高二上学期中复习专题复习05圆的方程

期中复习专题05：圆的方程解析版考点一：圆的方程【知识点梳理】1、圆的方程圆的标准方程：，其中为圆心，为半径.圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.2、点与圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有(1)若点在圆上(2)若点在圆外(3)若点在圆内【典例例题】例1.（2022·广东省东莞市光明中学期中）在平面直角坐标系中，，，，圆为△的外接圆．（1）求圆M的标准方程；（2）过点作圆M的切线，求切线方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解；（2）分为切线斜率存在和不存在两种情况分别计算，当切线斜率存在时利用点到直线的距离公式求解即可.【小问1详解】设圆M的方程为，因为圆为△的外接圆,所以,解得，所以圆M的方程为，故圆M的标准方程为．【小问2详解】当切线斜率不存在时，切线方程为，当切线斜率存在时，设切线方程为，即，由，解得所以切线方程为，即．综上所述，所求切线方程为或．【变式训练】1.（2022·广东省佛山市顺德区卓越高中期中）以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程.【详解】直线方程可化为，则两条平行线之间距离，即圆的半径，所求圆的方程为：.故选：B.2.（2022·福建省泉州市第六中学期中）经过三个点的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解.【详解】由已知得，分别在原点、轴、轴上，，经过三点圆的半径为，圆心坐标为的中点，即，圆的标准方程为.故选：C.3.（2022·福建省泉州市第六中学期中）已知点P（m，n）在圆上运动，则的最大值为______．【答案】64【解析】【分析】表示圆C上的点P到点的距离的平方，利用数形结合分析即得解.【详解】解：由题得圆心C（2，2），半径r＝3．表示圆C上的点P到点的距离的平方，因为，所以，即的最大值为64．故答案为：644.（2022·广东省东莞市光明中学期中）已知圆，点，是直线上的动点，若在圆上总存在不同的两点，，使得直线垂直平分，则的取值范围为（）A. B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】先讨论直线的斜率不存在和为0时的情况，再根据直线的斜率存在且不为0，表示出直线方程，得出圆心到直线的距离小于半径可求出.【详解】在圆上总存在不同的两点，使得垂直平分．若为直线与轴交点，得，此时圆上不存在不同的两点，满足条件；若为直线与轴交点，得，，此时直线的方程为，满足条件，；当直线的斜率存在且不为0时，，，，直线方程为，化为，由圆心到直线的距离，得，又，化为，解得：．的取值范围为，．故选：C.5.（2022·广东省佛山市顺德区卓越高中期中）已知圆C过点，且圆心C在直线上．（1）求圆C的方程；（2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程，联立直线l的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程；（2）根据点关于直线对称的特征列方程可得，利用直线点斜式方程即可得出结果.【小问1详解】由，得直线AB的斜率为，线段中点所以，直线CD的方程为，即，联立，解得，即，所以半径，所以圆C的方程为；【小问2详解】由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心，设点M关于直线的对称点，则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上，则有，解得，所以，所以直线CN即为直线，且，直线方程为，即.考点二：直线与圆的位置关系【知识点梳理】1、直线与圆的位置关系几何法：相离d>r

