、y2=l-t,减少了元的个数，

22

问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量X、y时，可以设*=@+ky=a

-b,这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x=a+b,y=a—b,代入①式整理得3a?

,,5,,,,1020,1010

+13b-=5,求得所以S=(a—b)-+(a+b)-=2(a-+b-)=-+-a-G［一,二］,

31313133

再求『一+J的值。

"max"min

11V2A-C

例2.4ABC的三个内角A、B、C满足：A+C=2B,--------+——-=------------,求cos一^的值。

cosAcosCcosB2

（96年全国理）

A+C=]20。

【分析】由已知"A+C=2B"和''三角形内角和等于180°”的性质，可得\。；由“A

8=60。

A=60+aA-。

+C=120。”进行均值换元，则设《，再代入可求cosa即cos一^

C=60°-a2

A+C=120°

【解】由aABC中已知A+C=2B,可得\

5=60°

A=60°+a

由A+C=120。，设《，代入已知等式得:

C=60°-a

----------------I—_______1_______

cosAcosCcos(600+a)------COS(60°-6Z)-------1V3

cosa-sina1coscr+rs.ina

2222

cosacosa

13cos2”3

—cos2a--sin2a

444

V2A-CV2

解得:cosa=--,即:COS-------------=-------O

22

11V2

【另解】由A+C=2B,得A+C=120。,B=60°。所以----+——二=--------

cosAcosCcosB

=-2V2,设-----=-V2+m,--------=-V2--m，

cosAcosC

所以cosA=----尸----，cosC=------j=----,两式分别相加、相减得:

-A/2+根—72-m

A+CA-CA-C2V2

cosA+cosC=2cos--------cos---------=cos---------=-z-------，

222m2-2

4+CA—Cf—A—C2机

cosA—cosC=—2sin--------sin----------=-v3sin----------=-i------，

222病.

A—C2m2V22A—C2A

即：sin---=----7=--------，=------o——,代入sin?------Feos2—

2V3(m2-2)"-22

,,,,、A-C2y/2V2

-12=0,解出m2=6,代入cos---=—z--=--o

2tn-22

【注】本题两种解法由“A+C=120。"、“一二十—=—20”分别进行均值换元，随后结合

cosAcosC

三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假

如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以——-

cosA

H----------=-----——~=—2,即cosA+cosC=—2V2cosAcosC,和积互化得：

cosCcosB

A+CA-CA-C后后,、后

2cos---cos---------=-V2[COS(A+C)+cos(A-C)，即cos---=--------v2cos(A-C)=------

22222

I-0A—CI-,A—CA—C1-

J2(2cos2------------1),整理得：4J2cos2---------+2cos-------------3丁2=0,

222

“,A-CV2

解得：COS---

V

例3.设a〉0,求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx・cosx—2a2的最大值

和最小值。今

【解】设sinx+cosx=t,贝lj[-],由(sinx+cosx)?=

/t2~1

l+2sinx•cosx得：sinx•cosx=--------

2

/.f(x)=g(t)=------(t-2a)2H—(a>0),t[~V2,V2]

22

时，取最小值：一2「一2j^a一万

当时、t=&，取最大值：-2a2+2Jia-g

当0<2aW/时，t=2a,取最大值：g。

f(x)的最小值为一2a?—2J^a—彳，最大值为“

2

—2a*+2y[2a——(a>—)

22

【注】此题属于局部换元法，设sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx与sinx•cosx的内在联系，将

三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的

参数的范围(te[-V2,V2])与sinx+cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分

类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。

•般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的

题型时，即函数为f(sinx土cosx,sinxcsox),经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函

数或•次函数的研究。

例4.设对所于有实数x,不等式x?log2*"[I'+2xlog?”2"；+log,>0恒成立,求a

aa+1'4a~

的取值范围。(87年全国理)

4(fl+1

【分析】不等式中log2\log2-^->log,"：?三项有何联系?进行对数式的有关变

aa+\4a~

形后不难发现，再实施换元法。

“.la,4(a+l)8(a+l)a+1la

[解]设log----=t,贝ijlog,-------=log----=3+log——=3—log-----=3—t,

2a+la22a22a2a+l

(a+1)-a+l

log:2=21og——=—2t，

24a-22a

代入后原不等式简化为(3-t)x2+2tx-2t>0,它对一切实数x恒成立，所以：

[3->0t<32a

：.t<0即log,----<0

t<0或，>6xX.I1

2a

0<----<1,解得0<aG。

a+1

【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关键是

发现已知不等式中log2-1)、log23'10§2三项之间的联系。在解决不等式恒成立问

题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。•般地，解指数与对数的不等式、方

程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换

元，这是我们思考解法时要注意的一点。

,sin9cos0cos20sin2。10

（②式），求一的值。

例5.已知-----f_EL2

xyXy3(/+y2)y

sin0cos9

【解】设=k,则sine=kx,cos6=ky,且sin?e+COS2。=k2(x?+y?)=1,

Xy

72

k2y2k2x210IO%?yx10

代入②式得:即：H----2

9/-3(/+/)—3T

Xxy

x则t+l=W,解得：t=3或?•于士6或#

设F=t，

yt33

•02g

【另解】由±=*7=tg9,将等式②两边同时除以C°S2，再表示成含tg。的式子：l+tg4

ycosx

10102,几2.2

0=(1+tg20}x---------1—=一tg0,设tg2°=t,贝lj3t—10t+3=0,

35

，或xV3

t=31,解得一=±V3或土--。

y3

sin6cos0

【注】第一种解法由-----------而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法

xy

Xsin9

将已知变形为一=,不难发现进行结果为tgO,再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较

yCOS0

熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。

(x-1)21(y+1)2

例6.实数x、y满足一=1,若x+y—k>0恒成立，求k的范围。

916

(1)2।(y+1)2

【分析】由已知条件-=1,可以发现它与a?+b2=l有相似之处，于是实施三角换

916

兀O

(1)2।(y+l)2x—1^-^-=sine,

【解】由=1,设一^-=cose,

9164

x=1+3cos。

即：\代入不等式x+y—k>0得:

y=-1+4sin。

3cos0+4sin0—k>0,即k<3cos0+4sin0=5sin(6+w)

所以k<-5时不等式恒成立。

【注】本题进行三角换元，将代数问题(或者是解析几何问题)化为了含参三角不等式恒成立的问题,

再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双

曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。

本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系,不等式ax+by+c>0(a>0)

所表示的区域为直线ax+by+c=O所分平面成两部分中含x轴正方向的

一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面

上x+y-k>0的区域。即当直线x+y—k=0在与椭圆下部相切的切线之

[16(x-l)2+9(y+l)2=144

下时。当直线与椭圆相切时，方程组有相

+y一女=0

等的一组实数解，消元后由△=()可求得k=-3,所以k<-3时原不等式恒

成立。

皿、巩固性题组:

1.已知f(x')=lgx(x>0),则f(4)的值为。

A.21g2B.Ilg2C.21g2D.21g4

333

2.函数y=(x+l)4+2的单调增区间是。

A.[-2,+°°)B.[-1,+°°)D.(-8,+8)c.(-°°,-1]

3.设等差数列｛3｝的公差d=；,且5.=145,则a]+a3+as+……+晅9的值为_

A.85B.72.5C.60D.52.5

4.已知x?+4y2=4x,则x+y的范围是。

5.已知a20,bNO,a+b=l,则J