孤立子方程与代数几何解

PAGE1摘要本文主要介绍几种著名的孤立子方程和代数几何解，共分为三章：第一章中，简单介绍非线性，特别是孤立子。简述孤立子理论的产生和发展过程并说明本文的主要内容。第二章中，详细介绍五种著名的孤立子方程：KdV方程、Camassa-Holm方程、KP方程、sine-Gordon方程、Todalattice方程，以及它们的物理意义。第三章中，简介几种经典形式的孤立子方程的解，特别是代数几何解。介绍代数几何解的产生和发展过程，以及它的特点。关键词：非线性；孤立子；KdV方程；Camassa-Holm方程；KP方程；sine-Gordon方程；Todalattice方程；代数几何解AbstractInthisthesis,afewfamoussolitonequationsandthealgebro-geometricsolutionsareintroduced.Theoutlineofthisthesisisasfollows:Inchapter1,asimpleintroductionofnonlinearityandsolitonaregiven.Theoriginationanddevelopmentofthesolitontheoryarealsopresented.Inchapter2，fivekindsoffamoussolitonequation：KdVequation、Camassa-Holmequation、KPequation、sine-Gordonequation、Todalatticeequation，andtheirphysicalsignificanceareintroduced.Inchapter3,severaltypicalformsofsolutionsforsolitonequations,especiallythealgebro-geometricsolutionsarerecommended.Theemergenceanddevelopmentofalgebro-geometricsolution,anditscharacteristicsaredescribedindetail.KeyWords:Nonlinearity;Soliton;KdVequation;Camassa-Holmequation;KPequation;sine-Gordonequation;Todalatticeequation;Algebro-Geometrysolution第一章引言随着自然科学和技术的发展，人们发现客观世界的真实情况不能完全由线性模型反映出来，而非线性现象在客观世界占据了统治地位。但是迄今为止，对非线性的概念、非线性的性质，依然没有清晰的、完整的认识。非线性科学是在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为自然科学的“第三次革命”。非线性科学几乎涉及了自然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们对现实世界的传统看法。因此人们投入了极大的热情在非线性科学的发展上，使得非线性科学的研究范围几乎涉及了社会科学与自然科学的所有领域。在非线性科学中，研究主体形成了3个最基本得分支：混沌、分形、孤立子。其中，混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动。混沌并不是无序和紊乱，更像是没有周期的秩序。在理想模型中，它可能包含着无穷的内在层次，层次间存在着“自相似性”。分形是一种来自于思维上的理论存在，由某些不规整但却具有某种无穷嵌套自相似性的几何图形抽象概括得出。其内部存在着无穷层次，具有见微知著、由点及面的自相似结构。而孤立子是非线性动力系统中的非线性与色散两种作用相互平衡的结果，代表着非线性科学中无法预料的有组织行为。虽然孤立子或孤立波一词常在广泛的范围内被引用，但无一般形式的定义，因为它还在发展中，给它下个严格的定义比较困难，且为时尚早。与混沌、分形一样，孤立子从被发现到理论的形成、发展及应用也是充满了许多趣话甚至传奇色彩，而且似乎更为曲折更为坎坷，更能给我们以深思和启示。孤立子理论的初期研究主要集中在数学问题上，随着研究的深入，科学家们开始不满足从纯数学的形式来研究孤立子，企图在流体力学以外的领域寻找其它类型的孤立子。结果令人大为振奋，人们在不同的自然科学领域都发现了孤立子的存在。到目前为止，孤立子现在已经广泛的应用到许多领域中，例如流体力学、非线性光学、等离子体、电磁学、生命科学、通讯等等。1.1孤立子与孤立子理论的发展1834年，英国科学家、造船工程师J.S.Russell（约翰·罗素）骑马在爱丁堡附近的一条运河河道中，偶然观察到了一种奇妙的水波。这种水波在行进过程中速度与形状在较长时间内没有明显变化，他把这种水波称为孤立波。之后Russell为了更加仔细的研究这种现象，进行了许多实验并且观察到了这样的孤立波。但是由于Russell一直都不能建立合理描述孤立波的数学模型，当时科学界的权威们对这个结果一开始就表示了怀疑和反对。