高考数学一轮复习精练 第9练 导数的概念及运算（教师版）

第9练导数的概念及运算

学校姓名班级

一、单选题

1.已知曲线〃x）=（x+a）e'在点1））处的切线与直线2x+y-l=0垂直，则实数a

的值为（）

ee

A.—2eB.2eC.—D.一

22

【答案】D

【详解】

由〃x）=（x+a）e",得r（x）=e'+（a+x）e*=（x+a+l）e",则尸（-1）=巴因为曲线

e

/（x）=（x+a）ex

在点（-lj（-l））处的切线与直线2x+y-l=0垂直，所以台;，故。=|.

故选:D.

2.若点戶是曲线y=f一］nx上任一点，贝IJ点戶至I」直线x-y-6=。的最小距离是

（）

A.>/2B.2及C.3亚D.2>/3

【答案】C

【详解】

解：设与直线x-y-6=0平行的直线与曲线y=/_in无切于戶（通,外），

由y=x2-lnx定义域为（0,+8）,得了=2彳-丄，则）口=拓=2%-■-,

Xxo

由2%-丄=1,解得%=1（舍去负值）.

*0

••・P（L1）,则点尸到直线x-y-6=0的最小距离是比2=3&.

故选：C.

3.曲线〉=工3一3%在点（2,2）处的切线斜率是（）

A.9B.6C.—3D.—1

【答案】A

【详解】

解：VAy=（24-Ax）3-3（2+Ar）-23+6=9Ar+6（A¥）2+（Ar）3,

豈=9+6Ax+（Ax）“，

/.lim—lim「9+6Ar+Q)[=9,

AxAXTOL

由导数的几何意义可知，曲线丫=》3-3%在点（2,2）处的切线斜率是9；

故选：A

4.下列导数运算正确的是（）

A.（x?+2）—2x+2B.^cos-^j=-sin^C.（6），=2a

D.

【答案】C

【详解】

对于A,（炉+2）=2x»A错误；

对于B,(cos£|=0.B错误:

对于C,（4）'=J尸，C正确;

对于D,(e'j=-e，D错误.

故选：C.

5.已知函数/(x)=21nx+/'(2)W+2x+3,则〃1)=()

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】D

【详解】

7

解：r(x)=-+2,f(2)x+2,

则〃2)=1+4八2)+2,

解得/'(2)=7,

所以/(x)=21nx-x2+2x+3,

故〃l)=T+2+3=4.

故选：D

6.方程log：-厶=0（。＞0,〃。1）有两个不相等实根，则a的取值范围是（)

A.(0,1)

C.D.

丿

【答案】c

【详解】

方程log：-石=0(。＞0,4*1)有两个不相等实根nlog：=4(a＞0,4*1)有两个不同的交点,

令&=f(f＞0),所以x=/，则log,/=，，所以log“f=；,所以y=log,J与y=；的图象

有两个交点.

①当0＜。＜1时，如下图可知y=bg/与y的图象有一个交点，不满足.

②当”＞1时，如下图，当y=；与"bg“x相切于点//，学，所以＞'=亠，

2I2丿xlna

1_1

T=_jx0=e

则A°na，解得：a,所以要使y=logj与y=g的图象有两个交点，所以a

£=log“x。〔a=ec

(2\

的取值范围是：he;.

7

故选：C.

7.若y=or+b是/(x)=xlnx的切线，则的取值范围为()

A.[-1,+<»)B.[1,-KO)C.(9,0]D・[-叫

【答案】C

【详解】

解：设点(%,/In%)(%>0)是函数/(x)=xlnx图象上任意一点，

由7''(x)=lnx+l,/'(^)=lnx0+l,

所以过点(与，毛In占)的切线方程为y-x0lnx0=(Inx0+l)(x-x0),

QPy=(lnx0+l)x-x0,«=Inx0+1,b=—x0,

所以。+力=In/+1-x()

令g(x)=lnx+l-x,XG(0,+OO),

所以g'(x)=丄_1=,

XX

所以当0<x<l时g'(x)>0,当X>1时g'(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,内)上单调递减,

所以g(x)g=g(l)=。,所以g(x)40,apa+fee(-oo,0]；

故选：c

4

8.已知曲线尸x+]x<0)在点〃处的切线与直线x-3y+l=0垂直,则点一的横坐标为

()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【详解】

4

设〃》)=*+嚏(*<0),点「小,先),

A

贝,

由在点/，处的切线与直线x-3y+l=0垂直可得了'(不)=-3,即1-*=-3,

又吃<0,与=-1,

故选：B

9.已知函数/(x)=x2+]g(x)=sinx,则图象为如图的函数可能是()

4

A.y=/(x)+g(x)-JB.y=/(x)-g(x){

4

g(x)

C.y=f(x)g(x)

D.y=7w

【答案】C

【详解】

解：对于A,>'=/(x)+g(x)-l=x2+sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，

排除A；

对于B,y=〃x)-g(x)-；=Y-sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除

B；

对于C,y=/(x)g(x)=1x2+；卜in*为奇函数，则,

当X=f时，，与图象相符；

4

_g(x)_sinx

对「D,'f(X)彳2+丄，是奇函数，，

A4

当x=f时，，与图象不符，所以排除选项D.

4

故选：C.

10.已知函数/(X)是定义在R上的可导函数，其导函数为尸(X).若/(0)=5,且

/(x)-r(x)>2,则使不等式/(x)43e,+2成立的x的值可能为()

A.-2B.-1C.--D.2

2

【答案】D

【详解】

设F()=,则/⑺=7'(x)[3+2,

x*必

Vf(x)-f'(x)>2,.\f(x)-f(x)+2<0,

：.F(x)<0,即F(x)在定义域R上单调递减.

