考研数学一(多元函数微分学)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)

考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．(1992年)在曲线x=t，y=一t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线A．只有1条．B．只有2条．C．至少有3条．D．不存在．正确答案：B解析：曲线x=t，y=一t2，z=t3的切线向量为τ={1，一2t，3t2}而平面x+2y+z=4的法线向量为n={1，2，1}由题设知τ⊥n，则τ·n=1—4t+3t2=0．此方程只有两个实根，所以所求切线只有两条．知识模块：多元函数微分学2．(1994年)二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)存在是f(x，y)在该点连续的A．充分条件而非必要条件．B．必要条件而非充分条件．C．充分必要条件．D．既非充分条件义非必要条件．正确答案：D解析：多元函数在一点上连续性与偏导数存在之间没有直接关系，即“连续”未必“偏导数存在”；“偏导数存在”亦未必“连续”．所以应选D.知识模块：多元函数微分学3．(1996年)已知为某函数的全微分，则a等于A．一1．B．0．C．1．D．2．正确答案：D解析：令由于Pdx+Qdy为某个函数的全微分，则即(a一2)x-ay=一2y，(a一2)x=(a一2)y仅当a=2时，上式恒成立．知识模块：多元函数微分学4．(1997年)二元函数在点(0，0)处A．连续，偏导数存在．B．连续，偏导数不存在．C．不连续，偏导数存在．D．不连续，偏导数不存在．正确答案：C解析：令y=kx，则当k不同时，便不同，故极限不存在，因而f(x，y)在(0，0)点处不连续，但根据偏导数的定义知同理可得f’y(0，0)=0由此可见，在点(0，0)处f(x，y)的偏导数存在．知识模块：多元函数微分学5．(2002年)考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有A．B．C．D．正确答案：A解析：由于f(x，y)在点(x0，y0，)处的两个偏导数连续是f(x，y)在点(x0，y0)处可微的充分条件，而f(x，y)在点(x0，y0)可微是f(x，y)在点(x0，y0)处连续的充分条件，故应选A.知识模块：多元函数微分学6．(2003年)已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A解析：由f(x，y)在点(0，0)的连续性及知f(0，0)=0．且其中则f(x，y)=xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)2令y=x，得f(x，x)=x2+4x4+4αx4=x2+o(x2)令y=一x，得f(x，一x)=一x2+4x4+4αx4=一x2+o(x2)从而f(x，y)在(0，0)点的邻域内始终可正可负，又f(0，0)=0，由极值定义可知f(x，y)在(0，0)点没有极值，故应选(A)．知识模块：多元函数微分学7．(2005年)设有三元方程xy一zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和z=z(x．y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．正确答案：D解析：令F(x，y，z)=xy—zlny+exz一1显然，F(x，y，z)在点(0，1，1)的邻域内有连续一阶偏导数，且F(0，1，1)=0，F’x(0，1，1)=2≠0，f’y(0，1，1)=一1≠0，由隐函数存在定理知方程xy—zlny+exz=1可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=(x，z)，故应选(D)．知识模块：多元函数微分学填空题8．(1989年)已知曲面z=4一x2一y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z一1=0，则点P的坐标是______________．正确答案：(1，1，2)解析：设P点的坐标为(x0，y0，z0)，则曲面在P点的法向量为n={一2x0，一2y0，一1}又因为切平面平行于平面2x+2y+z一1=0，则从而可得x0=1，y0=1．代入曲面方程解得z0=2．知识模块：多元函数微分学9．(1991年)由方程所确定的函数z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的全微分dz=___________．正确答案：解析：解1由隐函数求导法求出△解2方程两边求微分得将x=1，y=0，z=一1代入上式得故知识模块：多元函数微分学10．(1992年)函数u=ln(x2+y2+z2)在点M(1，2，一2)处的梯度正确答案：解析：因为所以知识模块：多元函数微分学11．(1993年)由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_________．正确答案：解析：旋转面方程为3(x2+z2)+2y2=12令F(x，y，z)=3(x2+z2)+2y2一12=0则F’x=6x，F’y=4y．