2021新高考数学二轮总复习题型强化练7模拟综合练（B）

题型强化练7模拟综合练(B)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020山东淄博二模,1)已知集合A=x|1x<1,B=x||x-A.(1,3) B.(1,1) C.(1,0)∪(0,1) D.(1,0)∪(1,3)2.(2020山东聊城一模,3)“a<2”是“∀x∈R,a≤x2+1为真命题”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.(2020山东德州二模,3)欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ,把自然对数的底数e,虚数单位i,三角函数cosθ和sinθ联系在一起,被誉为“数学的天桥”,若复数z满足(eiπz)·i=1+i,则|z|=()A.5 B.2 C.22 D.34.已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0是函数f(x)=lnx+x4的零点,则g(x0)=()A.4 B.5 C.2 D.35.(2020福建南平三模,8)“一世”又叫“一代”.东汉·王充《论衡·宜汉篇》:“且孔子所谓一世,三十年也”,清代·段玉裁《说文解字注》:“三十年为一世,按父子相继曰世”.而当代中国学者测算“一代”平均为25年.另根据某研究机构的研究报告显示,全球家族企业的平均寿命其实只有26年,约占总量的28%的家族企业只能传到第二代,约占总量的14%的家族企业只能传到第三代,约占总量4%的家族企业可以传到第四代甚至更久远(为了研究方便,超过四代的可忽略不计).根据该研究机构的研究报告,可以估计该机构所认为的“一代”大约为()A.23年 B.22年 C.21年 D.20年6.(2020山东、海南新高考联盟,6)设函数f(x)=(x+1)4,x>1,3x+1,xA.32 B.4 C.24 D.67.《九章算术》中有如下问题:今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?意思是:今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.若蒲、莞长度相等,则所需时间为()(结果精确到0.1.参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771.)A.2.6天 B.2.2天 C.2.4天 D.2.8天8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+2e)=f(x)(其中e=2.71828),且在区间[e,2e]上单调递减,令a=ln22,b=ln33,c=ln55,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为(A.f(b)>f(a)>f(c) B.f(b)>f(c)>f(a)C.f(a)>f(b)>f(c) D.f(a)>f(c)>f(b)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(2020海南海口高三模拟,11)小张上班从家到公司开车有两条线路,所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化,其概率分布如下表所示:所需时间(分钟)30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1则下列说法正确的是()A.任选一条线路,“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B.从所需的平均时间看,线路一比线路二更节省时间C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司,小张应该走线路一D.若小张上、下班走不同线路,则所需时间之和大于100分钟的概率为0.0410.定义平面向量之间的一种运算“☉”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a☉b=mqnp.下面说法正确的是()A.若a与b共线,则a☉b=0 B.a☉b=b☉aC.对任意的λ∈R,有(λa)☉b=λ(a☉b) D.(a☉b)2+(a·b)2=|11.(2020山东聊城一模,11)已知直线l:2kx2ykp=0与抛物线C:y2=2px(p>0)相交于A,B两点,点M(1,1)是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点,则下列结论正确的是()A.p=2 B.k=2 C.|AB|=5 D.△MAB的面积为5512.已知函数f(x)=x22xcosx,则下列关于f(x)的表述不正确的是()A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)的最小值为1C.f(x)有4个零点 D.f(x)有无数个极值点三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020北京东城二模,12)已知cos2α=13,则cos2π2+α2cos2(πα)14.(2020天津和平一模,13)函数f(x)=xlnx+a的图象在x=1处的切线被圆C:x2+y22x+4y4=0截得弦长为2,则实数a的值为.

15.(2020山东聊城一模,14)若函数f(x)=sinx+cosx在[0,a]上单调递增,则实数a的取值范围为.

