第3.2.2讲函数的奇偶性-新高一数学宝典（人教A版2019）

第三章函数的概念和性质第3.2.2讲函数的奇偶性一、学习目标1．结合具体函数，掌握奇函数、偶函数的定义，培养数学抽象素养．2．理解奇函数、偶函数的图像特征，并学会运用函数奇偶性研究函数的有关性质，提升直观想象素养．3．了解一般函数的对称性(对称轴、对称中心)，提升逻辑推理素养．4．掌握函数奇偶性与单调性的关系，发展逻辑推理素养．5．能研究简单函数的性质，并能作图像，提升直观想象素养．二、重点难点1、函数奇偶性的判断2、奇函数、偶函数的图像问题3、利用函数的奇偶性求值或解析式4、奇偶性和单调性的综合应用三、核心知识偶函数1．对于函数y＝x2，分析x与－x所对应的函数值关系，说明函数的图像为何关于y轴对称？提示：任取x∈R，都有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，而点(x，f(x))与点(－x，f(x))关于y轴对称，所以函数y＝x2的图像关于y轴对称．2．对于函数f(x)，若在定义域内有f(－1)＝f(1)，能否说明函数f(x)是偶函数？提示：不能．必须是在定义域内任意的x都有f(－x)＝f(x)成立，才能说明函数f(x)是偶函数．1．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数．2．偶函数的图像特征：其图像关于y轴对称．函数f(x)为偶函数的充要条件是函数y＝f(x)的图像关于y轴对称．eq\a\vs4\al([点睛])1．偶函数定义域的特点：由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以偶函数的定义域关于原点对称．2．偶函数是相对定义域而言的整体性质，若定义域内有个别x0满足f(－x0)＝f(x0)，则f(x)未必是偶函数．3．若函数f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(|x|)．奇函数1．一般地，若函数y＝f(x)的图像关于原点对称，则f(x)与f(－x)有什么关系？反之成立吗？提示：若函数y＝f(x)的图像关于原点对称，则f(－x)＝－f(x)．反之，若f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)的图像关于原点对称．2．已知函数f(x)的定义域为(－2，2)．且f(－1)＝－f(1)．那么这个函数是奇函数吗？提示：不一定，仅f(－1)＝－f(1)不能判定f(x)为奇函数．1．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数．2．函数f(x)为奇函数的充要条件是函数y＝f(x)的图像关于原点对称．eq\a\vs4\al([点睛])1．同样奇函数的定义域的特点是关于原点对称．2．若奇函数的定义域为D，且0∈D，则f(0)＝0.三、核心例题题型1函数奇偶性的判断1．下列函数是偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，，故为奇函数，对于B，，故为奇函数，对于C,，故为奇函数，对于D，，故为偶函数，故选：D2．下列函数中为偶函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A选项：的定义域为，不关于原点对称，所以不是偶函数，故A选项不符合题意；对于B选项：的定义域为，关于原点对称，但，所以是奇函数而不是偶函数，故B选项不符合题意；对于C选项：的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，故C选项符合题意；对于D选项：的定义域为，关于原点对称，但（当时），所以不是偶函数，故D选项不符合题意.故选：C.3．函数是（

）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数【答案】A【详解】令，解得，即函数的定义域为，又因为，所以函数为奇函数.故选：A4．函数的图像关于（

）A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称【答案】C【详解】因为定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称.故选：C5．函数的奇偶性是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数【答案】D【详解】函数的定义域为，不关于数0对称，所以函数是非奇非偶函数.故选：D题型2奇函数、偶函数的图像问题6．已知是偶函数，其部分图象如图所示，则的图象是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】为偶函数，其图像应该关于轴对称，根据题目所给的一部分图像可知，符合题意的只有图.故选：D7．根据下列函数图象，既是奇函数又是增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】对于A，是奇函数且递增，符合题意；对于B、C、D，均为是非奇非偶函数，不合题意.故选：A.8．已知是偶函数，且在上单调递减，则的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为是偶函数，则函数图象关于轴对称，故排除D选项；又因为在上单调递减，故排除BC选项；故选：A.9．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.故选：B10．下列各图中，表示以为自变量的奇函数的图象是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】试题分析：作平行于轴的直线，图象中的取值是唯一的，故排除A，D，奇函数的图象关于原点对称，故选B.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的定义.题型3利用函数的奇偶性求值或解析式11．已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当时，，由于是偶函数，所以.故选：C12．若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（

