考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)

考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为()A．1。B．2。C．3。D．4。正确答案：B解析：=[(x一2)．1一(2x一2)．1]×[一6(x一2)一(一1)(x一7)]=(一x)×(一5x+5)=5x．(x—1)，故f(x)=x．(5x一5)=0有两个根x1=0，x2=1，故应选B。2．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=()A．kA*。B．kn－1A*。C．knA*。D．k－1A*。正确答案：B解析：对任何n阶矩阵都要成立的关系式，对特殊的n阶矩阵自然也要成立。那么，当A可逆时，由A*=｜A｜A－1，有(kA)*=｜kA｜(kA)－1=kn｜A｜．A－1=kn－1｜A｜A－1=kn－1A*。故应选B。一般地，若A=(aij)m×n，有kA=(kaij)m×n，那么矩阵kA的第i行j列元素的代数余子式为即｜kA｜中每个元素的代数余子式恰好是｜A｜相应元素的代数余子式的kn－1倍，因此，按伴随矩阵的定义知(kA)*的元素是A*对应元素的kn－1倍。3．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的一1倍加至到第2列得C，记P=，则()A．C=P－1AP。B．C=PAP－1。C．C=PTAP。D．C=PAPT。正确答案：B解析：由题设可得B=A，则C=，而P－1=，则有C=PAP－1。故应选B。4．设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示。下列命题正确的是()A．若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s。B．若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s。C．若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s。D．若向量组Ⅱ线性相关，则r＞s。正确答案：A解析：由向量组线性表出和线性相关性的性质可知，如果α1，α2，…，αr线性无关，则有r≤s。5．设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有()A．A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。B．A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关。C．A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关。D．A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。正确答案：A解析：由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，而B为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A的列向量组线性相关。同理，由AB=O知，BTAT=O，于是有BT的列向量组线性相关，从而B的行向量组线性相关，故应选A。6．设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是()A．AT与BT相似。B．A－1与B－1相似。C．A+AT与B+BT相似。D．A+A－1与B+B－1相似。正确答案：C解析：因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使得P－1AP=B，两边分别取逆和转置可得P－1A－1P=B－1，PTAT(PT)－1=BT，则P－1(A+A－1)P=B+B－1，由此可知唯一可能错误的选项是C。7．设A为四阶实对称矩阵，且A2+A=O，若A的秩为3，则A相似于()A．B．C．D．正确答案：D解析：设A的特征值为λ，因为A2+A=O，所以λ2+λ=0。即λ(λ+1)=0λ=0或λ=一1。又因r(A)=3，则A必可相似对角化，对角阵的秩也是3。故λ=一1是三重特征根。因此所以正确答案为D。8．设矩阵，则A与B()A．合同，且相似。B．合同，但不相似。C．不合同，但相似。D．既不合同，也不相似。正确答案：B解析：方法一：由｜λE一A｜=(λ一3)2λ=0得A的特征值为0，3，3，而B的特征值为0，1，1，从而A与B不相似。又r(A)=r(B)=2，且A，B有相同的正惯性指数，因此A与B合同。故选B。方法二：因为tr(A)=2+2+2=6，tr(B)=1+1=2≠6，所以A与B不相似(不满足相似的必要条件)。又｜λE一A｜=λ(λ一3)2，｜λE一B｜=λ(λ一1)2，A与B是同阶实对称矩阵，其秩相等，且有相同的正惯性指数，故A与B合同。9．设二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正负惯性指数分别为1，2，则()A．a＞1。B．a＜一2。C．一2＜a＜1。D．a=1或a=一2。正确答案：C解析：二次型矩阵为A=，则由｜λE一A｜=(λ—a+1)2(λ—a一2)可知其特征值为a一1，a一1，a+2，于是a一1＜0，a+2＞0，即一2＜a＜1，故选C。填空题10．设α1，α2，α3均为三维列向量，记矩阵A=(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3)，如果｜A｜=1，那么｜B｜=________。正确答案：2解析：方法一：由题干可知，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3)=(α1，α2，α3)，于是，有｜B｜=｜A｜．=1×2=2。方法二：利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变)｜B｜=｜α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3｜｜α1+α2+α3，α2+3α3，2α2+8α3｜｜α1+α2+α3，α2+3α3，2α3｜=2｜α1＋α2＋α3，α2＋3α3，2α3｜2｜α1，α2，α3｜，又因为｜A｜=｜α1，α2，α3｜=1，故｜B｜=2｜A｜=2。11．设α为三维列向量，αT是α的转置。若ααT=，则αTα=_________。正确答案：3解析：设α=，则ααT=，ααT=(a1，a2，a3)=a12＋a22＋a32。对比可知，a12=a22=a32=1，故αTα=3。12．设矩阵A=，则A3的秩为________。正确答案：1解析：先将A3求出，然后利用定义判断其秩。13．矩阵的非零特征值是_________。正确答案：4解析：因为｜λE一A｜==λ2(λ一4)，所以，非零特征值为λ=4。14．若三阶矩阵A的特征值为2，一2，1，B=A2一A+E，其中E为三阶单位阵，则行列式｜B｜=_________。正确答案：21解析：由于A的特征值为2，一2，1，所以B=A2一A+E的特征值为22一2+1=3，(一2)2一(一2)+1=7，12一1+1=1，故｜β｜=21。如果矩阵B与矩阵A相似，也即存在可逆矩阵P，使得P－1AP=B，则有BP－1α=λP－1α，可见λ仍为B的特征值，对应的特征向量为P－1α。