辽宁省抚顺市六校高三上学期期末考试数学试题

2021届辽宁省抚顺市六校高三上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由一元二次不等式求出集合或，再利用集合交集的定义求出即可.【详解】在集合中，由，解得或，所以或，且集合，.故选：B2．若复数满足.则复数在复平面内的点的轨迹为（）A．直线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线【答案】C【分析】设出，然后利用求模公式求解即可.【详解】设复数，由题意可得，则，故复数在复平面内的点的轨迹为圆.故选：C.3．函数的定义域是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据求函数定义域的基本原则可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即为所求.【详解】由题意可得，解得或．因此，函数定义域为.故选：B.4．已知向量，且的夹角为，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知，利用数量积公式求出向量的模，再根据向量垂直，数量积为零列方程求解即可.【详解】由题意可得，因为的夹角为，所以.因为，所以，所以，解得.故选：A.5．已知双曲线的右焦点为是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得双曲线的渐近线方程，结合向量垂直的条件和直角三角形的性质，可得，，结合，，，的关系，计算双曲线的离心率即可．【详解】由双曲线，则其渐近线方程为，因为，是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，，所以，所以，所以，所以，所以，故选：．6．我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果内部小正方形的内切圆面积为，外部大正方形的外接圆半径为，直角三角形中较大的锐角为，那么（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出大正方形与小正方形的边长，利用勾股定理求出直角三角形的直角边，再求的正弦值与余弦值，然后根据商的关系与二倍角公式可得答案.【详解】因为小正方形的内切圆面积为，所以内切圆半径为，小正方形的边长为1；因为大正方形的外接圆半径为，所以大正方形的对角线长为，其边长为5，设直角三角形短的直角边为，则长的直角边为.由勾股定理得，解得，所以，则.故选：D.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的直角边，从而求出的正弦值与余弦值，再根据三角函数恒等变换解答.7．已知都是正实数，则“”是“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据对数函数的单调性求得的大小关系，然后根据指数函数的单调性求得的大小关系，利用充要条件判断出结论.【详解】由，得则，从而，即，由，得，因为所以，所以.即.故“”是“”的充要条件.故选：A.8．已知函数是定义在R上的奇函数，其导函数为，且对任意实数x都有，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，利用单调性可解得结果.【详解】设，则．因为，所以，所以,故在R上单调递增．因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以不等式可化为，即，又在R上单调递增．所以，所以不等式的解集为.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造函数并利用导数判断其单调性是解题关键.9．在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失．2011～2020年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是（）A．自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加B．自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年C．2018年上半年的票房收入增速最大D．2020年上半年的票房收入增速最小【答案】D【分析】根据图表，对A、B、C、D四个选项一一验证即可.【详解】由图易知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，增速为负的有3年，故A，B错误；2017年上半年的票房收入增速最大，故C错误；2020年上半年的票房收入增速最小，故D正确．故选：D二、多选题10．已知椭圆的离心率是，则的值可能是（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】分两种情况讨论，分别求出半长轴与半焦距，利用离心率的值列方程求解即可.【详解】当时，则解得，当时，，则，解得.故选：BC11．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（）A． B．C．m的值可能是4 D．m的值可能是6【答案】AD【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求得，结合函数的单调性、奇偶性解不等式，求得的取值范围.【详解】由题意可得，则．所以A选项正确.的定义域为，因为是偶函数，所以．当时，单调递增．因为是偶函数，所以当时，单调递减．因为，所以，所以，或，解得或．所以D选项符合.故选：AD12．如图，在正方体中，点E在棱上，且是线段上一动点，则下列结论正确的有（）A．B．存在一点F使得C．三棱锥的体积与点F的位置无关D．直线与平面所成角的正弦值的最小值为【答案】ABC【分析】连接，推出，判断A；在上取一点，使得，连接，转化证明，判断B；设，通过三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，推出三棱锥的体积与正方体的棱长有关，与点的位置无关，判断C；建立如图所示的空间直角坐标系，用夹角向量坐标公式即可判断D．【详解】如图，连接.易证平面，则，故A正确；在上取一点H，使得，连接，易证四边形为平行四边形，则，若，易证四边形为平行四边形，则，从而，故四边形为平行四边形，于是，故B正确；设，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，则，即三棱锥的体积与正方体的棱长有关，与点F的位置无关，故C正确；以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，从而，，设平面的法向量，则令，得，从而，即直线与平面所成角的正弦值为，因为，所以，所以，故D错误．故选：ABC【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；（2）、用空间向量坐标公式求解.三、填空题13．展开式中的系数是_______．【答案】【分析】由二项式定理得到展开式通项，令，求得后代入通项即可求得结果.【详解】展开式的通项为：，令，解得：，则，展开式中的系数是.故答案为：.14．将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________.