F’z=6z从而所得旋转面在点处向外侧的法向量为将其单位化得知识模块：多元函数微分学12．(1994年)曲面z一ez+2xy=3在点(1，2．0)处的切平而方程为____________．正确答案：2x+y一4=0解析：令F(x，y，z)=z—ez一2xy一3则F’x=2y，F’z=1一ez=，F’y=2x曲面z—ez+xy=3在点(1，2．0)处的法向量为n={4，2，0}故所求切平面方程为4(x一1)4-2(y一2)=0即2x+y一4=0知识模块：多元函数微分学13．(1994年)设则在点处的值为___________．正确答案：解析：知识模块：多元函数微分学14．(1996年)函数在点A(1．0，1)处沿点A指向点B(3，一2，2)方向的方向导数为_______．正确答案：解析：而的单位向量为故u沿的方向导数为知识模块：多元函数微分学15．(1998年)设f，φ具有二阶连续导数，则正确答案：yf”(xy)+φ’(x+y)+yφ”(z+y)．解析：由复合函数求导法知知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．(1987年)设f和g为连续可微函数州，u=f(x，xy)，v=g(x+xy)，求正确答案：根据复合函数求导公式有则涉及知识点：多元函数微分学17．(1988年)设其中f和g具有二阶连续导数，求正确答案：由复合函数求导公式得由此可得涉及知识点：多元函数微分学18．(1989年)设z=f(2x—y)+g(x，xy)，其中函数f(t)二阶可导，g(u，v)具有连续二阶偏导数，求正确答案：涉及知识点：多元函数微分学19．(1990年)设z=f(2x一y，ysinx)，其中f(u，v)具有二阶连续偏导数．求正确答案：由复合函数求导法则得涉及知识点：多元函数微分学20．(1991年)设n是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1，1，1)处的指向外侧的法向量，求函数u=在点P处沿方向聆的方向导数．正确答案：曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1，1，1)处指向外侧的法向量为n=4i+6j+2k单位化后得则涉及知识点：多元函数微分学21．(1992年)设z=f(exsiny，x2+y2)，其中二具有二阶连续偏导数．求正确答案：令exsiny=u，x2+y2=v，则涉及知识点：多元函数微分学22．(1995年)设u=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0．y=sinx．其中f，φ都具有一阶连续偏导数，且求正确答案：故涉及知识点：多元函数微分学23．(1996年)设变换可把方程简化为求常数a．正确答案：将上述结果代入原方程并整理得由题设知6+a－a2=0，10+15a≠0解得a=3涉及知识点：多元函数微分学24．(1997年)设直线l：在平面π上，而平面π与曲面z=x2+y2相切于点(1，一2，5)，求a，b之值．正确答案：解1曲面z=z2+y2在点(1，一2，5)处的法向量为n={2，一4，一1}于是切平面方程为由得y=一x-bz=x-3+a(-x-b)代入(*)式得2x+4x+4b-x+3+ax+ab-5≡0因而有5+a=0，4b+ab-2=0由此解得a=一5，b=一2解2由解1知，π的方程为2x-4y一z-5=0，过，的平面束为λ(x+y+b)+μ(x+ay—z一3)=0即(λ+μ)x+(λ+aμ)y一μz+bλ一3μ=0令则λ=μ，a=一5，b=一2涉及知识点：多元函数微分学25．(2001年)设函数z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且f(1，1)=1，φ(x)=f(x，f(x，x))．求正确答案：φ(1)=f(1，f(1，1))=f(1，1)=1涉及知识点：多元函数微分学(2002年)设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)|x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy26．设M(x0，y0)为区域D上的一个点，问h(x，y)在该点沿平面上沿什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x0，y0)，试写出g(x0，y0)的表达式．正确答案：由梯度的儿何意义知，h(x，y)在点M(x0，y0)处沿梯度方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以涉及知识点：多元函数微分学27．现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点．也就是说，要在D的边界曲线x2+y2一xy=75上找出使(1)中的g(x，y)达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．正确答案：令f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2一8xy由题意，只需求f(x，y)在约束条件75一x2一y2+xy=0下的最大值点．令