湖南省岳阳市万廋日铺中学高三数学文期末试题含解析

湖南省岳阳市万廋日铺中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=(

)A.

5B.C.

2D.1参考答案：B2.已知集合A＝{y|y＝x2，x∈B}，B＝{x|y＝，x∈Z}，则集合A∩B中的元素个数为（）

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C3.已知角α的终边上有一点P（1，3），则的值为（）A．1 B． C．﹣1 D．﹣4参考答案：A【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得sinα和cosα的值，再利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：∵角α的终边上有一点P（1，3），∴x=1，y=3，r=|OP|=，∴sinα==，cosα==，则===1，故选：A．4.若，则等于（

）

A.2

B.

C.

D.-2参考答案：D由得，，所以选D.5.设偶函数（的部分图象如图所示，为等腰直角三角形，，，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）[参考答案：C略7.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1等于()A.

B.

C.

D．2参考答案：B

由a3·a9＝2a知a·q10＝2a·q8，∵q>0，∴q2＝2，即q＝，a1＝＝＝.8.已知某几何体的三视图如右图，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的表面积为A.

B．

C.

D．参考答案：B9.数列满足，，且，则的整数部分的所有可能值构成的集合是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A对两边取倒数，得，累加得，由，为单调递增数列，，其中，整数部分为0，，整数部分为0，，整数部分为1，由于，故选A.【考查方向】本题考查了数列的单调性、递推关系、“裂项求和”方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．【易错点】数列裂项求和，Sn的整数部分的推理【解题思路】数列{an}满足a1=，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*）．可得：an+1﹣an=＞0，可得：数列{an}单调递增．可得a2=，a3=，a4=.=＞1，=＜1．另一方面：=﹣，可得Sn=++…+=3﹣，对n=1，2，3，n≥4，分类讨论即可得出．3.双曲线的顶点到渐进线的距离等于（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数,若,则f(-a)=_______参考答案：

本题主要考查函数的奇偶性以及利用奇偶性进行解题的能力，难度中等.

因为，所以，所以.12.已知与的等差中项为，则下列命题正确的是

（写出所有正确命题的编号）．①

②

③；④若则；⑤若，则.参考答案：①②④⑤13.能够说明“方程的曲线是椭圆”为假命题的一个m的值是

．参考答案：中任取一值即为正确答案方程，当或3时，曲线不是椭圆；当且时，化简为：，当或或，即或或，曲线不表示椭圆.综上：当时，“方程的曲线是椭圆”为假命题答案为：.

14.已知非空集合，则实数的取值范围是

.参考答案：因集合A非空，故关于x的二次方程有实数根，a大于等于0，所以取值为15.曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为____.参考答案：略16.参考答案：1

略17.已知向量，若，则

．参考答案：，因为，所以，即，解得.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图：已知长方体的底面是边长为4的正方形，高为的中点(1)求证：(2)求二面角的余弦值参考答案：解析：(I)证明：连结是长方体，

