2023-2024学年四川省绵阳高二年级下册4月月考数学（文）模拟试题（含解析）

2023-2024学年四川省绵阳高二下学期4月月考数学(文)

模拟试题

一、单选题

1.函数/(H=/在区间［-1,2］上的平均变化率为()

A.-1B.1C.2D.3

【正确答案】B

直接利用平均变化率公式一进行求值.

X2~X\

【详解】因为/(x)=χ2,

f{2}-f(-∖}4-1

所以f(X)在区间［-1,2］上的平均变化率为八;/：、==-=1.

故选：B

本题考查函数的平均变化率，考查运算求解能力，属于基础题.

2.已知复数z=i(l-2i),贝IJZ的共轨复数［的虚部为()

A.2B.1C.-1D.-2

【正确答案】C

【分析】由已知复数等式求复数z,进而写出共轨复数W,即可确定虚部.

2

【详解】由题设，Z=(∙(1-2Z)=1∙-2Z=∕+2,即W=2T,其虚部为-1.

故选：C

3.不等式<2"是''108/>1”成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】分别解不等式后即可判断.

【详解】由可得x>—1，充分性不成立；由log,x>l,可得x>2,可得必要

性成立.

故选：B

4.已知命题P：3x∈R,sinx<l;命题4：VxeR,小≥1，则下列命题中为真命题的是()

A.PAqB.-τP^⅛C.PdTlD.TPVq)

【正确答案】A

【分析】根据题意，分析p、q的真假，即可得答案.

【详解】对于命题P，当X=O时，Sinx=Ovl,，是真命题；

对于命题4，WX∈R,W≥0,必有J"≥e°=l,q是真命题,

故p、q都是真命题，由复合命题的真假可得A选项正确，其他错误.

故选：A.

5.已知函数/(x)=Y-2COSX,贝1」/(0),/[-£|,/(|)的大/」、关系是()

A./(O)<∕βp(t]B∙((∣<A))<阍

c∙/(ɪK-ʤd∙…图T㈢

【正确答案】A

判断了(x)的奇偶性，利用导数判断S,D上的单调性，根据单调性以及奇偶性比较大小即可.

【详解】易知/(x)=∕-2CoSX为偶函数

V∕,(x)=2x+2sinx,当χ∈(0,1)时,f'(x)>0,F(X)在(0,D上为增函数

.∙.∕(θX∕g)<∕g)

“(。)<(小/(I)

故选：A

yy

C.

X

【正确答案】A

【分析】根据奇偶性的定义，结合函数极限以及利用导数求得函数单调性，即可判断和选择.

【详解】容易得/(x)定义域为(-∞,0)7(0,的)关于原点对称,

又Z(X)=2√-InI%I=f(-x),

故函数/*)是偶函数，

•••fM的图象关于)'轴对称，

故排除B,

又•.理/(x)f+00,

故排除D.

当x>0时，/'(x)=4x-J,令∕,(x)=0,解得X=:；

故当XW(Og)时，f(x)单调递减，在(；,+8)单调递增.

此时/^j=∣-∙n→θ

故排除C.

故选.A

本题考查函数图象的辨识，涉及函数奇偶性、单调性的判断，属综合基础题.

7.下面是“神舟七号”宇宙飞船从发射到返回的主要环节：①箭船分离；②出舱行走；③点火发射；

④返回地球；⑤轨道舱和返回舱分离.图中正确的是()

A.③T⑤T②T①T④B.③T⑤T②T④1①

C.③T①T②T⑤—④D.④T⑤T②T①一③

【正确答案】C

【分析】细读题意，根据流程图的表示方式及生活实际：先将所给环节根据生活实际排序，再用流

程图表示出来即可.

【详解】结合生活实际可得，神舟七号''宇宙飞船从发射到返回的主要环节的步骤为：③点火发射；

①箭船分离；②出仓行走；⑤航道舱和返回舱分离；④返回地球.

用流程图表示出来为C选项的形式.