）A． B． C．5 D．7【答案】C【详解】因为为奇函数，且当时，，所以当时，，所以.故选：C13．已知函数是偶函数，且当时，，那么当时，的解析式是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数是偶函数，所以，时，，故.故选：A14．已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为函数是定义域为R的奇函数，当时，，所以，故选：C15．函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题意得：当时，，函数是R上的奇函数，故故选：C题型4奇偶性和单调性的综合应用16．函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．或【答案】C【详解】解：是R上的偶函数，且在上是增函数在是减函数，，，；故选：C．17．函数是定义在上的偶函数，且增函数，若对任意，均有，则实数的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，，又因为函数是定义在上的偶函数，增函数，且，所以，两边平方化简得在恒成立，令，对称轴为，所以在单调递增，则，解得，又因为，所以，所以的最大值为.故选:A.18．已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意奇函数是定义在区间上的增函数，，.故选：B19．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，在上递增，.画出的大致图象如下图所示，由图可知，不等式的解集为.故选：A20．已知是偶函数，且在区间上递增，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】依题意，函数为偶函数，且在轴两侧左增右减，故，解得.故选：A.当堂达标一、单选题1．下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，函数的定义域为，故函数为非奇非偶函数，故A不符题意；对于B，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，故B不符题意；对于C，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，故C不符题意；对于D，函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，又因为函数在区间上都单调递增，所以函数在区间上单调递增，故D符合题意.故选：D.2．已知偶函数，当时，，则（

）A．3 B． C． D．5【答案】B【详解】因为为偶函数，所以，又当时，，所以，所以.故选：B3．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（

）A．1 B．3C． D．【答案】D【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，解得．故选：D4．已知函数是奇函数，当时，，则=（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数是奇函数，所以.故选：B.5．已知，为奇函数，若，则（

）.A． B．6 C．9 D．4【答案】C【详解】，，，为奇函数，故选：C．6．已知函数是定义在上的奇函数，且，有成立，若，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，有成立，可知在上单调递减，又因为在上是奇函数，所以在上单调递减，由可得，故，得，即，得，所以.故选：B.7．已知函数是定义在上的偶函数，则（

）A．2 B．0 C． D．【答案】D【详解】当时，因为是偶函数，所以有，要想上式恒成立，只需，当时，因为是偶函数，所以有，要想上式恒成立，只需，综上所述：，故选：D8．已知是定义在上的奇函数，当时，.若函数在区间，上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，，由二次函数的单调性可知在，上单调递增，又因为是定义在上的奇函数，所以在，上单调递增，综上，在，上单调递增，又函数在区间，上单调递增，所以，解得，所以实数的取值范围是，.故选：C.二、多选题9．关于函数，下列说法正确的是（）A．定义域为 B．是偶函数C．在上递减 D．图象关于原点对称【答案】CD【详解】对于A，函数，有，即函数的定义域为，A错误；对于B，的其定义域为，有，所以为奇函数，B错误；对于C，函数和在上递减，所以函数在上递减，C正确；对于D，由B的结论，为奇函数，其图象关于原点对称，D正确.故选：CD．10．已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（

）A．的图像关于对称 B．必成立C．必成立 D．的图像关于原点对称【答案】ABD【详解】因为为奇函数，所以的图象关于原点对称，即D正确；且，即B正确，C错误；由可知函数图象关于对称，即A正确.故选：ABD.三、填空题11．函数是定义在上的偶函数，当时，，则.【答案】9【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，，则.故答案为：.12．已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是.【答案】【详解】由于在上是减函数，且为偶函数，所以在上是增函数，若，则，平方可得，解得，故答案为：四、解答题13．已知是定义在上的奇函数，当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)若函数在区间单调递增，求实数的取值范围.【详解】（1）解：设，则，所以，因为函数是定义在上的奇函数，所以，又因函数是定义在上的奇函数，可得，所以函数在上的解析式为.（2）解：作出函数的图象，如图所示，由函数图象可知，在上单调递增，要使函数在区间上单调递增，则满足，解得，所以实数的取值范围为.14．已知是定义在R上的偶函数，且当时，.(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围.【详解】（1）当时，，，所以；（2）当时，，因此当时，该函数单调递增，因为是定义在R上的偶函数，且当时，该函数单调递增，所以由等价于，所以，因此，即，解得或，所以实数的取值范围是或.15．已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，都有；③当时，.(1)证明：为奇函数.(2)解不等式.(3)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.【详解】（1）由题意函数的定义域为，定义域关于原点对称，令，则，