面

又面，，又是正方形，

面，即……3分

又，……6分（II）如图，以为原点建系，由题意的

……6分

于是

，设面

不妨设由

……8分

设面，不妨设

……9分若与的夹角，则……11分据分析二面角是锐角，二面角的余弦值是……12分19.（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，△ABD是边长为3的正三角形，BC=CD=，PD=4．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）在线段PA上是否存在点M，使得DM∥平面PBC．若存在，求三棱锥P﹣BDM的体积；若不存在，请说明理由．（锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高）参考答案：【考点】：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）欲证明平面PAD⊥平面PCD，只需推知CD⊥平面PAD即可；（Ⅱ）存在AP的中点M，使得DM∥平面PBC．通过证明“MN∩DN=N，MN∥平面PBC，ND∥平面PBC”推知DM∥平面PBC．然后将三棱锥P﹣BDM的体积转化为求三棱锥B﹣DMP的体积来计算．（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC．∵△ABD是边长为3的正三角形，BC=CD=，∴在△BCD中，由余弦定理得到：cos∠BDC==，∴∠BDC=30°，∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+30°=90°，∴DC⊥AD，又∵AD∩PD=D，∴CD⊥平面PAD．又∵CD?平面CDP，∴平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）存在AP的中点M，使得DM∥平面PBC．理由如下：取AB的中点N，连接MN，DN．∵M是AP的中点，∴MN∥PB．∵△ABC是等边三角形，∴DN⊥AB，由（1）知，∠CBD=∠BDC=30°，∴∠ABC=60°+30°=90°，即BC⊥AB．∴ND∥BC．又MN∩DN=N，∴平面MND∥平面PBC．∴DM∥平面PBC．过点B作BQ⊥AD于Q，∵由已知知，PD⊥BQ，∴BQ⊥平面PAD，∴BQ是三棱锥B﹣DMP的高，∵BQ=，S△DMP=AD?PD=3，∴VP﹣BDM=VB﹣DMP=BQ?S△DMP=．【点评】：本题考查了直线与平面垂直、平行的判，．解答（Ⅱ）中三棱锥P﹣BDM的体积时，也可以这样VP﹣BDM=VP﹣ABD=PD?S△ABD=．20.某机构为了了解2017年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2017年全年网购消费金额(单位:千元)进行了统计，所统计的金额均在区间[0,30]内，并按分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a的值;(2)若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷.结合图表数据，补全2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为样本数据中的网购迷与性别有关系?说明理由.

男女合计网购迷

20

非网购迷45

合计

(3)己知所有网购迷中使用甲软件支付的用户占了(非网购迷不使用甲软件)，现要从甲软件用户中随机抽取2人进行调查，问恰好抽到1男1女的概率为多少?下面的临界值表仅供参考:0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828

附：参考答案：(1),解之得:(2)

男女合计网购迷152035非网购迷452065合计6040100∴没有99%的把握认为样本数据中的网购迷与性別有关(3)使用甲软件的7人中有3男4女

∴21.已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；（Ⅱ）当a≠1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若，证明对任意，恒成立．参考答案：见解析【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；分类讨论；函数思想；综合法；构造法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）把a=2代入函数解析式，求出原函数的导函数，得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的导数值，再求出f（1），代入直线方程的点斜式求切线的方程；（Ⅱ）求函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，根据a的范围由导函数的零点对函数定义域分段，利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性；（Ⅲ）当0＜a＜时，f（x）在[，1]内是减函数，又x1≠x2，不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），于是等价于，即．构造函数（x＞0），利用导数证明其为减函数得答案．【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，f（x）=，f′（x）=，∴f′（1）=，∵f（1）=．∴切线方程为：y+2=（x﹣1），整理得：x+2y+3=0；（Ⅱ）f′（x）x﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得：x=a或x=．①若0＜a＜1，，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：x（0，a）a（a，）（）f′（x）+0﹣0+f（x）增函数极大值减函数极小值增函数∴f（x）在区间（0，a）和（）内是增函数，在（a，）内是减函数；②若a＞1，，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：x（0，）（）a（a，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）增函数极大值减函数极小值增函数∴f（x）在区间（0，）和（a，+∞）内是增函数，在（，+∞）内是减函数；（Ⅲ）∵0＜a＜，∴f（x）在[，1]内是减函数，又x1≠x2，不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），．于是等价于，即．令（x＞0），∵g′（x）=在[，1]内是减函数，故g′（x）≤g′（）=2﹣（a+）．从而g（x）在[，1]内是减函数，∴对任意，有g（x1）＞g（x2），即，∴当，对任意，恒成立．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，等价转化是解答（Ⅲ）的关键，属难题．22.(本小题满分l3分)已知函数．

(I)若a=-1，求函数的单调区间；

(Ⅱ)若函数的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45o，对于任意的t

[1，