16.(2020山东潍坊三模,16)如图1,四边形ABCD是边长为10的菱形,其对角线AC=12,现将△ABC沿对角线AC折起,连接BD,形成如图2所示的四面体ABCD,在图2中,设棱AC的中点为M,BD的中点为N,若四面体ABCD的外接球的球心在四面体的内部,则线段MN长度的取值范围为.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f(x)=12x2+mx(m>0),数列{an}的前n项和为Sn.点(n,Sn)在f(x)图象上,且f(x)的最小值为1(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}满足bn=2an(2an-1)(2an+1-1),记数列{18.(12分)(2020山东滨州三模,17)如图,半圆O的直径AB=2,点C在AB的延长线上,BC=1,点P为半圆上异于A,B两点的一个动点,以点P为直角顶点作等腰直角△PCD,且点D与圆心O分布在PC的两侧,设∠PAC=θ.(1)把线段PC的长表示为θ的函数;(2)求四边形ACDP面积的最大值.19.(12分)(2020山东潍坊一模,19)如图,在等腰直角三角形ADP中,∠A=90°,AD=3,B,C分别是AP,DP上的点,且BC∥AD,E,F分别是AB,PC的中点.现将△PBC沿BC折起,得到四棱锥PABCD,连接EF.(1)证明:EF∥平面PAD;(2)是否存在点B,当将△PBC沿BC折起到PA⊥AB时,二面角PCDE的余弦值等于155?若存在,求出AB的长;若不存在,请说明理由20.(12分)(2020山东青岛三模,20)某市居民使用天然气实行阶梯价格制度,具体制度如下表:阶梯年用气量(立方米)价格(元/立方米)第一阶梯不超过228立方米的部分3.25第二阶梯超过228立方米而不超过348立方米的部分3.83第三阶梯超过348立方米的部分4.70从该市随机抽取10户(一套住宅为一户)同一年的天然气使用情况,得到统计表如下:居民用气编号12345678910年用气量(立方米)95106112161210227256313325457(1)求一户居民年用气费y(元)关于年用气量x(立方米)的函数关系式;(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户,求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望;(3)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况,现从全市中依次抽取10户,其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为P(k),求P(k)取最大值时的k值.21.(12分)(2020山东济南一模,21)在平面直角坐标系xOy中,①已知点A(3,0),直线l:x=433,动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为②已知圆C的方程为x2+y2=4,直线l为圆C的切线,记点A(3,0),B(3,0)到直线l的距离分别为d1,d2,动点P满足|PA|=d1,|PB|=d2;③点S,T分别在x轴,y轴上运动,且|ST|=3,动点P满足OP=(1)在①,②,③这三个条件中任选一个,求动点P的轨迹方程;注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.(2)记(1)中的轨迹为E,经过点D(1,0)的直线l'交E于M,N两点,若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q,求点Q纵坐标的取值范围.22.(12分)(2019山东潍坊二模)已知函数f(x)=xex1alnx(无理数e=2.718…).(1)若f(x)在(1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围;(2)当a=0时,设g(x)=ex·f(x)x2x,证明:当x>0时,g(x)>1ln22ln222题型强化练7模拟综合练(B)1.D解析∵1x<1,∴x-1x>0,则A=(∞,0)∪(1,+∞).∵|x1|<2,∴2<x1<2,解得1<x<3,则B=(1,3).