2023-2024学年内蒙古呼和浩特市高三（上）第一次质检数学试卷（文科）（含解析）

2023・2024学年内蒙古呼和浩特市高三(上)第一次质检数学试卷(文

科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.若z=i+C++d+则z的虚部是()

A.0B.1C.2D.3

2.设集合U={0,1,2,468},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则(QM)U(QN)=()

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.{1,2,4,8}

3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

俯视图

A.：B.与C.yD.2n

4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB-bcosA=b,且C=微，贝！=()

A-5,15B—CJ—15D—15

5.已知/(x)=(3x+l)(x-a)(3x-1)是奇函数，则a=()

A.-2B.-1C.0D.1

6.正六边形力BCDEF的边长是2,则近-AD=()

A.<3B.2y/~3C.6口D.12

7.设。为平面直角坐标系的坐标原点，在区域{(x,y)|x2+y2三4}内随机取一点，记该点为4,则点A落在区

域{(居y)|i</+y2w4}内的概率为()

8.若函数f（x）=2、一：一41存在1个零点位于（1,2）内，则a的取值范围是（）

A.(0,3)B.(-3,3)C.[-3,3]D.(-3,0)

9.某学校举办作文比赛，共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同

学抽到相同主题的概率为（）

B7D

A-6-表-磊

10.已知函数f（x）=sin（a）x+租）的最小正周期为兀，%=看时函数图像位于最低点，则/的=（）

A._白B.C.1D.女

222

11.已知实数x,y满足方程。一2）2+、2=3,则》+、的最小值为（）

A.J~6—2B.一yj~6—2C._6+2D.—V6+2

12.设A,B为双曲线1一?=1右支上的两点，若线段4B的中点为则直线4B的方程是（）

816

A.x+y—3=0B.2x+y—3=0C.%—y+l=0D.%—2y4-3=0

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

X—3y<—1

13.若x,y满足约束条件x+2yW9,则z=2x-y的最小值为.

,3x+y>7

14.若。e（0,兀），tan9=-2,贝！js讥。-cosO=.

15.已知点4（2,-4）在抛物线C：y2=2px,k,则4到焦点F的距离为.

16.已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，AABC满足4B=1,BC=C，AC=2,若S4_L平面力BC,

则SA=.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）

某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人

民满意度的民主测评（满意度最高120分，最低0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意

度越低）.去年测评的结果（单位：分）如下

甲校：96,112,97,108,100,103,86,98：

乙校：108,101,94,105,96,93,97,106；

（1）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数及方差;

（2）根据以上数据，你认为这两所学校中哪所学校的人民满意度比较好.

18.(本小题12.0分)

记又为数列｛&J的前n项和，已知知=n-13.

(1)求｛即｝的通项公式；

(2)求数列｛|即|｝的前n项和

19.(本小题12.0分)

如图所示，力B为圆。的直径，PC1平面ABC,Q在线段PAL.

(1)求证：平面BCQ1平面4CQ；

(2)若Q为靠近P的一个三等分点，PC=BC=1,AC=2yT2,求4.BCQ的值.

20.(本小题12.0分)

设函数f(x)=ex—ax,aER.

(1)当a=1时，求函数/(x)在x=1处的切线方程；

(2)讨论函数/Q)的单调性；

(3)若/(x)2x在R上恒成立，求实数a的取值范围.

21.(本小题12.0分)

已知抛物线C：y2=2px焦点为F(l,0),直线/与抛物线C交于AQi，月)，/如为)两点，且以・为<°，OA-

OB=12(。为坐标原点).

(1)求抛物线C的方程；

(2)求证：直线1过定点.

22.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为

P=2cos6(0<0<2),曲线C2的参数方程为;^inaC°Sa«为参数)•

(1)写出G的直角坐标方程；

(2)若G与C2只有一个公共点，写出。2的直角坐标方程・

23.(本小题12.0分)

已知f(x)=2\x\+|x-2|.