也就是说矩阵B与矩阵A的特征值相同，但特征向量不同。解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．设矩阵A=，矩阵X满足A*X=A－1+2X，其中A*是A的伴随矩阵，求矩阵X。正确答案：在等式A*X=A－1+2X两端左乘A，并结合AA*=A*A=｜A｜E可得｜A｜X=AA－1+2AX，即｜A｜X=E+2AX，所以(｜A｜E一2A)X=E。根据矩阵可逆的定义可知，｜A｜E一2A，X均可逆，故X=(｜A｜E一2A)－1。又｜A｜=4，所以X=(｜A｜E一2A)－1=。设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示。16．求a的值；正确答案：因为α1，α2，α3不能由β1，β2，β3线性表出，所以β1，β2，β3必线性相关，于是｜β1，β2，β3｜=a一5=0，即a=5。17．将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示。正确答案：对(α1，α2，α3，β1，β2，β3)进行初等行变换，则有(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=因此可得β1=2α1+4α2一α3，β2=α1+2α2，β3=5α1+10α2—2α3。18．已知向量组具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表出，求a，b的值。正确答案：先求r(α1，α2，α3)，将矩阵作初等行变换，得(α1，α2，α3)=，知r(α1，α2，α3)=2。故r(β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3)=2，(β1，β2，β3)作初等行变换(β1，β2，β3)=。因为r(β1，β2，β3)=2，所以a=3b。又β3可由α1，α2，α3线性表出，故r(α1，α2，α3，β3)=r(α1，α2，α3)=2。将(α1，α2，α3，β3)作初等行变换由r(α1，α2，α3，β3)=2，得3b＋(1—2b)=0，解得b=5，及a=3b=15。19．已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解。正确答案：由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且r(A)＋r(B)≤3。若k≠9，则r(B)=2，于是r(A)≤1，又显然r(A)≥1，故r(A)=1。此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3一r(A)=2，矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为基础解系，故Ax=0的通解为：x=，k1，k2为任意常数。若k=9，则r(B)=1，从而1≤r(A)≤2。当r(A)=2时，则Ax=0的通解为x=，k1为任意常数。当r(A)=1时，则Ax=0的同解方程组为ax1＋bx2＋cx3=0，不妨设a≠0，则其通解为x=，k1，k2为任意常数。设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2。20．证明：r(A)=2；正确答案：因为A有三个不同的特征值，所以A至多只有1个零特征值，故r(A)≥2。又因为α3=α1+2α2，所以矩阵A的列向量组线性相关，故r(A)≤2。从而r(A)=2。解析：矩阵有3个不同的特征值，说明矩阵至多只有1个零特征值，从而可得r(A)≥2，再结合矩阵列向量组线性相关即可证明r(A)=2；21．设β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解。正确答案：由r(A)=2可知，齐次线性方程组Ax=0的基础解系只有1个解向量。再由α3=α1+2α2可得，α1+2α2一α3=0，从而可得Ax=0的基础解系为(1，2，一1)T。由β=α1+α2+α3可得，Ax=β的特解为(1，1，1)T，所以Ax=β的通解为k(1，2，一1)T+(1，1，1)T，其中k∈R。解析：求解非齐次线性方程组的通解关键在于找到基础解系及一个特解。22．设有齐次线性方程组试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。正确答案：对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有当a=0时，r(A)=1＜4，故方程组有非零解，其同解方程组为x1+x2+x3+x4=0。由此得基础解系为η1=(一1，1，0，0)T，η2=(一1，0，1，0)T，η3=(一1，0，0，1)T，所以所求方程组的通解为x=k1η1+k2η2+k3η3，其中k1，k2，k3为任意常数。当a≠0时，当a=一10时，r(A)=3＜4，故方程组也有非零解，其同解方程组为由此得基础解系为η=(1，2，3，4)T，所以所求方程组的通解为x=kη，其中k为任意常数。解析：齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵不满秩，所以本题先讨论系数矩阵的秩，可以通过求行列式或是对矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵进行讨论。设n元线性方程组Ax=b，其中23．证明行列式｜A｜=(n+1)an；正确答案：方法一：方法二：记Dn=｜A｜，将其按第一列展开得Dn=2aDn－1－a2Dn－2，所以Dn一aDn－1=aDn－1一a2Dn－2=a(Dn－1一aDn－2)=a2(Dn－2一aDn－3)=…=an－2(D2一aD1)=an，即Dn=an+aDn－1=an+a(an－1+aDn－2)=2an+a2Dn－2=…=(n一2)an+an－2D2=(n一1)an+an－1D1=(n一1)an+an－1．2a=(n+1)an。解析：将行列式化为上三角行列式进行计算，也可以运用行列式按行及按列的展开定理，得到递推公式，再计算行列式。24．当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；正确答案：因为方程组有唯一解，所以由Ax=b知｜A｜≠0，又｜A｜=(n+1)an，故a≠0。由克拉默法则，将Dn的第1列换成b，得行列式为解析：运用克拉默法则。25．当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。正确答案：方程组有无穷多解，由｜A｜=0，有a=0，则方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n一1，所以方程组有无穷多解，其通解为k(1，0，0，…，0)T+(0，1，0，…，0)T，k为任意常数。解析：在｜A｜=0的前提下，分别求出齐次线性方程组的基础解系及非齐次线性方程组的特解。已知矩阵A=。26．求A99；正确答案：矩阵A的特征多项式为｜λE－A｜==λ(λ+1)(λ+2)，则A的特征值为λ1=一1，λ2=一2，λ3=0。解线性方程组(λiE—A)x=0(i=1，2，3)可得特征值λ1=一1，λ2=一2，λ3=0对应的特征向量分别为α1=(1，1，0)T，α2=(1，2，0)T，α3=(3，2，2)T，令P=(α1，α2，α3)，则P－1AP=，所以A99=。解析：求出矩阵A的相似对角化矩阵，则A99=，以此简化计算。27．设三阶矩阵B=