甚至连当时对波动研究颇有造诣的英国天文学家GeorgeBiddellAiry与英国流体力学家GeorgeGabrielStokes也对此提出质疑，怀疑在静止水面上能存在不变形的行波。他们的怀疑的问题主要有：一个完整的波动为什么会全部在水面上，而不是一部分在水面上，一部分在水面下；波在传播的过程中，为什么波幅不会衰减；波的运动速度也与他们的研究结果不符。此后许多人都对这种波进行了进一步研究，但是均未能成功的给出令人信服的数学证明，争论一直持续了几十年。直到1895年，荷兰著名数学家D.J.Korteweg和他的学生G.deVries在研究小振幅长波在浅水中的运动时，建立了著名的Korteweg-deVries（KdV）方程，并且求出了与罗素描述一致的孤波解。至此，孤波的存在才得到了公认。但是，孤立波是否稳定？两个孤立波碰撞后是否变形？这些问题仍没有解决，不少科学家对此持否定态度，认为孤立波“不稳定”，放弃了进一步的研究。孤立波又一次失去了人们的关注，第三章代数几何解求解非线性偏微分方程一直是非线性科学的重要内容之一，在自然科学、物理学、工程应用中都具有重要的意义。但是由于非线性方程的复杂性导致总是找不到有效地求解方法。孤立子的兴起，给求解非线性偏微分方程带来了新的活力。在孤立子理论中，蕴含了一系列行之有效的构造孤立子方程显示解的方法。Bäcklund与Darboux变换法形成于十九世纪的Bäcklund变换法最早是被用来构造与研究伪球面的。1883年瑞典几何学家Bäcklund在研究Gauss曲率为负常值的曲线时，发现了sine-Gordon方程一个很有趣的性质：若u是sine-Gordon方程的解，则通过如下变换：可以得到sine-Gordon方程的另一个新解，我们称该变换为Bäcklund变换。一般来说，若一个变换可以将偏微分方程的解u变换为另一个偏微分方程的解v，则称该变换为Bäcklund变换。特别地，当时，称该变换为它Bäcklund变换；当时，称该变换为自Bäcklund变换，又称为Darboux变换，或Bäcklund变换的Darboux方法。Darboux变换是构造非线性方程显示解的十分有效的方法之一。1882年，G.Darboux在研究一维Schrödinger方程的特征值问题时发现并提出了最原始的Darboux变换。Darboux变换法只需做一次完全可积的线性方程组的求解，然后就可以只用代数运算得到非线性方程的新解。寻找一种规范变换使得相应的Lax对保持不变是构造Darboux变换的关键，在这方面已经发展出了很多技巧并且在各种类型的方程求解中都得到了广泛应用。伴随着孤立子理论的发展，Darboux变换也越来越受到人们的重视。反散射法1967年，C.S.Gardner、J.M.Greene、M.D.Kruskal和R.M.Miura(GGKM)在研究KdV方程时，利用Schrödinger方程的反散射论证将KdV方程的初值问题转化为三个求解线性方程的问题，得到了N孤子解，这种方法被称为反散射法。1968年，Lax整理提出了反散射方法的一般框架，并指出用反散射方法的前提是找到方程的Lax表示（Lax对）。1972年，Zakharov和Shabat运用Lax的思想，用反散射法求解了非线性Schrödinger方程，首次证明了反散射法的一般性。双线性法1971年，Hirota引进了一种直接的代数方法来构造微分方程的多孤子解和Bäcklund变换，称为双线性法。求解过程为：引入因变量的变换，将原方程改为双线性形式，采用级数扰动展开法，求出方程的单孤子解、双孤子解和三孤子解，最后猜测N孤子解的表达式，并用数学归纳法证明。双线性法以双线性微分算子为工具，不涉及到方程的线性问题，仅与求解方程有关，简单直接。穿衣方法1974年，Zakharov和Shabat提出了穿衣方法。这种方法构造了可积非线性演化方程还求出了相对应的Lax对，并且进一步给出求解公式。它从一个积分算子F和两个Volterra算子出发，由算子三角因式分解关系式得到GLM方程，再由穿衣关系将已知可交换的常系数微分算子（，）转变为另一不同的可交换穿衣算子（，），由穿衣算子的形容性得到可积非线性演化方程。再利用初始算子（，）与算子F的交换性[，F]=0（k=1,2），球的分核F，最后利用GLM方程求得微分算子的核，即求出所得的方程的解。这种方法已经广泛的应用于研究物理上有意义的一些重要方程，例如：KdV、KP、Sine-Gordon等方程。齐次平衡法齐次平衡法本质上是求解非线性偏微分法成精确解的一种指导原则，可以提前判定非线性偏微分方程是否存在一定形式的精确解，它可以看成Cole-Hopf变换的一般化和扩展。求解过程为：分析非线性数学物理方程的非线性特点、色散和耗散因素的阶数，按最高阶数可平衡确定非线性方程解（含待定函数）具有的一般形式或非线性变换的一般形式，然后带回原方程，合并待定函数激起偏导数的其次部分，使其平衡，从而得到易于求解的待定函数的齐次偏微分方程组。代数几何解KdV方程的有限带势解在上世纪70年代中期开始引起人们的研究兴趣，这种解也别被为代数几何解。代数几何解可以被当做是经典孤立子解或者有理数解的自然推广，也可以被用来近似更加一般的解，所以代数几何解的研究引起了人们的极大的兴趣。