(1)画出的图像，并写出/'(X)的最小值；

(2)求/'(%)与直线y=4围成的封闭图形面积.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：2=»+乃+»3+产+,5=»—1—i+i+i=j,

故Z的虚部是1.

故选:B.

求出z即可得到虚部.

本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解:由题设QM=口,2,8},Cy/V={2,4,8},

所以(CuM)U(QN)={1,2,4,8).

故选：D.

应用集合的并、补运算求集合即可.

本题主要考查了集合的并集及补集运算，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：由三视图知：几何体是将底面半径为1、高为2的圆柱体去掉四分之一所得,

所以，几何体体积是圆柱体体积的,,即V=1x2X7r=，7r.

442

故选：C.

根据三视图确定几何体构成，应用圆柱体体积公式求几何体体积.

本题考查了空间几何体的三视图应用问题，是基础题.

4.【答案】D

【解析】解：因为acosB-bcosA=b,

所以由正弦定理得sinAcosB—sinBcosA=sinB,

即sin(A-B)=sinB,

因为4,Be(0,7T),故A—B=B或A-B+B=7T(舍)

所以A=28,

由4+B+C=Jr得NB=葛

故选：D.

由正弦定理得sin(4-B)=sinB,从而得4=2B,再由内角和为兀，求得B.

本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：根据题意，f(x)=(3尤+1)0-。)(3乂-1)是奇函数，其定义域为R,

则有/(0)=(0+1)(0-cz)(0-1)=a=0,即。=0,

则f(x)=x(3x+l)(3x-l),

而/'(一%)—-x(-3x+l)(-3x-1)=-x(3x-l)(3x+1)=-f(x)满足题设・

所以a=0.

故选：C.

根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=0,求出a的值，即可得答案.

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的解析式，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：以4为坐标原点，AB,4E所在直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系,

则4(0,0),C(3,V~3),。(2,24)，

故前•/=(3,<3>(2,2<3)=6+6=12.

建立平面直角坐标系，写出点的坐标，从而利用平面向量数量积坐标公式计算即可.

本题考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：｛(居y)|/+y2£4｝表示圆心为原点，半径为2的圆以及内部,

区域｛(%,y)|l<%24-y2<4｝表示圆心为原点，半径为2和半径为1的圆环以及内部，

所以概率为字=不

47r4

故选：D.

根据几何概型的概率公式，由面积之比即可求解.

本题主要考查几何概型，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：函数f(x)=2x-l~a存在1个零点位于(1,2)内,

/(x)=2X-1-a在(0,+8)上单调递增，又因为零点存在定理，

/(I)=21<0,/(2)=22-l-a>0,

0<a<3.

故选：A.

应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可.

本题考查函数零点存在定理，属中档题.

9.【答案】A

【解析】解：由题意，甲乙抽到的主题都有6种，故甲乙抽到主题的组合有6x6=36种,

甲乙抽到相同主题的组合有6种，

所以甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为卷=有

36o

故选:A.

应用古典概型的概率求法求甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

10.【答案】C

【解析】解：由题意示=兀，3=±2,则f(%)=sin(±2x+9).

当3>0时，根据》=今时，函数图象位于最低点,

O

可得//)=sin©+9)=-l,

所以/育)=sin(y+(p)=-sin(1+<p)=1.

当3<0时，根据久=今时函数图像位于最低点,

O

可得//)=sin(冶+,)=_1,

故f(争=sin(-y+<p)=sin(y+<p)=sin(1-<p)=-sin(-^+^)=1.

综上，/(y)=-1或噌)=1.

故选：C.

由题意，根据最小正周期可得3=±2,且旌)=-1,分类讨论，再应用诱导公式求得/(争的值.

本题主要考查诱导公式，正弦函数的图象和性质，属于中档题.

11.【答案】D

【解析】解：令％=24-V3cosay=y/_3sin0,96[0,2n)f

则％+y=2+\T~3COS6+yT~3sin6=2+A/-6sin(0+和，

因为sin(0+》2-l,当。=当时取最小值，所以x+y的最小值为一一石+2.

