西藏自治区拉萨市（一模）2024届上学期第一次模拟考试理科数学试卷及答案

拉萨市2024届高三第一次模拟考试

数学理科

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷

上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知全集。={一1,3,5,7,9},«2={-1,9},8={3,7,9},则2口8=()

A.{3,7}B.{3,5}C.{3}D.{9}

2.已知复数2+i(l—a+ai)为纯虚数，则实数a的值为()

A.-1B.0C.1D.2

22

3.双曲线上—2=1的焦点坐标为()

73

A.(2,0),(-2,0)B.(0,2),(0,-2)C.(Vw,0),(-VH),0)D.(0,Vw),(0,-Vw)

4.将函数/(x)=2sin(x+o)[o<°<|^的图象向左平移g个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则°=

()

兀兀兀兀

A.—B.—C.—D.一

6543

V2

5.函数/(x)=4f平的部分图象大致为()

yypI，

A.B.C.D.

6.已知抛物线C：「=8x的焦点为尸，点〃■在抛物线。上，且|〃F|=4,。为坐标原点，则10M=()

A.V5B.2A/5C.4D.5

7.二项式的展开式中的第3项为()

8040

A.160B.—80%C・-D.----

x3X1

8x—3y+320,

8.若变量x,y满足约束条件卜x+2y—4V0,则2=上的最小值为()

l1

XV十JL

x+y-l>0,

111

A.B.-C.-D.一

3456

9.若一个圆锥的轴截面是一个腰长为正，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为()

A.2瓶兀B.、/^兀C.(4+2后)兀D.(1+啦)兀

10.(l-tanl00°)(l-tan35°)的值为()

A.-1B.0C.1D.2

11.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子•离娄章句上》.“规”指圆规，“距”指由相互垂直的长短两条直尺

构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，首先用矩测量其直径，如左图，矩的较长边

为10cm,较短边为5cm,然后将这个圆形木板截出一块四边形木板，该四边形48CD的顶点都在圆周上，

如右图，若ZC，CQ,sinN8ZC=g,则8C=()

12.已知函数/(x)的定义域为RJ(2—x)=/(2+x),/(5)=2,且Vx1,/e(―叫2],当x尸乙时,

/(%)―/(3)>。则不等式/(x)+4x+3〉一的解集为()

石-x2

A.1x|x<-1,或x〉5}B.|x|-l<x<5}

C.1x|x<-5,或x〉5}D.1x|-5<x<5^

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知X/ER,空间向量方=（2,l,x）石=（4）,一1）.若2〃B,贝！J2x+y=.

14.已知正数a/满足a+b=2,则工+工的最小值为____.

ab

15.如果两个球的表面积之比为4:9,那么两个球的体积之比为.

16.已知函数/（x）=（%一口）卜2一伍一1卜-引，函数/（x）的图象与x轴的交点关于y轴对称，当a=6时,

函数/（x）=;当函数/（X）有三个零点时，函数/（X）的极大值为.

（第一空2分，第二空3分）

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）已知等差数列｛%｝的前”项和为=15,%+为=20・

（1）求｛与｝的通项公式；

（2）记数列的前〃项和为7；,求

1%一一

18.（12分）如图，正方体Z8CQ—的棱长为2.

bi2

zfT71cl

、、

另c

4H

（1）证明：4G〃平面NC3；

（2）求直线8。与平面NC2所成角的正弦值.

19.（12分）当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技

术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC,我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简

称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023

年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访.

（1）求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率；

（2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X,求X的分布列与期望.

22

20.（12分）设椭圆£:=+二=1（。〉6〉0）的上顶点为8,左焦点为尸.且民E在直线X—>+2=0

ab

上.

(1)求£的标准方程；

(2)若直线/与E交于尸，。两点，且点2(-1,1)为尸。中点，求直线/的方程.

21.(12分)已知函数/("=(/+1)依—/一晒了,(力为函数/(X)的导函数.

⑴若0=1,求/'(X)的最小值；

(2)若方程/(x)=axe2»-/有解，求实数。的取值范围.

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.

22.(10分)【选修4-4：坐标系与参数方程】

x=2%+1,

在平面直角坐标系xp中，直线/的参数方程为J_2ta为参数)，以左边原点。为极点，1轴的非负

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22—42sin。+3=0.

(1)求直线/的直角坐标方程以及曲线C的普通方程；

(2)过直线/上一点幺作曲线。的切线，切点为8,求|48|的最小值.