故选：C

本题是一道关于流程图的题目，解答本题的关键是熟悉流程图的概念，细读题意，根据流程图的表

示方式及生活实际是解答本题的基本方法，属于基础题.

8.已知函数"x)=lnx+}直线y=τ+3与曲线y=∕(x)相切，则α=()

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】B

设切点为(x°,%),利用导数的几何意义与(XI),%)在“x)=lnx+q与y=-x+3上联立求解即可.

【详解】设切点为CWo),则尸(X)W-M又直线y=r+3与曲线y"(x)相切故%=f+3,

a

y=1Inx+一

IQ0⅞

消去光有一ΛO+3=In/-="=-∙⅞+3-InXO,代入第一个式子有

⅞⅞

]—(一/÷3—InX0)=—¾=>2x0+InX。-2=0.易得XO=I.代入τ=-1有Q=2.

⅞xo

故选：B

本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以

及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.

9.一个矩形铁皮的长为16cm,宽为IOCm,在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的

小盒子，若记小正方形的边长为X(Cm),小盒子的容积为V(Cm3),则()

A.当x=2时，V有极小值B.当x=2时，V有极大值

C.当X=与时，V有极小值D.当X=当时，V有极大值

33

【正确答案】B

求出小盒子的容积，通过求导判断函数的极值情况可得答案.

【详解】小盒子的容积为V=X16-2x)(10-2x)=4√-52x2+160x(0<x<5),

20

所以V'=12χ2-104χ+160,令S=O得x=2,或x=1舍去，

当0<x<2时,V,>0,Y(X)单调递增，当2<x<5时，V,<0,V(X)单调递减,

所以当x=2时V(X)有极大值为144.

故选：B.

10.已知曲线"x)=(x+a)e*在点(TJ(T))处的切线与直线2x+y-1=0垂直,则实数。的值为

()

A.-B.£+1C.-ɪD.上

e222

【正确答案】D

【分析】根据两直线垂直斜率的关系，可求出切线斜率，然后求导，根据导数的几何意义用含。的

式子表示出斜率，列方程求解即可.

【详解】由题意得，切线和2x+y-I=0垂直，切线斜率显然存在，设为3根据直线垂直的斜率关

系可得，-2%=-1,那么切线斜率左=由导数的几何意义：∕,(-l)=p而

∕,(x)=eιr+(x+α)ev=(x+α+l)ev,∕,(-l)=αe^'ɪɪ,解得α=∙∣.

故选：D

11.已知函数/(x)=W+a∣nX的图象在(1,/(1))处的切线经过坐标原点，则函数广於)的最小值

为()

A.---∖n2B.'+ln2C.'+'ln2D.1

22422

【正确答案】C

利用导数的几何意义求出4=τ,从而可得/(X)=£-Inx,求出导函数，利用导数判断出函数的单

调性，由单调性即可求出最值.

【详解】函数/(x)=χ2+3nx,则/(I)=/+,/1=]

且尸(X)=2x+(所以/⑴=2+α,

所以:⑴J。)一0=]=2+q,解得Q=-1，

所以/(x)=%2-In%,(χ>0)

,广(町=2犬-：,

令/'(x)≥0,即2x-g≥0,解得X≥等，

令r(x)<O,即2x-g<0,解得o<χ<容

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

所以=/立]=心]-ln^ɪɪl-ln-=i÷lln2.

J∖/minJ2222222

∖)∖)

故选：C

12.设函数函x)=r(x-a>(xwR),当4>3时，不等式函-"sine-lRf^-sii?。)对任意的

%e[-1,0]恒成立，则O的可能取值是()

A.-&B.%C.-ɪD.2

3326

【正确答案】D

利用导数求得函数/(x)的单调性，得至∣J-2≤-A-Sine-l≤l,T≤∕-sin20≤l,把不等式恒成立，

转化为得siɪ?6—sin"1≤〃+A+“一」对任意的左e[-1,0]恒成立，求得一14sin。41,结合

I2)42

选项，即可求解.