故选：D.

令x=2+y/~3cose,y=\T3sin9,3e[0,2兀)，将x+y化为。的三角函数求最小值.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

12.【答案】C

【解析】解：设A01，%)，B(x2,y2)>

一_比=1

则有，3,两式相减，得一+矿产-工2)=①止学2),

g_或=816

1816

因为线段48的中点为M(l,2),

所以4-%2=2,%+=4，

(打+工2)(打一42)二(当+丫2)。1一丫2)

因此由二yr=1,

-8-16~-打一刀2

即直线的斜率为1,方程为y-2=%-l^x-y+l=0,

代入双曲线方程中，得/一4丫一14=0,

因为(-4)2-4x1x(-14)>0,

所以线段4B存在.

故选：C.

利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可.

本题主要考查点差法的运用，考查运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】-2

x—3y<—1

【解析】解：不等式组x+2yS9表示的平面区域，如图中阴影△A8C,其中4(1,4),B(5,2),C(2,l),

3x+y>7

目标函数z=2x—y,即y=2x-z表示斜率为2,纵截距为一z的平行直线系，

画直线5y=2x,平移直线2。到直线k，当直线，1过点4时，直线4的纵截距最大，z最小，zmin=2x1-4=

-2,

所以z=2x-y的最小值为-2.

故答案为：-2.

作出不等式组表示的平面区域，再借助目标函数的几何意义求出最小值作答.

本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.

14.【答案】一卷

【解析】解：由题设sin。♦cos。=$臂。s\=/瑞.=-|.

sIn0+cos2。tan'O+15

故答案为：—

应用平方关系作“1”的代换，结合正余弦齐次式求目标式的值.

本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题.

15.【答案】4

【解析】解：因为4(2,—4)在y2=2Px上，故p=4,

4到准线的距离为d=x+，=2+2=4,

故A到焦点F的距离为4.

故答案为：4.

求出抛物线方程，根据抛物线定义求4到焦点尸的距离.

本题考查抛物线的性质，考查焦半径公式，属基础题.

16.［答案］2c

【解析】解：由2B=1,BC=C，AC=2,

得AB?+BC2=AC2,

所以ABIBC,

又S4J■平面ABC,

如图，以4B,BC,S4为长宽高作长方体，

则长方体的体对角线SC即为三棱锥S-4BC外接球的直径,

即SC=4,

所以S4=VSC2-AC2=V16-4=2^3.

故答案为：2，"^.

易得以AB,BC,S4为长宽高作长方体，则长方体的体对角线SC即为三棱锥S-4BC外接球的直

径，再利用勾股定理即可得解.

本题考查直线与平面的位置关系，棱锥的体积，属于中档题.

17.【答案】解：(1R甲=楚96+112+97+108+100+103+86+98)=100,

%7=A(108+101+94+105+96+93+97+106)=100,

乙O

S帝=1［(96-100)2+(112-100)2+(97-100)2+(108-100)2+...+(100-100)2+(103-100)2+

(86-100)2+(98-100)2]=55.25,

s1.=9(108-100)2+(101-100)2+(94-100)2+(105-100)2+...4-(96-100)2+(93-100)2+

乙o

(97-100)2+(106-100)2]=29.5；

(2)甲乙的平均数相同，但是甲的方差大，数据波动就大，乙的方差小，数据相对集中，所以乙的人民满意

度比较好.

【解析】(1)利用平均数和方差的运算公式进行求解即可；

(2)根据方差的性质进行求解即可.

本题考查的知识要点：频率分布直方图，均值和方差，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

2

18.【答案】解：(1)依题意，Sn=n-13n,

n2

当>2时,Sn-i—(~l)—13(n—1),an=Sn-Sn_x=2n-14,

当n-1时，的=Si=M—13x1=—12满足上式，

所以｛an｝的通项公式是即=2n-14.