，相切d=r

，相交

d<r

代数法：设圆C:(xa)2+(yb)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.相离Δ<0

，相切Δ=0

，相交Δ>0

2、弦长公式（1）弦长公式:设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长公式:|AB|=.（2）几何法:圆的半径r、圆心到弦的距离d、弦长l三者之间的关系为r2=d2+,即弦长l=【典例例题】例1.（2022·广东省东莞实验中学期中）已知圆C：（x2）2＋（y3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l.（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；（2）当直线l倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．【答案】（1）x＝4或3x＋4y8＝0.（2）【解析】【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程；（2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长.【详解】（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0，则圆心到直线的距离为即，解得，所以此时直线l的方程为3x＋4y8＝0.综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y8＝0.（2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y3＝0，圆心到直线l的距离故所求弦长为：.【变式训练】1.（2022·广东省东莞市光明中学期中）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】圆的圆心为，半径为，得到圆方程.【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.故选：B.2.（2022·福建省泉州市第六中学期中）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.3.（2022·广东省东莞市光明中学期中）一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】求出点关于轴的对称点，由对称点作圆的切线，即为反射光线所在直线，求出切线斜率即得．【详解】圆的圆心为，半径为1，根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于y轴的对称点，易知反射光线所在直线的斜率存在，设为k，则反射光线所在直线的方程为，即，由反射光线与圆相切，可得，整理得，解得或．故选：D．4.（2022·福建省泉州市第六中学期中）（多选）已知动直线与圆，则下列说法正确的是（）A.直线过定点B.圆的圆心坐标为C.直线与圆的相交弦的最小值为D.直线与圆的相交弦的最大值为4【答案】ACD【解析】【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可.【详解】对于A，直线，即，令，得，即直线过定点，故A正确；对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误；对于C，因为，所以直线所过定点在圆内部，不妨设直线过定点为，当直线与圆的相交弦的最小时，与相交弦垂直，又因为，所以相交弦的最小为，故C正确；对于D，直线与圆的相交弦的最大值为圆直径4，故D正确.故选：ACD5.（2022·福建省泉州市第六中学期中）设圆的圆心为C，直线l过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为___________.【答案】或【解析】【分析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，求出A，B两点的坐标，再判断是否成立，当直线l的斜率存在时，设直线，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，弦和半径的关系列方程可求出，从而可求出直线方程【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，由，得或，此时，符合题意.当直线l的斜率存在时，设直线，因为圆的圆心，半径，所以圆心C到直线l的距离.因为，所以，解得，所以直线l的方程为，即.综上，直线l的方程为或.故答案为：或6.（2022·福建省泉州市第六中学期中）已知圆．（1）若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；（2）设直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．【答案】（1）（2），最大值为.【解析】【分析】（1）利用垂径定理求出斜率，即可求出直线的方程；（2）利用几何法表示出弦长与d的关系，利用基本不等式求出的面积S的最大值．【小问1详解】圆化为标准方程为：.则.设所求的直线为m.由圆的几何性质可知：，所以，所以所求的直线为：，即.【小问2详解】设圆心C到直线l的距离为d，则，且，所以因为直线与圆C交于A，B两点，所以,解得：且.而的面积：因为所以（其中时等号成立）.所以S的最大值为.考点三：圆与圆的位置关系【知识点梳理】1、两圆的位置关系外离、外切、相交、内切和内含.2、两圆的位置关系的判定(1)代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按(2)的表中的标准进行判断.(2)几何法:两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆连心线的长为d,按表中标准进行判断.位置关系外离外切相交内切内含图示     公共点个数01210位置关系外离外切相交内切内含Δ的值Δ<0Δ=0Δ>0Δ=0Δ<0d与的关系

公切线条数4

32

10

3、两圆的公共弦所在直线方程的求法设☉C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),☉C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),联立 ①②,得(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0.③【典例例题】例1.（2022·广东省惠州市丰湖高级中学期中）（多选）圆与圆相交于，两点，则（）A.直线方程为 B.公共弦的长为C.圆与圆的公切线长为 D.线段的中垂线方程为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可.【详解】由，得，则，半径，由，得，则，半径，对于A，公共弦所在的直线方程为，即，所以A正确，对于B，到直线的距离，所以公共弦的长为，所以B错误，对于C，因为，，，所以圆与圆的公切线长为，所以C正确，对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为，所以直线为，即，所以D正确，故选：ACD【变式训练】1.（2022·广东省揭阳市揭东区第三中学期中）圆：与圆：的位置关系为（）A.相交 B.相离 C.外切 D.内切【答案】A【解析】【分析】根据圆心距以及圆的半径确定正确选项.【详解】圆：的圆心为，半径为.圆：圆心为，半径为.，，所以两圆相交.故选：A2.（2022·广东省惠州市丰湖高级中学期中）圆与圆的位置关系为（）A.外离 B.相切 C.内含 D.与a的取值有关【答案】A【解析】【分析】根据圆心距和半径的关系判断两圆的位置关系即可.【详解】由题意得圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为，，所以两圆外离.故选：A.3.（2022·广东省东莞实验中学期中）（多选）点在圆上，点在圆上，则（）A.的最小值为0B.的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为D.两个圆相交弦所在直线的方程为【答案】BC【解析】【分析】求出圆心距，结合半径由圆的性质可得圆上两点的距离的最大值和最小值，判断AB，得直线斜率，判断C，根据两圆位置关系可判断D．【详解】解：根据题意，圆，其圆心，半径，圆，即，其圆心，半径，圆心距，则的最小值为，最大值为，故A错误，B正确；对于C，圆心，圆心，则两个圆心所在的直线斜率，C正确，对于D，两圆圆心距，有，两圆外离，不存在公共弦，D错误．故选：BC．4.（2022·蕺山外国语学校期中）已知两圆相交于两点，，且两圆圆心都在直线上，则的值为（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】根据两圆的相交性质进行求解即可.【详解】由直线的方程可知该直线的斜率为，直线的斜率为，线段的中点坐标为，因为两圆相交于两点，，且两圆圆心都在直线上，所以有，故选：D5.（2022·蕺山外国语学校期中）已知点是圆：上的一个动点，点到直线：的距离的最小值为，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】根据点到直线的距离的最小值求出，利用圆与圆外切与直线相切求得值.【详解】圆的标准方程为，圆心，半径为1，圆心到直线：的距离，因为点P到直线的最小距离为，所以，解得（负值舍去），所以的方程，圆：的标准方程为，圆心为，半径为，