【详解】由题意,函数f(x)=τ(x-α)2,可得/'(X)=—(3x-α)∙(x-α),

令;(X)=0,解得X=W或尤=",当α>3时，可得二<0,

33

所以/S)在(-8,1,[a,+8)上单调递减，在(],4)上单调递增，

又当α>3时，→1,所以/(χ)在(-∞J上为减函数，

X^∈[-l,0],sin6^∈[-l,l],所以-2≤-Z-Sine-1≤1,-1≤/一sii?"l,

由不等式f(-k-sin夕一1)≥/(⅛2-Sin2②对任意的％G[―1,0]恒成立，

Wsin20-sin1≤⅛2+%=(%+g)-;对任意的kw[T,0]恒成立，

113\

所以SiYe-Sine-1≤-2恒成立，解得一一≤sin^≤-,即一一≤sin6≤l,

4222

结合选项知，可得。的可能取值是努.

O

故选：D.

易错警示：利用单调性解决相关应用问题时，要注意单调区间的判定，当自变量都在同一个单调区

间内才能利用相应的单调性，解题时防止漏证导致解题错误.

二、填空题

13.已知/'(Xo)=S,则Iim/(*°一3.)一/(*。)=

【正确答案】-3/72

利用导数的定义可得答案.

【详解】•：f∖x0)=m,

.∙.原式=-3Iimf(LAX)-八/)

2。-3∆x

=-3∕'(x0)=-3∕n.

故-3m

14.已知函数/(x)=gχ2-2αr-αlnX在(1,2)上单调递减，则实数4的取值范围是.

【正确答案】［,+∞)

【分析】根据题意求出/S)的导函数/(X),然后令/(X)在(1,2)上小于等于零恒成立，由二次函数

的性质求出函数值的范围，即可得到。的取值范围.

【详解】由"x)=:χ2-20x-alnΛ∙可得：f∖x)=x-2a--=x'~2ax~a,

2XX

函数=-2以一。InX在(1,2)上单调递减，

.1⑶=JEZ网二Ξ≤O在(1,2)上恒成立，

X

・'•g(x)=/-20x-o≤0在(1,2)上恒成立，

・•・根据二次函数图像的性质可知要使g(x)=∕-2办-α≤O在(1,2)上恒成立,

a≥-

g⑴=l-3α≤03

则:,解得:

g(2)=4-54≤00≥±

5

«的取值范围是p+∞

故答案为［,+S)

本题考查利用导数研究函数单调性的知识，考查学生转化划归思想的运用能力，属于中档题.

15.点P是曲线y=χ2+χ-inx上任意一点，则点尸到直线2x-y-2=O的最短距离为.

【正确答案】乎

当P为与直线2x-y-2=0平行且与曲线相切的切线的切点时，点尸到直线2x-y-2=0的距离最短,

根据导数几何意义求得点P坐标，最后根据点到直线距离公式得结果.

【详解】设2x-y+机=。与函数y=f+K-InX的图象相切于点尸(Xo,y0).

■所以解得

Qy'=2x+l-∙!2x°+l-'=2,ΛO>O,Λ0=1,%=2

ɪ⅞

∣2-2-2∣2√5

点P(l,2)到直线2x-y-2=0的距离为最小距离d

故答案为.平

X3-3x+2,x≥0

若方程/(刈-=。有两个不相等的实根，则实数。的取值范

16.已知函数/(x)=<2x4

-xe9x<0

围可以是.

【正确答案】l^-ʌθju(O,2]

分段求导得到函数单调区间，画出函数图像，f(x)-a=O,即.f(x)=α,根据图像得到答案.

【详解】当x≥0时，/(X)=Λ3-3x+2,∕,(X)=3X2-3=3(X-1)(X+1),

令r(H=o,解得占=1,W=T(舍去).

xe[0,l),∕,(x)<0,/(x)为减函数，

XW(L+8),>0,/(x)为增函数.