【答案】【分析】先求出等腰直角三角形的直角边长，进而求出旋转体圆锥的底面半径和母线，再利用圆锥的表面积公式即可求出结果.【详解】因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以直角边长为，由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径，母线长，则其表面积为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关圆锥的表面积的问题，正确解题的关键点是：（1）要确定旋转后所得到的几何体是圆锥；（2）要明确圆锥的各个量：底面圆的半径以及母线长；（3）要熟练掌握圆锥的表面积公式.15．已知，且，则的最小值是________．【答案】【分析】利用，展开后利用基本不等式求解即可.【详解】，当且仅当时，等号成立.故答案为：.16．2020年10月11日，全国第七次人口普查拉开帷幕，某统计部门安排六名工作人员到四个不同的区市县开展工作.每个地方至少需安排一名工作人员，其中安排到同一区市县工作，不能安排在同一区市县工作，则不同的分配方法总数为_______种.【答案】216【分析】分两步完成，第一步将6名工作人员分成4组，要求同一组，不在同一组，共种分组方法，第二步在将分的四组分配到四个区市县有种，进而得总的分配方法有种【详解】第一步，将6名工作人员分成4组，要求同一组，不在同一组.若分为3，1，1，1的四组，必须在3人组，则只需在中选一人和同一组，故有种分组方法，若分为2，2，1，1的四组，必须在2人组，故只需在中选两人构成一组，同时减去在同一组的情况，故有种分组方法，则一共有种分组方法；第二步，将分好的四组全排列，分配到四个区市县，有种.故总的分配方法有种.故答案为：.【点睛】本题考查分组分配问题，解题的关键在于根据题意，分两步完成，先将6名工作人员分成4组使其满足条件，再分配到四个县区，考查运算求解能力，是中档题.四、解答题17．设数列的前项和为，且成等差数列.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由题可得，结合可证明；（2）利用等比数列求和公式即可求解.【详解】（1）因为成等差数列，所以，当时,，则，即，即.因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可得，则（或），则，故.18．第31届世界大学生夏季运动会定于2021年8月18日—29日在成都举行，成都某机构随机走访调查80天中的天气状况和当天到体育馆打乒乓球人次，整理数据如下表(单位：天)：打乒乓球人次天气状况晴天21320阴天4610雨天645雪天820（1）若用样本频率作为总体概率，随机调查本市4天，设这4天中阴天的天数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.（2）假设阴天和晴天称为“天气好”，雨天和雪天称为“天气不好”完成下面的列联表，判断是否有99%的把握认为一天中到体育馆打兵乓球的人次与该市当天的天气有关？人次人次天气好天气不好参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）列联表答案见解析，有99%的把握认为一天中到体育馆打兵乓球的人次与该市当天的天气有关.【分析】（1）由题意先求得随机变量X的可能取值，再得出.由此可求得分布列和分布列的期望；（2）由已知数据得出列联表，由公式计算出，判断可得结论.【详解】解：（1）由题意可知随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.设一天为阴天的概率为P，则，故.，，，，，则X的分布列为X01234P故.（2）人次人次天气好2530天气不好205则.因为，所以有99%的把握认为一天中到体育馆打兵乓球的人次与该市当天的天气有关.【点睛】求随机变量概率分布列的步骤：(1)找出随机变量的所有可能取值；(2)求出取各值时的概率；(3)列成表格；(4)检验分布列.注意分析随机变量是否满足特殊的分布列，如：两点分布，超几何分布，二项分布，正态分布.19．在如图所示的四棱锥中，，，，，，，分别为，的中点，平面平面．（1）证明：平面．（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由中位线性质知，由线面平行判定定理可证得结论；（2）取的中点，由面面垂直性质可知平面，则以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】（1）分别为的中点，，平面，平面，平面；（2）取的中点，连接.，，平面平面，平面平面，平面，平面.过点在平面内作的垂线，则两两垂直.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面的法向量，，即，令，则，，，又平面的一个法向量为，由图象可知二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是：（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小.20．在①且，②，③的面积这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答.问题：在中，内角所对的边分别为，且______.（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】选择见解析；（1）；（2）.【分析】（1）若选①②，利用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理求解；若选③，利用三角形面积公式以及余弦定理进行求解；（2）由（1）得，根据三角形面积求得，解出，再利用余弦定理求，从而求得三角形周长.【详解】解：（1）若选①，，.，，，，若选②，，，，，故.若选③，，，，，，，故.（2）的面积为，，，，，，即故的周长为.【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.21．已知动点到点的距离比它到直线的距离小（1）求动点的轨迹的方程（2）过点作斜率为的直线与轨迹交于点、，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）本题首先可根据题意得出动点到点的距离与到直线距离相等，然后根据抛物线的定义即可得出结果；（2）本题可设直线的方程为，，，为线段的中点，然后通过联立直线方程与抛物线方程得出，并求出点坐标，再然后写出线段的垂直平分线的方程，并写出点坐标，最后求出、以及，即可证得结论.【详解】（1）因为动点到点的距离比它到直线的距离小，所以动点到点的距离与到直线距离相等，由抛物线的定义可知，轨迹是以为焦点、以直线为准线的抛物线，故点的轨迹的方程为.（2）设直线的方程为，联立，整理得，设、，为线段的中点，则，，，线段的垂直平分线的方程为，，，，，故为定值.【点睛】关键点点睛：本题考查动点的轨迹方程以及抛物线与直线的相关问题的求解，考查抛物线的定义以及韦达定理的应用，能否求出点坐标是解决本题的关键，考查直线方程的求法，考查中点坐标的相关性质，考查计算能力，是中档题.22．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）求出导数，分，讨论单调区间即可.（2）构造函数，求出其导函数，讨论导函数的单调性得到分析的