学高考数学二轮复习 练酷专题 课时跟踪检测（十六）三角函数与解三角形 文-人教高三全册数学试题

课时跟踪检测（十六）三角函数与解三角形1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝eq\f(5,2)，求cosC的值；(2)若sinA＋sinB＝3sinC，且△ABC的面积S＝eq\f(9,2)sinC，求a和b的值．解：(1)由题意可知c＝8－(a＋b)＝eq\f(7,2).由余弦定理得，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2,2×2×\f(5,2))＝－eq\f(1,5).即cosC＝－eq\f(1,5).(2)因为sinA＋sinB＝3sinC.由正弦定理可知a＋b＝3c又因为a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.①由于S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(9,2)sinC，所以ab＝9，②由①②解得a＝3，b＝3.2．(2017·西安八校联考)已知△ABC内接于单位圆，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosA＝ccosB＋bcosC.(1)求cosA的值；(2)若b2＋c2＝4，求△ABC的面积．解：(1)∵2acosA＝ccosB＋bcosC，∴2sinAcosA＝sinCcosB＋sinBcosC，即2sinAcosA＝sin(B＋C)＝sinA.又0＜A＜π，∴sinA≠0.∴2cosA＝1，cosA＝eq\f(1,2).(2)由(1)知cosA＝eq\f(1,2)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2).∵eq\f(a,sinA)＝2，∴a＝2sinA＝eq\r(3).由a2＝b2＋c2－2bccosA，得bc＝b2＋c2－a2＝4－3＝1，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4).3．(2017·天津模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinA＋cosA＝1－sineq\f(A,2).(1)求sinA的值；(2)若c2－a2＝2b，且sinB＝3cosC，求b.解：(1)由已知，2sineq\f(A,2)coseq\f(A,2)＋1－2sin2eq\f(A,2)＝1－sineq\f(A,2)，在△ABC中，sineq\f(A,2)≠0，因而sineq\f(A,2)－coseq\f(A,2)＝eq\f(1,2)，则sin2eq\f(A,2)－2sineq\f(A,2)coseq\f(A,2)＋cos2eq\f(A,2)＝eq\f(1,4)，因而sinA＝eq\f(3,4).(2)由已知sinB＝3cosC，结合(1)，得sinB＝4cosCsinA.法一：利用正弦定理和余弦定理得b＝eq\f(4a2＋b2－c2,2ab)×a，整理得b2＝2(c2－a2)．又c2－a2＝2b，∴b2＝4b，在△ABC中，b≠0，∴b＝4.法二：∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴2b＝b2－2abcosC，在△ABC中，b≠0，∴b＝2＋2acosC，①又sinB＝4cosCsinA，由正弦定理，得b＝4acosC，②由①②解得b＝4.4．(2017·天津五区县模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且8sin2eq\f(A＋B,2)－2cos2C＝7.(1)求tanC的值；(2)若c＝eq\r(3)，sinB＝2sinA，求a，b的值．解：(1)在△ABC中，因为A＋B＋C＝π，所以eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)，则sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2).由8sin2eq\f(A＋B,2)－2cos2C＝7，得8cos2eq\f(C,2)－2cos2C＝7，所以4(1＋cosC)－2(2cos2C即(2cosC－1)2＝0，所以cosC＝eq\f(1,2).因为0＜C＜π，所以C＝eq\f(π,3)，于是tanC＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).(2)由sinB＝2sinA，得b＝2a.又c＝eq\r(3)，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)，即a2＋b2－ab＝3.②联立①②，解得a＝1，b＝2.5．(2018届高三·湘中名校联考)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsinA.(1)求B的大小；(2)求cosA＋sinC的取值范围．解：(1)∵a＝2bsinA，根据正弦定理得sinA＝2sinBsinA，∵sinA≠0，∴sinB＝eq\f(1,2).又△ABC为锐角三角形，∴B＝eq\f(π,6).(2)∵B＝eq\f(π,6)，∴cosA＋sinC＝cosA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)－A))＝cosA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋A))＝cosA＋eq\f(1,2)cosA＋eq\f(\r(3),2)sinA＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3))).由△ABC为锐角三角形知，A＋B＞eq\f(π,2)，∴eq\f(π,3)＜A＜eq\f(π,2)，∴eq\f(2π,3)＜A＋eq\f(π,3)＜eq\f(5π,6)，∴eq\f(1,2)＜sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＜eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(\r(3),2)＜eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＜eq\f(3,2)，∴cosA＋sinC的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).6.(2017·洛阳模拟)如图，平面四边形ABDC中，∠CAD＝∠BAD＝30°.(1)若∠ABC＝75°，AB＝10，且AC∥BD，求CD的长；(2)若BC＝10，求AC＋AB的取值范围．解：(1)由已知，易得∠ACB＝45°，在△ABC中，eq\f(10,sin45°)＝eq\f(CB,sin60°)，解得CB＝5eq\r(6).因为AC∥BD，所以∠ADB＝∠CAD＝30°，∠CBD＝∠ACB＝45°，在△ABD中，∠ADB＝30°＝∠BAD，所以DB＝AB＝10.在△BCD中，CD＝eq\r(CB2＋DB2－2CB·DBcos45°)＝5eq\r(10－4\r(3)).(2)AC＋AB＞BC＝10，由余弦定理得cos60°＝eq\f(AB2＋AC2－100,2AB·AC)，即(AB＋AC)2－100