23.(10分)【选修4-5：不等式选讲】

(1)求不等式/(x)〉7的解集；

4

(2)证明：Vm>l,3xGR,使得/(x)=----+m.

m-1

拉萨市2024届高三第一次模拟考试

数学理科参考答案及评分细则

1.【答案】A

【解析】因为。={一1,3,5,7,9},«2={-1,9},所以幺={3,5,7},因为5={3,7,9},所以

Nn8={3,7},故选A.

2.【答案】D

【解析】因为2+i(l—a+ai)=—a+2+(l—a)i为纯虚数，所以心解得。=2,故选D.

3.【答案】C

【解析】因为/=7万=3,所以C2=/+62=IO,得。=而，所以焦点坐标为("6,0)和

(-Vio,o),故选c.

4.【答案】A

【解析】将/(x)的图象向左平移;个单位长度，得到8(»=25吊口+三十—的图象，因为g(x)为偶函

7T7TTTJT

数，且0<°<—,所以一+0=—,得0=—,故选A.

2326

5.【答案】A

【解析】因为/(—》)=]—"[又函数的定义域为{x|x*0}，故/(x)为奇函数，排除CD；

根据指数函数的性质，y=4工在R上单调递增，当x〉0时，x〉—x,故4T<#，则/(x)<0,排除B,

故选A.

6.【答案】B

【解析】设M(x0,j0),由|"F|=4得x0+^=4,又p=4,得%=2,所以

M(2,±4),|(9M|=V4+16=2-\/5,故选B.

7.【答案】C

【解析】因为Qi=C”广,所以4=亡(2力]—}]哼，故选C.

8.【答案】C

【解析】根据约束条件画出如图所示的可行区域，再利用几何意义知z=」」表示点(x,y)与点尸(-1,0)

X+1

1

5x+2y—4=0,(21、R1

连线的斜率，易知直线尸幺的斜率最小，由''得Z—,一，所以Zmin=F—J,故选C.

x+y-l=0133；±+15

3

【解析】由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为后，底边长为2,所以圆锥的母线长

1=42,底面圆半径r=l,所以该圆锥的侧面积为5=兀〃=兀xlx0=J^r,故选B.

10.【答案】D

［解析］(1-tanl00°)(1-tan35°)=1-tanl00°-tan35°+tanl00°tan35°

=l-tanl35°(l-tanl00°tan35°)+tanl00°tan35°=2,故选D.

11.【答案】A

【解析】因为NC_LC£),所以幺。为圆的直径，由题意得AD=Ji。？+52=5A5cm,因为△4BC在以

为直径的圆上，所以8C=ZQ-sinN8ZC=5石x』=35cm,故选A.

33

12.【答案】B

【解析】解法一：由/(2-x)=/(2+x)可知，/(x)的图象关于直线x=2对称，且在(-叫2］上单调递

增，在(2,+oo)上单调递减；4g(x)=/(X)-X2+4X,易知函数g(x)的图象关于直线x=2对称，且在

(7,2］上单调递增，在(2,+oo)上单调递减，则〃(x)=g(x+2)关于歹轴对称，且在(-叫。］上单调递增,

在(0,+oo)±单调递减，故

f(x)+4x+3>x2<4>f(x)-x2+4x〉一3=g(x)〉g(5)=/z(x-2)〉/z(3)=|x-2］<30-l<x<5

,故选B.解法二：取满足条件的特殊函数，令/(X)=-(X-2)2+11,则

/(x)+4x+3>x〜—(x—2)+11+4x+3>x〜x2—4x—5<0—1<x<5,故选B.

13.【答案】1

-21x1

【解析】因为所以一=—=一,即》=——,y=2,得2x+y=l.

4y~12

14.【答案】2

【解析】依题意，-+-=-f-+-\a+M=-f2+-+-V-f2+2./^K2,当且仅当a=b=l

ab2(QbJ2(ab)2(VabJ

时取等号.

Q

15.【答案】8:27(填——也可以)

27

、4,

【解析】因为球的表面积公式为5=4兀氏2,体积公式为忆=—兀R3,所以由两个球的表面积之比为4:9可

3

得它们的半径之比为2:3,所以它们的体积之比为8:27.