(2)由(1)知n<7时，厮式0,n>7时，6>。，

当?iW7时，Tn=—(a]+o,2+…+——S“=13n—/,

2

当n>7时，〃=一(。1+----Fa7)+(。8+------ban)=-257+Sn=n-13n+84,

所[13n-n2,n<7

所以-+

【解析】(1)求出S.，再利用a”与S”的关系求解作答.

(2)由(1)的结论，确定数列｛6｝的负数、正数项的n值，再分类讨论求解作答.

本题主要考查数列通项公式的求法，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】(1)证明：由题知BC_L4C,

•••PC_L平面ABC,BCu平面4BC,:.PC1BC,

又•：PCCAC=C,PCu平面ACQ,4Cu平面4CQ,

BC_L平面ACQ,

又•.•BCu平面BCQ,.•.平面BCQ_L平面4CQ.

(2)解：VP-BCQ=VQ-PCB=g,SACB.h=§，^APCB'34c=

【解析】(1)结合线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定即可得证；

(2)等体积法求三棱锥的体积.

本题主要考查面面垂直的证明，棱锥体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1),."。)=靖一》.,.[。)=靖一1,1(l)=e—1,/(I)=e-l,

•••切线方程为：y=(e-l)(x-l)+e-l=(e-l)x.

(2)/'(x)=〃-(!,

①当a<0时,f(x)>0,f(x)在R上单调递增;

②当a>0时，ex-a=0,x=Ina

(—oo,Ina)Ina(Ina,+oo)

f'(x)负0正

/(X)减极小值增

综上所述：

aWO时，f(x)的单调递增区间为R；

a>0时，f(x)的单调递减区间为(-8,/na),单调递增区间(仇a,+8).

(3)f(x)>x«/(x)-x>0,

令g(x)=/(x)—x=ex—(a+l)x,即g(x)>0,g'(x)=ex—(a+1).

①a+l<0时，g'(x)>0,g(x)单调递增，g(^)=e^i-1<0)故g(x)20不成立，舍去.

②a+1=0时，g(久)>0恒成立，此时a=-1.

③a+l>0时，由(2)知，g(x)2g(ln(a+l)),故只需gQn(a+1))20即可，

g(ln(a+1))=(a+1)—(a+l)(ln(a+1))>0,

即ln(a4-1)<1,A0<a+1<e,A—1<a<e—1.

综上所述：[—l,e—1].

【解析】(1)求出((1),/(I),写出切线方程；

(2)f(%)=e*-Q,讨论a<0,a>0,确定尸(x)的正负找出/(%)单调区间.

(3)g(%)=e*-(a+l)x>0恒成立，讨论g(%)的单调性,由(0得Q的取值范围.

本题考查导数的几何意义，导数的综合应用，分类讨论数学思想方法，属中档题.

21.【答案】解：(1)由题设§=1,则p=2,

所以抛物线方程为y2=4x.

(2)证明:令I：%=£y+b,4(%1，%)，8(%2，、2)，

联立，+"得：y2-4ty-4b=0,则%+丫2=4如yry2=-4b,

y

tA

2

OA-OB=x1%2+y，2=(七月+b)(ty2+b)+y1y2=-4b4-Z?=12»

解得b=6或一2,由y1y2Vo得：b>0,

故b=6,

I：%=ty4-6过定点(6,0).

【解析】(1)由焦点坐标有§=1求参数，即可得抛物线方程；

(2)设心x=ty+b,A(xi，月)，B(x2ly2),联立抛物线消去久，应用韦达定理、向量数量积的坐标表示列方

程求参数，并写出直线方程，即可证结论.

本题考查抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

22.【答案】解：⑴在等式p=2cos0(O<3<个两边同时乘以p可得p2=Ipcose,

化为普通方程可得/+y2=2x,即(x—I/+y2=i,

又因为0<9<1，故曲线Q表示圆(X-1产+y2=1的上半圆，

因此，曲线G的直角坐标方程为(X-1)2+y2=l(0<y<1).

(2)由题意可知，曲线C2是过点(-2,0)且倾斜角为a的直线，

由图可知，当G与C2只有一个公共点