∴A∩B=(1,0)∪(1,3).2.B解析因为∀x∈R,a≤x2+1为真命题,又x2+1≥1对∀x∈R恒成立,所以“∀x∈R,a≤x2+1为真命题”等价于“a≤1”,则“a<2”不能推出“a≤1”,反之,“a≤1”能推出“a<2”,所以“a<2”是“∀x∈R,a≤x2+1为真命题”的必要不充分条件.3.A解析由欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ可得:eiπ=cosπ+isinπ=1.由(eiπz)·i=1+i,得(1z)·i=1+i,即1z=1+ii=1i,化简得z=2+i所以|z|=(-4.C解析由题意得,f'(x)=1x+1,在定义域(0,+∞)内,f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)=lnx+x4在(0,+∞)内单调递增,又f(2)=ln22<0,f(3)=ln31>0,且函数f(x)图象连续不断所以函数f(x)存在唯一的零点x0∈(2,3),故g(x0)=2.5.B解析设“一代”为x年,由题意得企业寿命的频率分布表为家族企业寿命(0,x](x,2x](2x,3x](3x,4x]频率54%28%14%4%又因为全球家族企业的平均寿命其实只有26年,所以家族企业的平均寿命为0.54×0.5x+0.28×1.5x+0.14×2.5x+0.04×3.5x=26,解得x≈22.6.D解析因为f(x)=(x+1)4,x>1,3x+1,x≤1,故f(f(x))=f(3x+1)=(3x+2)4,而(3x+2)4的展开式共有故其中二项式系数最大值为C42=7.A解析设蒲的长度组成等比数列{an},其中a1=3,公比为12,其前n项和为An莞的长度组成等比数列{bn},其中b1=1,公比为2,其前n项和为Bn.则An=31-12n由题意可得31-12n1-12=2n-12-1,化为∴n=lg6lg2=1+lg3lg2≈2.6.∴估计2.8.A解析∵f(x)是R上的奇函数,满足f(x+2e)=f(x),∴f(x+2e)=f(x).∴f(x)的图象关于直线x=e对称.∵f(x)在区间[e,2e]上单调递减,∴f(x)在区间[0,e]上单调递增.令y=lnxx,则y'=∴y=lnxx在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)∴b=ln33>ab=ln22-ln33=ac=ln22-ln55=5ln2-2ln510=ln32-ln2510>0,∴a>c.即0<c<a<b<e,9.BD解析对于选项A,“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件,故A错误;对于选项B,线路一所需的平均时间为30×0.5+40×0.2+50×0.2+60×0.1=39分钟,线路二所需的平均时间为30×0.3+40×0.5+50×0.1+60×0.1=40分钟,所以线路一比线路二更节省时间,故B正确;对于选项C,线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7,线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8,小张应该选线路二,故C错误;对于选项D,所需时间之和大于100分钟,则线路一、线路二的时间可以为(50,60),(60,50)和(60,60)三种情况,概率为0.2×0.1+0.1×0.1+0.1×0.1=0.04,故D正确.10.ACD解析若a与b共线,则a∥b,即mqnp=0,则a☉b=0,故A正确;由于a☉b=mqnp,又b☉a=npmq,因此a☉b=b☉a,故B不正确;对于C,因为λa=(λm,λn),所以(λa)☉b=λmqλnp,又λ(a☉b)=λ(mqnp)=λmqλnp,所以(λa)☉b=λ(a☉b).故C正确;对于D,(a☉b)2+(a·b)2=m2q22mnpq+n2p2+(mp+nq)2=m2(p2+q2)+n2(p2+q2)=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正确.11.ABC解析由题意知,抛物线C的准线为x=1,即p2=1,解得p=2,故选项A正确因为p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,其焦点为F(1,0),又直线l:2kx2ykp=0,即y=k(x1),所以直线l恒过抛物线的焦点F(1,0),设点A(x1,y1),B(x