/(χ)χ"ι)=s

当x<0时，/(x)=-x2ev,f'(x)--2xex-x2ex=-xex(x+2),

令/'(x)=0,解得玉=O,A=-2

x∈(τo,-2),∕,(x)<0,/(x)为减函数,

x∈(-2,0),第x)>0,〃x)为增函数.

2

∕ωmin=∕(-)=-7'且当XfF时，/(6→0∙

函数〃X)的图像如图所示：

因为方程f(χ)-α=o有两个不相等的实根，

等价于函数y=∕(x)与y="有2个交点，

4

所以—-<。<0或OVa≤2.

e

故答案为.(-*,θ)u(θ,2]

【点晴】关键点睛：本题考查了函数的零点问题，利用导数求出单调区间得到函数图像是解题的关

键.

三、解答题

+3

17.已知P:-X2-x+6≤0,q：1----/.

⑴若力是q的充分不必要条件，求实数〃2的取值范围；

⑵当W=I时，若HP）V4为真，（［/，）人4为假，，求实数X的取值范围.

【正确答案】（1）|，+8）

⑵（1,2）5-3}

【分析】（1）解出两个命题中的不等式，即是g的充分不必要条件，则力是q的真子集，解不等

式组即可；

（2）由题意-p,q中一真一假，分类讨论求实数X的取值范围.

【详解】（1）因为命题〃：-X2-X+6≤0,所以χ≤-3或XN2,

所以r7为：{x∣-3<x<2},

命题4：ɪ——≤m9解得—2机—1≤x≤2/%—1,所以命题4为：{x∣—2m—1≤x≤2m-1},

若力是4的充分不必要条件，则力是4的真子集，

-3≥—2m—13

所以解得m≥1∙

2<2m-∖

实数〃?的取值范围为|，+8

（2）当小=1时，命题<7：-3≤x≤l,

若(r>)vg为真，(力)人4为假，则力，q中一真一假，

当力真4假时，即{才一3<犬<2}门{X«〈-3或工>1}=卜［1<彳<2}.

当了假4真时，即Wx≤-3或x≥2}c{x∣-3≤x≤l}={-3},

所以实数X的取值范围为(l,2)u{-3}.

18.己知函数/(X)=F∙

e

(1)求函数f(χ)的单调区间；

(2)求函数f(χ)在区间-；,+<»)上的值域.

^4^

【正确答案】(D单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(-∞,0),(2,+∞);(2)0—.

e^

(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

(2)根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可.

【详解】解：(1)由题意得，r(x)=电守，令rα)>o,得0<x<2,

e

令/G)V0,得工〉2或XV0,故函数AX)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(-∞,0),(2,+∞).

(2)易知f(O)=OJ(2)=邛，

∖6-e2y∣e

因为〃2)-/

4e2

16-2e28-e2(2√2+^)(2√2-e)

>------=-----=----------------

4e22e22e2

所以/⑵>

(或由7(2)=4∙>[,dT)=坐<黑>半可得〃2)>/卜介，

e~9\2)4494k2√

又当%>O时，/(x)=—>O,

ex

「1、「4

所以函数/(x)在区间-不+8上的值域为O-

L2)L/

确定函数单调区间的步骤：

第一步，确定函数/(X)的定义域;

第二步，求

第三步，解不等式f(x)>O,解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式解集在

定义域内的部分为单调递减区间.

19.已知函数/(x)=(α-b)χ2-x—xlnx.

(1)若曲线y="x)在点(Ij⑴)处的切线与X轴平行，且/(1)=。，求。力的值；

(2)若α=l,"x)≥0对XG(O,÷w)恒成立，求b的取值范围.