因为圆与圆外切，所以，解得，又圆与直线相切，所以，解得，由以上两式解得.故选：B.6.（2022·蕺山外国语学校期中）（多选题）点在圆：上，点在圆：上，则（）A.实数的取值范围为B.当时，的最小值为，最大值为C.当圆和圆外切时，D.当圆的圆心在圆上时，圆和圆的相交弦的长度为【答案】ABD【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程即可判断A；分别求出两圆的圆心及半径，求出圆心距，再根据最小值为圆心距减去半径之和，最大值为圆心距加上半径之和，即可判断B；根据两元外切可得圆心距等于半径之和即可判断C；先求出公共弦所在直线的方程，再根据圆的弦长公式即可判断D.【详解】圆的圆心，半径，圆：，即，则圆的圆心，半径，对于A，由题意，，解得，所以实数的取值范围为，故A正确；当时，圆的半径，因为，所以两圆外离，所以的最小值为，最大值为，故B正确；对于C，当圆和圆外切时，，即，解得，故C错误；对于D，当圆的圆心在圆上时，则，解得，所以圆：，两圆的方程相减得，即两圆公共弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离，所以公共弦长为，故D正确.故选：ABD.一、单项选择（10道）1.（2022·广东省揭阳市揭东区第三中学期中）若方程表示一个圆，则m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.【详解】由，得，则.故选：A2.（2022·新疆乌鲁木齐市第101中学期中）圆圆心和半径分别是（）A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.故选：D.3.（2022·广东省江门市第二中学期中）以点为圆心且与直线相切的圆的方程是A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意，因此圆方程为．4.（2022·广东省东莞实验中学期中）圆：与圆：的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】C【解析】【分析】将两圆方程写成标准式，计算出两圆圆心距，利用几何法可判断出两圆的位置关系.【详解】圆：的标准方程为，圆心为，半径为，圆：的标准方程为，圆心为，半径为，所以两圆圆心距，所以，因此两圆的位置关系为相交.故选：C.5.（2022·广东省揭阳市揭东区第三中学期中）若点是圆上任一点，则点到直线距离的最大值为（）A.5 B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】连接圆心和直线的定点，当直线与此线段垂直时圆心到直线的距离最大，再加半径即为圆上点到直线距离的最大值【详解】由题知，直线过定点（0，1），所以圆心到定点的距离为所以点到直线距离的最大值为故选：C.6.（2022·浙江省台州市八校联盟期中）在两坐标轴上的截距相等，且与圆相切的直线有（）条A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】分截距为零和截距不为零两种情况结合点到直线的距离公式求解即可【详解】圆的圆心为，半径，由题意可知切线的斜率存在，当截距为零时，设切线方程为，即，所以，化简得，因为，所以方程有两个不相等的根，所以过原点的切线有两条，当截距不为零时，设切线方程为，即，所以，解得或，所以不过原点的切线为或，有2条，综上，在两坐标轴上的截距相等，且与圆相切的直线有4条，故选：D7.（2022·新疆乌鲁木齐市第101中学期中）已知点在直线上的运动，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.【详解】表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为．故选：A8.（2022·广东省江门市第二中学期中）已知点，点M是圆上的动点，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】易知点为圆外一点，利用点到圆心的距离加半径，即为的最大值.【详解】将代入，得，所以点为圆外一点，易知圆心坐标，半径，所以，则的最大值为：，故选：D.9.（2022·山东省淄博实验中学、淄博齐盛高中期中）已知圆：，直线：，若直线上存在点，过点引圆的两条切线，，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.【详解】圆，半径，设，因为两切线，如下图，设切点为，则，由切线性质定理，知：，所以四边形PACB为正方形，所以，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，方程为，直线过定点，直线方程即，只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：或，即实数的取值范围是.故选：A.10.（2022·江苏省连云港市赣榆区中学期中）已知圆C：，P为直线l：上的动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，当四边形APBC的面积最小时，直线AB的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆的几何性质判断出直线时，四边形APBC的面积最小，利用圆与圆相交弦所在直线方程的求法求得正确答案.