2,y2),因为A,B两点在抛物线C上,联立方程y12=4x1设AB的中点为Q(x0,y0),且2y0=y1+y2,则y0=2k,因为点Q(x0,y0)在直线l上可得x0=2k2+1,所以点Q2k2由抛物线的定义知,圆Q的半径r=AB2=因为|QM|2=2k2+22+2解得k=2,故选项B正确;因为k=2,所以弦长|AB|=2r=22k2+2=224+2=因为k=2,所以直线l为2x+y2=0,由点到直线的距离公式可得,点M到直线l的距离为d=|-2-1-2|12+22=5,所以故选项D错误.12.ABC解析对于A,因为f(x)=x22xcosx,f(x)=x2+2xcosx,所以f(x)≠f(x),故A错误;对于B,问题转化为x2+1=2xcosx有解,即x+1x=2cosx(x≠0)有解,当x>0时,x+1xmin=2,当x=1时,2cos1<2,同理,当x<0时,也不满足,故方程无解,故B错误;对于C,问题等价于x=2cosx有三个解,画出y=x,y=2cosx的图象(图略)可知,两图象只有一个交点,故C错误;对于D,f'(x)=2x2(cosxxsinx)=2x(1+sinx)2cosx,结合题意2x(1+sinx)2cosx=0,即x=cosx1+sinx,而cosx1+sinx=cos2x2-sin213.1解析由cos2α=13,得2cos2α1=13,即cos2α所以cos2π2+α2cos2(πα)=sin2α2cos2α=13cos2α=13×14.6或2解析因为f(x)=xlnx+a,所以f'(x)=1+lnx,代入切点横坐标x=1,可知切线的斜率k=f'(1)=1.又f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以函数f(x)=xlnx+a的图象在x=1处的切线方程为y=x+a1.由圆C:x2+y22x+4y4=0可得圆心坐标为(1,2),半径为3,所以圆心到切线的距离d=|因为切线被圆C截得的弦长为2,则|2+a|22+1解得a=6或a=2.15.0,π4解析由题意知,f(x)=sinx+cosx=所以π2+2kπ≤x+π4≤π2+2kπ,k∈Z,解得3π4+2kπ≤x≤π4令k=0,可得3π4≤x≤π4.所以-3因为函数f(x)在[0,a]上单调递增,所以实数a的取值范围为016.(14,8)解析由四边形ABCD是边长为10的菱形,其对角线AC=12,可得MA=6,MB=8.设O1是△ABC的外心,在中线BM中,设过点O1的直线l1⊥平面ABC,易知l1⊂平面BMD.同理O2是△ACD的外心,在中线DM上.设过点O2的直线l2⊥平面ABC,易知l2⊂平面BMD,由对称性易知l1、l2的交点O在直线MN上,根据外接球的性质,点O为四面体ABCD的外接球的球心,则O1A2=O1M2+MA2,且O1A+O1M=BM=8,∴(8-O1M)2=O1M令∠BMN=θ,根据题意可知BD⊥CN,BD⊥AN,且CN∩AN=N,则BD⊥平面ACN,MN⊂平面ACN,则BD⊥MN,∴0<θ<π2,∴MN=BMcosθ=8cosθ<8∵cosθ=MNBM=O1MOM,∴OM·MN=O1M·BM=74∴MN2>14,即MN>14.综上可得,14<MN<8,即线段MN长度的取值范围为(14,8)17.(1)解f(x)=12(x+m)2m22,故f(x)的最小值为m22=18.又m>0,所以m=12,即Sn=12n2+12n,所以当n≥2时,an=SnSn1=n;当n=1时,a1=1也符合上式,(2)证明由(1)知bn=2a所以Tn=113+13-17+由题知,12n所以Tn<1.18.解(1)依题设易知△APB为以∠APB为直角的直角三角形,又已知,AB=2,∠PAB=θ,θ∈所以PA=2cosθ.在△PAC中,AC=3,∠PAC=θ,由余弦定理得,PC2=PA2+AC22PA·ACcosθ=4cos2θ+912cos2θ=98cos2θ.所以PC=9-8co(2)设四边形ACDP的面积为S,S=S△APC+S△PCD=12AP·AC·sinθ+12=12·2cosθ·3·sinθ+12·(9=32sin2θ+12·(5=32sin2θ2cos2θ+(方法一)S=32sin2θ2cos2θ+=94+4sin(2θφ)=52sin(2θφ)+5其中cosφ=35,sinφ=45,φ为锐角.因为sinφ=45<32,所以0<φ<π3.