【正确答案】(1)：=[；(2)⅛∈(→x>,0]

[⅛=-l

【分析】(1)对/(X)求导，/'(1)=0，/(l)="解方程组求出4,b即可.(2)将α=l代入，利用

参变分离可以将问题转化为6≤1-'-叵在(O,y)恒成立，求出g(χ)=ι-L-也的最小值，令

XXXX

b4g(")min即可•

【详解】(1)/(x)=(^-⅛)x2-x-x∖nx,/'(x)=2(α-Z?)九一InX-2,

f[∖)=a-h-∖=a∫6f=0

由fjf(l)=2(α")-2=0,"N=-1'

(2)因为α=l,/(x)=(1-b)x2-x-xlnx,

/(x)≥0等价于小」-吗

XX

令g(χ)=--Mg<χ)=M

当Xe(0,1)时，g'(x)<O,所以g(x)在(0,1)上单调递减,

当xw(l,~)时，g'(x)>O,所以g(x)在(1,一)上单调递增，

所以g(x)mil,=g(l)=O,

所以b∈(τo,0].

本题考查了导数的几何意义，函数单调性，函数的最值问题，属于中档题.

20.工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：元)与日产量X(单位：吨)满足函数关系式

C=IOoOO+20x,每日的销售额R(单位：元)与日产量X满足函数关系式：

I32

-----X+cιx~+290,X<X<120_

R=30,已知每日的利润y=R-C,且当χ=30时y=-100.

20400,x>120

⑴求〃的值；

(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.

【正确答案】（l）a=3

⑵当日产量为90吨时每日的利润可以达到最大值14300元

【分析】（1）由题意列出利润y与日产量X满足函数关系式，由当χ=30时y=-100,求出〃的值；

（2）由利润y与日产量X满足函数关系式，利用导数研究函数单调性，求出最大值及取最大值的条

件.

——X3+ar2+270x-10000,0<x<120

【详解】（1）由题意可得，y=30

l0400-20x,x≥120

因为x=30时y=-100,J¾⅛-100=-^×30,+tι×302+270×30-10000.

解得α=3.

（2）当0<x<120时，y=--X3+3X2+270X-10000,

2

∕=-^X+6X+270,由y=-∙^χ2+6χ+270=0可得：χ∣=90,Λ2=-30（舍）

所以当X∈（O,9O）时，y>0,原函数是增函数，当xe（90,120）时，/<0,原函数是减函数，所以

当x=90时，V取得最大值14300.

当x≥120时，y=10400-20x≤8000.

所以当日产量为90吨时每日的利润可以达到最大值14300元.

21.已知函数/（x）=InX+g0χ2+（α+］）χ.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）设函数，（为图象上不重合的两点人（西方）,8（々,%）（%>々）.证明.砥3>/'（五产）（心8是直线

AB的斜率）

【正确答案】（1）①当“20时，函数/O）在（0,m）上单调递增；②当α<0时，函数/O）在（0,-L）上

a

单调递增，在（-L+∞）上单调递减.（2）证明见解析

a

（1）先由题意，得到函数定义域，对函数求导，分别讨论“≥0和”<0两种情况，解对应的不等式,

即可得出其单调性；

（2）根据斜率公式，由题意，得到％AB=y二&=屿二电卫+幽守+m+i）,再由

x1-x2X1-X22

/∖ɔ/_\2（--1）

/（与歪）=^^+巴土善+（4+1）,将证明的问题转化为证明ln±>上二=T-,令

2xi+x22x2x1+x2五+1

五=f(f>l),即证fG(l,+8)时，inf>组?成立，设g«)=Inf-型二D,(Cl),对其求导，用导数

-r2t+∖t+∖

的方法求其范围，即可得出结果.

