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第十一章曲线积分1一、对弧长的曲线积分的概念1.定义函数f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分22.存在条件:3.推广34.性质45、对弧长曲线积分的计算定理5注意:6例1解7例2解例3解8例3解由对称性,知9练习题10练习题答案11二、对坐标的曲线积分的概念定义:
函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分类似地定义122.存在条件:3.组合形式134.推广145.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.156、对坐标的曲线积分的计算定理161718例1解1920例2解21问题:被积函数相同,起点和终点也相同,但路径不同积分结果不同.22例3解2324问题:被积函数相同,起点和终点也相同,但路径不同而积分结果相同.25(4)两类曲线积分之间的联系:其中(可以推广到空间曲线上)26思考题27思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.2829练习题答案301、区域连通性的分类
设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD三、格林公式312.格林公式定理132边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.3334xyoLAB
3536解37xyoLyxo38xyo(注意格林公式的条件)39
若区域
如图为复连通域,试描述格林公式中曲线积分中L的方向。思考题40思考题解答由两部分组成外边界:内边界:41Gyxo四、第二类曲线积分与路径无关的条件BA1.定义:如果在区域G内有422.曲线积分与路径无关的条件定理243两条件缺一不可有关定理的说明:44定理34546解47解4849四、小结与路径无关的四个等价命题条件等价命题505152练习题答案53五、对面积的曲面积分1.定义542.对面积的曲面积分的性质553、计算法则56则57例1解5859解依对称性知:606162练习题6364练习题答案65六、对坐标的曲面积分1.曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧66曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:672、概念及性质68类似可定义69存在条件:组合形式:70性质:713、计算法7273注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.74解7576练习题77练习题答案78七、高斯公式79Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知80解81(利用柱面坐标得)82使用Guass公式时应注意:8384解空间曲面在面上的投影域为曲面不是封闭曲面
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