【详解】圆的方程可化为，点C到直线l的距离为，所以直线l与圆C相离.依圆的知识可知，四点A，P，B，C四点共圆，且，所以四边形APBC的面积，而，当直线时，，，此时四边形APBC的面积最小.所以CP：即，由，解得，即.所以以CP为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线AB的方程.故选：C二、多项选择（8道）11.（2022·广东省揭阳市揭东区第三中学期中）已知圆：，则下列说法正确的是（）A.点在圆M内 B.圆M关于对称C.半径为 D.直线与圆M相切【答案】BD【解析】【分析】A选项，代入点坐标，大于0，表示点在圆外；B选项，圆心在直线上，故关于直线对称；C选项，配方后得到圆的半径；D选项，利用点到直线距离进行求解.【详解】整理得：，∵，时，∴点在圆M外，A错；∵圆心M在直线上，∴圆M关于对称，B对；∵圆M半径为1，故C错；∵圆心到直线的距离为，与半径相等，∴直线与圆M相切，D对.故选：BD.12.（2022·广东省江门市第二中学期中）已知圆，直线.若圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，则b的可能值为（）A. B. C.1 D.【答案】BD【解析】【分析】由题可得圆心到直线距离为1，然后根据点到直线的距离公式即得.【详解】由圆，可得圆心为，半径为2，要使圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，则圆心到直线的距离为1，所以，所以.故选：BD.13.（2022·广东省江门市第二中学期中）圆和圆的交点为A，B则有（）A.公共弦AB所在直线方程为B.线段AB中垂线方程为C.公共弦AB的长为D.P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为【答案】AB【解析】【分析】两圆方程作差即可求解公共弦AB所在直线方程，可判断A；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆的圆心即可线段AB中垂线方程，可判断B；求出圆心到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C；求出圆心到公共弦AB所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.【详解】对于A，由圆与圆的交点为A，B，两式作差可得，即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；对于B，圆的圆心为，，则线段AB中垂线斜率为，即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；对于C，圆，圆心到的距离为，半径，所以，故C错误；对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D错误.故选:AB14.（2022·浙江省台州市八校联盟期中）已知圆与直线，下列选项正确的是（）A.圆圆心坐标为 B.直线过定点C.直线与圆相交且所截最短弦长为 D.直线与圆可以相切【答案】ABC【解析】【分析】根据圆的方程直接求出圆心判断A，直线恒过定点判断B，利用垂径定理结合圆的性质求出最短弦长判断C，利用直线恒过圆内定点判断D.【详解】对于A，圆的圆心坐标为，正确；对于B，直线方程即，由可得，所以直线过定点，正确；对于C，记圆心，直线过定点，则，当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时直线截圆所得的弦长最小，此时弦长为，正确；对于D，因为，所以点在圆内，直线与圆必相交，错误.故选：ABC15.（2022·山东省淄博实验中学、淄博齐盛高中期中）已知直线：和圆O：，则（）A直线恒过定点B.存在k使得直线与直线：垂直C.直线与圆相交D.直线被圆截得的最短弦长为【答案】BC【解析】【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.【详解】对A，由可得，，令，即，此时，所以直线恒过定点，A错误；对B，因为直线：的斜率为，所以直线的斜率为，即，此时直线与直线垂直，满足题意，B正确；对C，因为定点到圆心的距离为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交,C正确；对D，设直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为,此时直线被圆截得的弦长最短为，D错误；故选：BC.16.（2022·广东省揭阳市揭东区第三中学）已知M为圆C：上的动点，P为直线l：上的动点，则下列结论正确的是（）A.直线l与圆C相切 B.直线l与圆C相离C.|PM|的最大值为 D.|PM|的最小值为【答案】BD【解析】【分析】根据圆心到直线l得距离，可知直线l与圆C相离；∵P、M均为动点，对|PM|先固定点P可得，再看不难发现，即．