代数几何知识的一个基本应用就是用于求解可积的非线性发展方程。关于孤立子方程代数几何解的研究，最早是在1974年至1975年，起源于孤立子方程具有周期初值的Cauchy问题的求解。具有周期势函数u(x)的Schrödinger算子是由一系列区间[E,E]，k=0,1，…构成，具有区域状的谱分布。若k是有限数，那对应的势函数就是有限带势函数。Marchenko、Novikov以及Lax等人从有限带势函数的角度出发，对KdV方程做了研究，他们发现所有的有限带势函数u(x)都是某个高次稳态KdV方程的解。Dubrovin、Matveev和Its等人对有限带势函数的求解问题化为了某个二层紧致Riemann面Γ上的Jacobi反演问题，并对这个Jacobi问题进行了精确求解，从而得到了u(x)的用Riemann-theta函数表示的精确表达式u(x)=2lnθ(Vx+D)=c,θ(p)=exp<Bk,k>+<p,k>,pC.若取D=D(0)+Wt，则u(x,t)就是KdV方程的解。这样的解被称为KdV方程的代数几何解。由Dubrovin、Its、Matveev和Lax等人所开创的求解孤立子方程的代数几何法很快就被应用于sine-Gordon方程、NLS方程、Kaup-Boussinesq方程等孤立子方程的求解。但是这类解依赖于紧致Riemann面Γ这个参数，这使得人们很难对代数几何解的特性进行进一步研究，同时也限制了代数几何解在实际中的应用。Bobenko等通过数值计算的方法对代数几何解进行了研究。Gesztesy和Ratnaseelan等提出了一种通过代数的途径构造代数几何解的方法。1988年，曹策问教授最先提出了Lax对的非线性化方法。接着周汝光教授、乔志军教授、耿献国教授等进一步加强了这种方法，提出了通过Lax对非线性化或者分离变量法来构造孤立子方程代数几何解的方法。该求解方法的一般过程为：通过Lax对的非线性化或者分离变量的方法把孤立子方程族分解为相容的常微分方程或相容的常微分方程和离散流的演化。通过特征函数所满足Lax方程的解矩阵，合适的引入椭圆变量，由此给出孤立子方程与相容的常微分方程之间的直接的关系。应用代数曲线和Riemann面的理论，给出构造Abel-Jacobi坐标和拉直各种流（连续流和离散流）的方法。最后利用Riemann-Jacobi反演的方法生成由theta函数给出的显示解。这种方法借助黎曼曲面知识，讨论了孤立子方程的相容分解和在黎曼曲面上的线性约化（拉直）问题，揭示了无穷维线性动力系统在黎曼曲面上的潜在线性行为。该方法可以使大量的新的有限维可积系统可以从已知的1+1维孤子族中获得并继承孤立子方程本身的性质，还可以用于求解1+1维孤立子方程，借助空间和时间变量分离，将1+1维孤立子方程的解（周期解、拟周期解等）化为两个相容的有限可积方程的解，因此这种方法也被称为非线性偏微分方程的变量分离，这种方法也被推广到线性系统。之后给出来各种类似的拓展，例如：约束高阶对称，约束流方法，高阶特征值问题的非线性化等。Lax矩阵的有限阶展开法是构造过离子方程拟周期解的另一强有力工具。该方法先由已知的（连续或者离散）谱问题和及其辅谱问题出发，利用Lenard算子对构造递推序列，进而构造出形影的向量场（流）和非线性演化方程族。对于连续的情况，特征值问题非线性化可以得到有限维可积系统；对于离散的情况，则得到有限维可积系统和一个科技的辛映射。（可积性指2N维Hamilton系统下的Liouville可积，即要找到N个两两对合的独立的守恒积分）。引入椭圆坐标和拟Abel-Jacobi坐标，借助母函数流的方法证明了可积性。然后引入黎曼面上的Abel-Jacobi坐标，直化离散流和连续流，最后再借助黎曼定理和Abel-Jacobi反演法，得到孤立子方程在原始坐标下的代数几何解。值得一提的是在利用代数几何法求解某些孤立子方程的解时，其Abel-Jacobi坐标相应的时间流下的拉直必须在一定的限制条件下才能完成，这导致我们不能构造出方程的所有解，但是那些不能用theta函数形式表示的方程的解到底是不是代数几何解还有待定论。下面我们以Dirac方程为例，以解释其具体的求解程序。考虑Dirac谱问题=U=.为了导出Dirac方程族，引入Lenard递推序列,其中可以由递推关系式唯一确定。通过计算可以得到,…构造谱问题的辅助谱问题其中我们可以得到如下Dirac方程族该方程首个非线性Dirac方程利用分离变量，将非线性Dirac方程分解为两组相容的常微分方程组其中.引入超椭圆Riemann面它有N个亏格。每个对应上不同层面的两个点和。任选一个固定点，引入Abel-Jacobi坐标如下其中则我们可以得到上的一个Abel映射定义为上的Riemann-theta函数定义如下：其中根据Riemann定理，一定存在两个常向量使得在处有N个零点，而在处有N个零点。为了使函数取单值，积分是一个与无关的常数，其中根据留数定理得.则当k=1时我们有当k=2时我们就可以得到非线性Dirac方程的代数几何解如下：其中是两个常数。随着代数几何法在求解孤立子方程精确解方面的广泛应用，其取得的成就是有目共睹的。