16.【答案】(x—l)2(x+l)暇(第一空2分，第二空3分)(第一空填"J也可以)

【解析】/(x)=(x-a)(x-Z))(x+l),当a=b时，函数/(x)有两个零点，其中一个为一1,另一个必为

1,于是4=3=1,/(x)=(x—l『(x+i)；当/(X)有3个零点时，因为函数/(X)的图象与X轴的交点关于y

轴对称，所以0是函数/(X)的零点，从而1也是函数/(X)的零点，于是

/(X)=X(X-1)(X+1),/,(X)=3X2-1,由广(X)=0,得X=±F，显然当x=—理时，函数/⑴有

极大值，极大值为----.

9

17.解：（1）设｛%｝的公差为d,

a+4=2a+7d=20,

由已知得7451解得q=3,d=2.

S3=3a2=3al+3d=15,

故a”=。1+（〃一1）4=2〃+l.

111

（2）~7777——II，

%%+]（2〃+1）（2〃+3）212〃+12n+3j

1

2〃+3

【评分细则】

nn

第(2)小题的结果若写成下上~7或^^,不扣分.

3(2〃+3)6n+9

18.(1)证明：•.•2。〃4。1，幺。匚平面幺。。1，4。1<2平面幺。。1，

.•.4G〃平面zcz)i.

(2)解：如图，以。为原点，万%皮，万万分别为x/,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-个z.

则2(2,0,0),0(020),5(2,2,0),0(000),2(0,0,2),

所以％=(—2,2,0),9=(—2,0,2),而=(—2,—2,0),

设平面NCD]的法向量为为=(x,y,z),

n-AC=0,[-2x+2y=0,

由5___.得＜

n•ADX=0,[-2x+2z=0,

令x=l,得力=(1,1,1),

/-^z一\BD-fi-2x1+(—2)x1+0x1V6

cos(BD,n)=।“----------产—--------------------

'/即.问272x733

所以直线BD与平面ACD,所成角的正弦值为彳.

【评分细则】

如果第一问使用其他方法证明且步骤无误，不扣分.

19.解：(1)选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率为

C；C；+C：_3x6+4_22

3535

(2)由题意，X的所有取值为0,1,2,3,

尸。=0)幸$小=1)=*=1|

P（X=2）=等=||,P（X=3）=|!$

所以X的分布列为

X0123

418121

P

35353535

459

£（X）=0x—+lx—+2x—+3x—

v7835353535357

【评分细则】

1.如有其他解法若正确，也给满分；

2.第(2)问最终结果不化为最简扣1分.

20.解：(1)直线％-》+2=0与x轴交于点尸(一2,0),与y轴交于点5(0,2),

所以6=2,c=2,〃=〃+/=8,

22

因此E的标准方程为土+匕=1.

84

X=-1,X——1,X——1,

22解得《

(2)当直线/的斜率不存在时，联立xy17或＜Z，

—+—=1,yy

I842；

7

故尸!\,Q,不满足|/训=|幺0|,即N不是尸。的中点,不符合题意.

2

7

当直线/的斜率存在时，设直线/：y=左(》+1)+1,尸(占,%),0(%,%)・

|22

土+匕=1、

联立《84一’可得/+2［左（》+1）+1『—8=0,

尸左（x+l）+l,

即（2左2+1）%？+4左（左+l）x+2（左+1）2—8=0.

所以x+x-4M左+1）

所以I2_—2后2+1.

由于4(—1,1)为尸。的中点，所以五丁=—1,即广1,解得左=g.

综上，直线/的方程为y=：(x+l)+l,即x—2y+3=0.

【评分细则】

第(2)题中也可以通过其他方法得出斜率的值，步骤结果无误，可给满分.

21.解：(1)当时，/(x)=^x2+1jlux-x2-x,

/=2xlnx-x+--1,

设g(x)=/'(x)，则g'⑴=l+21nx--y,

X

g'(x)在(0,+8)上单调递增,且g”)=0,

所以X£(O,1)时，g'(x)<0/(x)单调递减，xw(l,+8)时,g'(x)>0J'(x)单调递增,

所以/'(x)mm=r(l)=T・

(2)f(x)=axe2ax-x2即2(/+1)血=2ax^e2ax+1),

即卜2+i)1nx2=(e26+l)lne2",

设/z(x)=(x+1)Inx,则h^x1)=%(e2G),

iir_i

/z'(x)=lux+1+—,设加(x)=lux+1+—,则加'(x)=——,

所以x£(0,1)时，加(x)<0,m(x)单调递减，x€(1,+8)时，加'(')〉0,m(x)单调递增,

所以加(x)>m(l)=2