【详解】圆C：得圆心,半径∵圆心到直线l：得距离∴直线l与圆C相离A不正确，B正确；C不正确，D正确；故选：BD．17.（2022·广东省东莞市光明中学期中）下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角的取值范围为B.“”是“点到直线距离为3”的充要条件C.直线恒过定点D.直线与直线平行，且与圆相切【答案】ACD【解析】【分析】利用斜截式方程求解直线的倾斜角的范围判断；利用点到直线的距离判断；直线系恒过的点的判断；直线的平行与圆的位置关系判断.【详解】解：直线的倾斜角，可得，，所以的取值范围为，，，所以正确；“点到直线距离为3”，可得．解得，，所以“”是“点到直线距离为3”的充分不必要条件，所以不正确；直线恒过定点，所以正确；直线即与直线平行，，所以直线与圆相切，所以正确；故选：ACD．18.（2022·广东省东莞实验中学期中）方程有两个不等实根，则的取值可以是（）A. B. C.1 D.【答案】BC【解析】【分析】由题意可得，函数的图象和直线有2个交点，数形结合求得的范围．【详解】方程有两个不等实根，即函数的图象和直线有2个交点．而函数是以原点为圆心，半径等于1的上半圆（位于轴及轴上方的部分），直线，即的斜率为，且经过点，当直线和半圆相切时，由，求得．当直线经过点时，由求得．数形结合可得的范围为,，故选：BC．.三、填空题（10道）19.（2022·新疆乌鲁木齐市第101中学期中）若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________.【答案】3【解析】【分析】根据两圆外切半径之和等于圆心距即可求解.【详解】两圆有三条公切线，则两圆外切，∴∴故答案为：320.（2022·新疆乌鲁木齐市第101中学期中）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______．【答案】2【解析】【分析】作图，利用圆心到定点的距离、半径、切线长满足勾股定理可得.【详解】将圆化为标准方程：，则圆心，半径1，如图，设，，切线长．故答案为：221.（2022·新疆乌鲁木齐市第101中学期中）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．【答案】【解析】【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【详解】设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故.故答案为：.22.（2022·广东省江门市广东实验中学附属江门学校期中）过直线与直线的交点，圆心为的圆的标准方程是_____.【答案】【解析】【分析】先求出两直线的交点坐标，再求这点到圆心的距离就是半径，从而可求出圆的标准方程详解】由，得，所以直线与直线的交点为，所以圆的半径为，所以所求圆的标准方程为，故答案为：23.（2022·广东省江门市广东实验中学附属江门学校期中）已知圆：，圆：，若圆与圆中有且仅有一个交点，则r的值是___________.【答案】或【解析】【分析】根据题意可得：两圆相切，分为内切和外切，利用圆心距和两圆的半径关系即可求解.【详解】因为圆与圆有且仅有一个交点，所以圆：与圆：相切.圆心距，当两圆内切时：，解得：；当两圆外切时：，解得：，所以的值为或，故答案为：或.24.（2022·新疆乌鲁木齐市第101中学期中）在平面内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是______．【答案】【解析】【分析】求得点关于轴的对称点为，结合圆的性质，即可求解.【详解】由圆，得圆心坐标，半径为，求得点关于轴对称点为，可得.如图所示，可得爬到的最短路程为.故答案为：25.（2022·山东省淄博实验中学、淄博齐盛高中期中）已知圆：与圆关于直线：对称，且圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为，则实数的值为__________．【答案】2或6.【解析】【详解】分析：由两圆对称可得到圆的圆心坐标，然后根据圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为两圆的圆心距减去两半径可得实数的值．详解：设圆的圆心为，∵圆和圆关于直线对称，∴，解得，∴圆的圆心为．∴．∵圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为为，∴，解得或．26.（2022·广东省揭阳市揭东区第三中学期中）若直线被圆截得线段的长为6，则实数的值为__________.【答案】【解析】【分析】求解圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求解即可．【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离．据题意，得，解得．故答案为：27.（2022·蕺山外国语学校期中）直线：与圆：交于，两点，则直线与直线的倾斜角之和为________.