【详解】(1)函数/O)的定义域为(0,”)，

且/,(X)=L-I)=.+S+Dx+1=3+D(x+D

XXX

①当α≥0时，/'(X)=J+αv+(α+l)>0,此时/(x)在(O,+θθ)单调递增;

X

②当α<0时，令/(%)=。可得X=—或X=-I(舍)，-~>ɑ,

aa

由/'(幻〉0得O<x<-L,由广(幻<0得天>」，

aa

所以/(X)在(0,-L上单调递增，在(-±+8)上单调递减.

aa

综上：①当。≥0时，函数/(%)在(0,+8)上单调递增；

②当“<0时，函数AX)在(0,-1)上单调递增，在(-L+8)上单调递减.

a

(2)由题意得X=InXl+gar；+(4+l)χ,%=InX2+g渥+(df+l)x2,

1212

所以),_)、Inxl÷-ar；÷(Λ+1)X1-(Inx2+-OV2+(tz+l)x2)

*=二一一

ɪi-ɪz

Inxl-InX+Q(Xl+x)

22+3+1)

2

又八/)=上+返产1+3+1),

2x1+x22

要证砥B>/(后强)成立,

InX.-InX,2

即证：——->京成山

-X2

即证：ln%>生二⑷=⅛-0

成立.

X2xi+X2Jl

X2

令:心D,即证止"+8)时，心甘成立.

设g(f)=lnι-2(/,,«>])

r+1

14"N

则g'(f)=---π=-ʌ-ɪ>0,a>D

t(r+l)^r(r+l)^

所以函数g(f)在(1,K)上是增函数，

所以V∕e(l,∙κo),都有g(∕)>g⑴=0,

g∣JV/∈(l,-κo),Inf>也a,

r+1

所以％.>r(詈)

本题主要考查用导数的方法判定函数单调性，以及用导数的方法证明不等式恒成立，通常需要对函

数求导，用导数的方法求函数单调区间，以及最值等，属于常考题型.

_ɪ

l^x=4coYex=t+~,

22.已知曲线C/,C2的参数方程分别为C/：一“.2八(。为参数)，C2:为参数).

∣y=4sm~0,1

3y=t--

t

(1)将C/,C2的参数方程化为普通方程；

(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C/,C2的交点为P,求圆心在极轴上,

且经过极点和P的圆的极坐标方程.

、17

22

【正确答案】(1)CI/+y=4(0≤x≤4)；C2∙.x-y=4；(2)/?=—cos0.

【分析】(1)分别消去参数。和f即可得到所求普通方程；

(2)两方程联立求得点P,求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到

所求极坐标方程.

【详解】(1)［方法一］：消元法

由CoS2O+siMJ=I得α的普通方程为χ+y=4(0≤χ≤4).

2

由参数方程可得x+y=2f,x-y=±,

t

两式相乘得普通方程为/-V=4.

［方法二］【最优解】：代入消元法

由cos*+sin2(9=l得G的普通方程为x+y=4(0≤x≤4),

由参数方程可得f=岩，

代入X=r+1中并化简得普通方程为X2-/=4.

(2)［方法一］：几何意义+极坐标

X=/_|_1

将<；代入χ+y=4中解得/=2,故P点的直角坐标为I

y=t—

t

设P点的极坐标为P(R©),

p2=x2+y2I-I—

由tanθ=2得R=*，tan%=丁cos4=登.

.X

故所求圆的直径为2r=3=1,

cosθ5

17

所求圆的极坐标方程为。=2rcos0,即P=∖∙cos。.

［方法二］：

5

x,

Vz得~2

由所以P点的直角坐标为尸

χ-y^=43

1万，

设圆C的极坐标方程为p=2acosd,所以cos。=5两=而

从而=2a--j->解得2。=二.

2√345

故所求圆的极坐标方程为夕=MCOS氏

［方法三］：利用几何意义

5

X=

χ+y=4,,曰；所以尸点的直角坐标为p(H)，

由ɔ2得1

χ--y=4Zl

y二

2,

化为极坐标为PJa,其中CoSa=忌.

I2)√34

如图，设所求圆与极轴交于E点，则NOP£=90。，

所以OE=WOP=17所以所求圆的极坐标方程为p==17cosO.

cosa55

［方法四］【最优解】:

由题意设所求圆的圆心直角坐标为30),则圆的极坐标方程为P=2acos0.

5

χ÷γ-4=0,戈一2，

联立02