但是随着大量成功构造孤立子方程的代数几何解，代数几何法的弊端也慢慢显露出来，这种方法过于依赖黎曼定理。受到黎曼定理的限制，代数几何法只能构造出严格符合黎曼定理条件的孤立子方程的代数几何解，例如：椭圆坐标的个数与代数曲线的亏格必须完全一致；并且该方法也只能用于构造出与2×2矩阵谱问题相关联的非线性演化方程族的解，而对于3×3或者更高阶的矩阵谱问题却只能束手无策。这对于高阶矩阵谱问题这一广阔的领域而言是一个莫大的遗憾。但是随着对代数几何解的跟深入的研究，一种新的基于现有的代数几何法的方法应运而生。该方法对于孤立子方程相应的谱问题与辅谱问题的处理以及椭圆坐标和Abel-Jacobi坐标的引入与代数几何法基本一致，但却通过在超椭圆曲线上引入的亚纯函数φ和Baker-Akhiezer向量ψ的代数几何特征与它们在无穷远点处的渐近性质，突破黎曼定理的限制，构造出了孤立子方程黎曼theta函数形式的代数几何解，用于构造3×3或者更高阶矩阵谱问题所对应的孤立子方程族的代数几何解的准备工作。致谢此篇论文得以顺利完成，我要特别感谢我的指导老师薛老师的热情关怀和悉心指导.在我撰写论文的过程中，薛老师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了薛老师悉心细致的教诲和无私的帮助，特别是他广博的学识、深厚的学术素养、严谨的治学精神和一丝不苟的工作作风使我终生受益，他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪.在此我向他表示我诚挚的谢意。还要感谢大学四年来给我极大关心和支持的各位老师，他们不仅教给了我许多专业知识，更重要的是教给了我分析、解决问题的方法。同时，也要感谢关心和帮助过我的室友和同学们，在写论文时，他们给了我很多帮助。总之，此次论文的写作过程，我收获了很多，既为大学四年划上了一个完美的句号，也为将来的人生之路做好了一个很好的铺垫。最后，向评审论文的各位老师致以深深的敬意和衷心的感谢。参考文献[1]J.S.Russell,Reportofthecommitteeonwaves,Reportofthe7thMeetingofBritishAssociationfortheAdvancementofScience,Liverpool(1838)417.[2]D.J.KortewegandG.deVries,Onthechangeofformoflongwavesadvancinginarectangularcanal,anonanewtypeoflongstationarywave,Philos.Mag.Ser.39(1895)422.[3}N.J.ZabuskyandM.D.Kruskal.Interactionofsolitonsinacollisionlessplasmaandtherecurrenceofinitialstatus,Phys.Rev.Lett.15(1965)240.[4]C.S.Gardner,J.M.Greene,M.D.KruskalandR.M.Miura;MethodforsolvingtheKorteweg-deVriesequation,Phys.Rev.Lett.19(1967)1095.[5]M.J.AblowitzandH.Segur,Solitonsandtheinversescatteringtransform(PA:SIAM,Philadelphia,1981).[6]R.BealsandR.R.Coifman,Inversescatteringandevolutionequations,Commun.PureAppl.Math.38(1985)29.[7]H.Flaschka,OntheTodalatticeII.Inversescatteringsolutions,Progr.Theo.Phys.51(1974)703.[8]B.B.KadomtsevandV.1.Petviashvili,Onthestabilityofsolitarywavesinweaklydispersivemedia,Sov.Phys.Dokl.15(1970)539.[9]V.E.ZakharovandA.B.Shabat,Aschemeforintegratingthenonlinearequationsofmathematicalphysicsbythemethodoftheinversescatteringproblem.Ⅰ,Funct.Anal.Appl.8(1974)226.[10]V.B.MatveevandM.A.Salle,Darbouxtransformationsandsolitons(Springer,Berlin,1991).[11]谷超豪，胡和生，周子翔，孤立子理论中的达布变换及其几何应用(上海科学技术出版社，上海，1999).[12]X.G.GengandH.W.Tam,DarbouxtransformationandsolitonsolutionsforgeneralizednonlinearSchrodingerequations,J.Phys.Soc.Jpn.68(1