【答案】【解析】【分析】联立方程，求出的坐标，设直线与直线的倾斜角分别为，分别求出两直线的斜率，即，再求出即可.【详解】圆心，联立，消得，解得，当时，，当时，，不妨取，设直线与直线的倾斜角分别为，则，，所以，则，则，所以，即直线与直线的倾斜角之和为.故答案为：.28.（2022·江苏省连云港市赣榆中学期中）已知点P在圆上，点，，，则（）A. B.当面积最大时，C.当最小时， D.当最大时，【答案】ACD【解析】【分析】根据两点间的距离、三角形的面积、角的大小等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设，则，，，所以，A选项正确.，当，时，面积最大，对应，所以B选项错误.对于CD选项，只需过点的直线与圆相切即可，而，则当与圆相切时，，所以CD选项正确.故选：ACD四、简答题（）29.（2022·广东省惠州市丰湖高级中学期中）已知圆．（1）若直线l与C交于A，B两点，线段的中点为，求；（2）已知点P的坐标为，求过点P的圆C的切线的方程．【答案】（1）2（2）或．【解析】【分析】（1）用几何法由勾股定理求弦长；（2）分斜率存在和不存在两种情况分别求解，斜率存在时设切线方程，由圆心到切线距离等于半径求解．【小问1详解】由题意圆心到直线的距离为，圆半径为，∴弦长；【小问2详解】在直线斜率不存在时，显然直线与圆相切，在直线斜率存在时，设方程为，即，由，解得，切线方程，即．、综上，切线方程为或．30.（2022·广东省江门市广东实验中学附属江门学校期中）已知三点在圆C上，直线，（1）求圆C的方程;（2）判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长．【答案】（1）（2）直线与圆C相交，弦长为【解析】【分析】（1）圆C的方程为:，再代入求解即可；（2）先求解圆心到直线的距离可判断直线与圆C相交，再用垂径定理求解弦长即可【小问1详解】设圆C的方程为:，由题意得:，消去F得:，解得:，∴F=4，∴圆C的方程为:.【小问2详解】由（1）知:圆C的标准方程为:，圆心，半径;点到直线的距离，故直线与圆C相交，故直线被圆C截得的弦长为31.（2022·广东省江门市广东实验中学附属江门学校期中）已知圆，圆.（1）分别将圆和圆的方程化为标准方程，并写出它们的圆心坐标和半径；（2）求圆与圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.【答案】（1）的圆心为，半径为，的圆心为，半径为（2）【解析】【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心和半径；（2）两圆相减得到公共弦所在直线方程，利用点到直线距离公式和垂径定理得到弦长.【小问1详解】变形为，圆心为，半径为，变形为，圆心为，半径为；【小问2详解】与相减得到公共弦所在直线方程，即，整理得：，圆心到直线的距离为，故公共弦长为.32.（2022·广东省惠州市丰湖高级中学期中）已知圆经过两点，且圆心在轴上.（1）求圆的标准方程；（2）已知直线与直线平行，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意设出圆的标准方程，运用待定系数法列方程组求解；（2）先用斜截式设直线方程，然后根据点到直线距离公式，弦长公式进行求解即可.【小问1详解】设圆的标准方程为，其中，半径为，圆经过点，解得，圆的标准方程为；【小问2详解】由题意可得：，所以直线的斜率为，设的方程为，圆心到直线的距离为，直线与圆相交所得弦长为，解得或经检验知，当时，直线与直线重合，舍去所以的方程为.33.（2022·福建省泉州市第六中学期中）在①，②最小，③过A，B两点分别作圆C的切线，切线交于点P（2，0）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．在平面直角坐标系中，已知圆，直线l过定点M（1，1）．设直线l与圆C交于A，B两点，当______时，求直线l的方程．【答案】【解析】【分析】若选条件①，根据勾股定理可知，设出直线方程，再根据弦长公式即可求出；若选条件②，由点M（1，1）在圆内，可知当点M（1，1）为弦AB的中点时，最小，此时，由此可得直线斜率，从而解出；若选条件③，由圆与圆的位置关系可知，由此可得直线斜率，从而解出．【详解】将圆的方程化为，则C（0，2），半径r＝2．方案一：选条件①．因为，所以，所以．当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1，此时，不符合题意．当直线l的斜率存在时，设方程为，即，由题意可知，即，解得k＝1，所以直线．方案二：选条件②．当直线所过定点M（1，1）为弦AB的中点时，最小，此时，，所以直线l的斜率为1，所以直线．方案三：选条件③．因为过A，B两点分别作圆C的切线，切线交于P（2，0），所以，，所以直线l的斜率为1，又直线过定点M（1，1），所以直线．34.（2022·广东省江门市第二中学期中）已知圆经过点，,且它的圆心在直线上.（Ⅰ）求圆的方程;（Ⅱ）求圆关于直线对称的圆的方程．（Ⅲ）若点为圆上任意一点，且点,求线段的中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】