40)=5,.•"(0)=3,

二不等式〃x)43e*+2等价于丄处2«3,即尸(x)4尸⑼，解得xNO,

er

结合选项可知，只有D符合题意.

故选：D.

二、多选题

11.函数/(X)的导函数为尸(X),若已知了'(X)的图像如图，则下列说法正确的是

A.f(x)一定存在极大值点B./(x)有两个极值点

C.〃x)在(e,。)单调递增D./(x)在x=0处的切线与x轴平行

【答案】ACD

【详解】

由导函数尸（X）的图象可知，当X＜a时/（另20,当X＞a时r（x）＜0,当x=0或x=a时

r（x）=o,

则/（X）在（-8M）上单调递增，在（。,物）上单调递减，

所以函数/（x）在x=。处取得极大值，且只有一个极值点，故AC正确，B错误；

因为r（o）=o,所以曲线y=/（外在x=0处切线的斜率等于零，即/（力在x=0处的切线

与x轴平行，故D正确.

故选：ACD.

12.若函数〃x）=xln（x+2）,则（）

A.f（x）的定义域是（0,+8）

B.f（x）有两个零点

C.在点（-lj（-l））处切线的斜率为-1

D.，（司在（0,+8）递增

【答案】BCD

【详解】

对于A：函数的定义域是（-2,y），故A错误；

对于B：令〃x）=0,g|Jxln（x+2）=0,解得：x=0或x=—l,故函数f（x）有2个零点，

故B正确；

对于C：斜率&=/'（-1）=111（-1+2）+/5=-1,故C正确；

y

对于D：/'（X）=In（x+2）+—,x＞0时，

ln（x+2）＞0,為＞0,故（（引＞0，/（x）在（0,+8）单调递增，故D正确.

故选：BCD.

13.下列求导运算正确的有（)

A.（（2X+1）,'=2（2x+l）B•网=亦

C.（logx）=——D・(xsinx)=cosx

2x\n2

【答案】BC

【详解】

解：对A：（（2x+l『）=2（2x+1）x2=4（2x+l），故选项A错误；

故选项B正确;

对C：(陛2月'=一島，故选项C正确;

对D：(xsinx)=sinx+xcosx，故选项D错误.

故选：BC.

14.已知函数“X)及其导数f'(x),若存在为,使得〃%)=/(％),则称为是/(X)的一个

“巧值点”.下列函数中，有“巧值点”的是()

A.小)=/B./(x)=e-A

C./(x)=lnxD."x)=T

【答案】ACD

【详解】

对于A,/(x)=P/(x)=2x由Y=2x,解得x=0,2,因此此函数有“巧值点”0,2；

对于B,〃x)=e-，，r(x)=-eT由ef-eT,即ex=O，无解，因此此函数无“巧

值”；

对于C,f(x)=\nx,f'(x)=-,由lnx=丄，分别画出图象：y=lmc,y2(x>()),由图象可

xxx

知：两函数图象有交点，因此此函数有“巧值点”；

对于D,小)4,(力+，由1+,解得“一，因此此函数有“巧值点”一

故选：ACD.

三、填空题

15.已知函数"x)=lnx-2x,则〃x)在x=l处的切线方程为.

【答案】x+y+l=O

【详解】

r(x)=l-2,易得f(l)=-2,/'(l)=l-2=-l,所以切线方程为y=—(x—1)—2,即

x+y+l=O.

故答案为：x+y+\=O.

16.已知函数〃x)=r(-i)x3+x2-x,则r(—i)的值为.

3

【答案】

2

【详解】

/(x)=/z(-l)x3+x2-x,//(x)=3/,(-l)x2+2x-l,

/(-1)=3r(-i)-3.-.r(-i)=^.

3

故答案为：—.

17.集美中学高101组高二(15)班小美同学通过导数的学习，对直线与曲线相切产生浓

厚兴趣，并试着定义：若曲线G与曲线Cz存在公共点P,且C1、G在点尸处的切线重合,

称曲线G与C?相切.现出一问题：若函数y="与y=log“x(a>0,a")相切，则。=

【答案】[

【详解】

设切点为(毛,%),则%>1,则%=*,%=k)g.x°=啓，即八=譬①

InaIna

x

因为函数丫="与丁=logaX的导数分别为y'=aIna,y'=—^―

xln“

所以a&lna=­；—②，联立①②可得lnx()=-j—

x<>InaxnIna

因为函数>="与y=log丿的图象关于)'=x对称

1

所以%=%)=警③，所以E%一%।一―]n/，GPInx0=1,x0=e

Ina------Inau

Ina

代入③可得lna=：,a=/

故答案为：1

18.双曲正弦函数sinh(x)=q匚和双曲余弦函数cosh(x)=£(二在工程学中有广泛的

应用，也具有许多迷人的数学性质.若直线、=，”与双曲余弦函数G和双曲正弦函数C?的

图象分别相交于点A、B,曲线G在A处的切线与曲线G在5处切线相交于点P,则如下

命题中为真命题的有(填上所有真命题的序号).

①(sinh(x))=cosh(x)»(cosh(x))=sinh(x);

②sinh2(x)+cosh2(x)=l；

③点夕必在曲线尸e'上；

④△PA8的面积随团的增大而减小.

【答案】①④

【详解】

对于①，(sinh(x)j=『；j=e=cosh(x)，

(cosh(x))=~~~j=~~~~=sinh(x),①对；

对于②，sinh2(x)+cosh2(x)=©6一+-=e-+e—不恒为1,②错;

、2丿I2丿2

对于③，厶,二二)、,肛•二)，

所以，切线融的方程为)「上常=上手一口-加)，

切线尸8的方程为=

em+e-rae'-'-e"'、

y—一二=1—(―机)\x=m+\