又因为0<θ<π2,所以π3<2θφ<π,所以当2θφ(方法二)设f(θ)=32sin2θ2cos2θ+52,0<θ<则f'(θ)=3cos2θ+4sin2θ,设f'(θ)=0的根为θ0,则tan2θ0=34,且θ0∈π4,π2.当θ∈0,当θ∈π4,θ0时,2θ∈π2,2θ0,tan2θ<34又因为f(θ)在(0,θ0)上的图象是连续不断的,所以,函数f(θ)在(0,θ0)上单调递增.当θ∈θ0,π2时,2θ∈(2θ0,π),tan2θ>34,所以4sin2θ<3cos2θ,所以,函数f(θ)在θ0,所以,当θ=θ0时,f(θ)最大,此时sin2θ0=35,cos2θ0=45,f(θ)的最大值为5,所以四边形ACDP面积的最大值为19.(1)证明(方法一)作CM∥AB交AD于点M,连接PM,取PM中点N,连接AN,FN,由中位线定理得FN∥CM,且FN=12CM因为E是AB的中点,所以AE∥CM,且AE=12CM故FN∥AE,且FN=AE,所以四边形AEFN是平行四边形,所以EF∥AN.因为AN⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.(方法二)取CD中点G,连接EG,FG,因为E,F分别是AB,PC的中点,所以FG∥PD,EG∥AD.因为FG∩EG=G,且PD⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以平面EFG∥平面PAD,因为EF⊂平面EFG,所以EF∥平面PAD.(2)解存在.理由如下:因为BC⊥AB,BC⊥PB,且AB∩PB=B,所以BC⊥平面PAB.又BC∥AD,所以AD⊥平面PAB,所以PA⊥AD.又因为AB⊥AD,PA⊥AB,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=a,则PB=BC=3a,由PB>AB,得0<a<32,PA=9-6a,所以A(0,0,0),C(a,3a,0),P(0,0,所以DC=(a,a,0),DP=(0,3,9-6设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则ax-ay=0则n=1,又平面CDE的一个法向量m=(0,0,1),依题意,得155=|cos<n,m>|=|所以155=39-6a2+3故存在点B,且AB的长为1.20.解(1)由题知y=3(2)由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户,设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ,则ξ可取0,1,2,3,则P(ξ=0)=C7P(ξ=1)=C7P(ξ=2)=C7P(ξ=3)=C故ξ的分布列为ξ0123P72171所以E(ξ)=0×724+1×2140+2(3)由题知P(k)=C10k35k2由C解得285≤k≤335,k所以当k=6时,概率P(k)最大,所以k=6.21.解(1)若选①,设P(x,y),根据题意,(x整理得x24+y2=1,所以动点P的轨迹方程为x24+y若选②,设P(x,y),直线l与圆相切于点H,则|PA|+|PB|=d1+d2=2|OH|=4>23=|AB|,由椭圆定义知,点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,所以2a=4,2c=|AB|=23,故a=2,c=3,b=1,所以动点P的轨迹方程为x24+y2=若选③,设P(x,y),S(x',0),T(0,y'),则(x')2因为OP=23整理得x代入(*)得x24+y2所以动点P的轨迹方程为x24+y2=(2)(方法一)设Q(0,y0),当l'斜率不存在时,y0=0;当l'斜率存在时,设直线l'的方程为y=k(x1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由y=k(x-1),x24+y2=1,消去y并整理得(1+4kΔ=(8k2)24(1+4k2)·4(k21)=48k2+16>0恒成立,x1+x2=8k设线段MN的中点为G(x3,y3),则x3=x1+x22=4k21+4所以线段MN的垂直平分线的方程为y+k1+4k令x=0,得y0=3当k<0时,1k+4k≤4,当且仅当k=12时取等号,所以34≤当k>0时,1k+4k≥4,当且仅当k=12时取等号,所以0<y0综上,点Q纵坐标的取值范围是-(方法二)设Q(0,y0),根据题意直线l'斜率不为0,设直线l'