河南省八市重点高中2024届数学高二下期末学业水平测试模拟试题含解析

河南省八市重点高中2024届数学高二下期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图所示是的图象的一段，它的一个解析式是（）A． B．C． D．2．已知随机变量服从正态分布，若，则（）A．0.4 B．0.8 C．0.6 D．0.33．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c4．在等差数列中，，则为（）A．2 B．3 C．4 D．55．下列函数中，既是奇函数又在内单调递增的函数是（）A． B． C． D．6．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球的直径，且，则点到底面的距离为A． B． C． D．7．已知变量，满足回归方程，其散点图如图所示，则（）A．， B．，C．， D．，8．在上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．9．如图是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()A． B． C． D．10．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为()A．a≥3B．a>3C．a≤3D．a<311．若的展开式中含有项的系数为8，则（）A．2 B． C． D．12．在中，，，，则等于()A．或 B． C．或 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，正方体的棱长为1，,为线段,上的动点，过点,,的平面截该正方体的截面记为,则下列命题正确的是________.①当且时,为等腰梯形;②当,分别为,的中点时，几何体的体积为;③当为中点且时，与的交点为,满足;④当且时,的面积.14．函数是定义在上的奇函数，对任意的，满足，且当时，，则__________．15．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是．16．由曲线，坐标轴及直线围成的图形的面积等于______。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别

是否需要志愿者

男

女

需要

40

30

不需要

160

270

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）请根据上面的数据分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关吗18．（12分）用适当方法证明：已知：，，求证：．19．（12分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝t，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz．（1）若t＝1，求异面直线AC1与A1B所成角的大小；（2）若t＝5，求直线AC1与平面A1BD所成角的正弦值；（3）若二面角A1—BD—C的大小为120°，求实数t的值.20．（12分）已知函数，其中均为实数，为自然对数的底数．（I）求函数的极值；（II）设，若对任意的，恒成立，求实数的最小值．21．（12分）已知.为锐角，，.（1）求的值；（2）求的值.22．（10分）已知函数.（1）证明：函数在内存在唯一零点；（2）已知，若函数有两个相异零点，且（为与无关的常数），证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据图象的最高点和最低点求出A，根据周期T求ω，图象过（），代入求，即可求函数f（x）的解析式；【题目详解】由图象的最高点，最低点，可得A，周期Tπ，∴．图象过（），∴，可得：，则解析式为ysin（2）故选D．【题目点拨】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．2、C【解题分析】分析：根据随机变量ξ服从正态分布，得到正态曲线关于对称，根据，得到对称区间上的概率，从而可求．详解：由随机变量服从正态分布可知正态密度曲线关于轴对称，

而，

则故，

故选：C．点睛：本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．3、A【解题分析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【题目详解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．故选：A．【题目点拨】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4、A【解题分析】

由等差数列性质，得，问题得解.【题目详解】是等差数列，，，解得.故选：A【题目点拨】本题考查了等差数列的性质，属于基础题.5、D【解题分析】

由基本初等函数的单调性和奇偶性，对A、B、C、D各项分别加以验证，不难得到正确答案．【题目详解】解：对于A，因为幂函数y＝x3是R上的增函数，所以y＝﹣x3是（0，+∞）上的减函数，故A不正确；对于B，为偶函数，且在上没有单调性，所以B不正确；对于C，在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数，故C不正确；对于D，若f（x）＝x|x|，则f（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣f（x），说明函数是奇函数，而当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x2，显然是（0，+∞）上的增函数，故D正确；故选：D．【题目点拨】本题考查了函数奇偶性和单调性的判断与证明，属于基础题．6、C【解题分析】∵三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA为球O的直径且PA=4，∴球心O是PA的中点，球半径R=OC=PA＝2，过O作OD⊥平面ABC，垂足是D，∵△ABC满足AB＝2,∠ACB＝90°，∴D是AB中点，且AD=BD=CD=∴OD=∴点P到底面ABC的距离为d=2OD=2,故选C.点睛：本题考查点到平面的距离的求法，关键是分析出球心O到平面ABC的距离，找到的外接圆的圆心D即可有OD⊥平面ABC，求出OD即可求出点到底面的距离.7、D【解题分析】

由散点图知变量负相关，回归直线方程的斜率小于1；回归直线在y轴上的截距大于1．可得答案.【题目详解】由散点图可知，变量之间具有负相关关系．

回归直线的方程的斜率．

回归直线在轴上的截距是正数．

故选：D【题目点拨】本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是基础题．8、D【解题分析】

利用函数在连续可导且单调递增，可得导函数在大于等于0恒成立即可得到的取值范围．【题目详解】因为函数在连续可导且单调递增，所以在恒成立，分离参数得恒成立，即，故选D．【题目点拨】本题考查函数在区间内单调递增等价于在该区间内恒成立．9、A【解题分析】

观察已知中的三个图形，得到每一次变化相当于“顺时针”旋转2个角，由此即可得到答案．【题目详解】由题意，观察已知的三个图象，每一次变化相当于“顺时针”旋转2个角，根据此规律观察四个答案，即可得到A项符合要求，故选A．【题目点拨】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中熟记归纳的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某项相同的性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），合理使用归纳推理是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10、A【解题分析】∵f(x)=x3−ax−1，∴f′(x)=3x2−a，要使f(x)在(−1,1)上单调递减，则f′(x)⩽0在x∈(−1,1)上恒成立，则3x2−a⩽0，即a⩾3x2，在x∈(−1,1)上恒成立，在x∈(−1,1)上，3x2<3，即a⩾3，本题选择A选项.11、A【解题分析】展开式中含有项的系数,,故选A.12、D【解题分析】

已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，先由正弦定理求，再求.【题目详解】由正弦定理，可得.由，可得，所以.故选D.【题目点拨】本题考查正弦定理的应用.已知两边及其中一边的对角，由正弦定理求另一边的对角，要注意判断解的个数.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②【解题分析】

将①③④三个命题逐一画出图像进行分析,即可判断出真命题,从而得到正确的序号；②利用空间向量求点面距，进而得体积.【题目详解】①:作图如下所示,过作,交于,截面为即即截面为等腰梯形.故①正确.②:以为原点,、、分别为、、轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,设平面的法向量为,则不妨设,则法向量.则点到平面的距离.故②正确.③:延长交的延长线于一点,连接交于点.故③错误④:延长交的延长线于,连接交于,则截面为四边形根据面积比等于相似比的平方得.在中,,边上的高为故④错误故答案为:①②.【题目点拨】本题考查了正方体截面有关命题真假性的判断,考查椎体体积计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力.对于求体积求高时,往往建立空间直角坐标系,采用法向量的思想进行求解思路比较明确.14、【解题分析】∵f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x∈R,满足f(x+1)+f(x)=0，∴f(x+1)=−f(x)，则f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，则函数f(x)是周期为2的周期函数，据此可得：15、【解题分析】试题分析：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表共有种基本事件，甲被选中包含种，基本事件，因此甲被选中的概率是考点：古典概型概率16、1【解题分析】

根据定积分求面积【题目详解】.【题目点拨】本题考查利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.【解题分析】试题分析：（1）由列联表可知调查的500位老年人中有位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值；（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.试题解析：解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为（2）根据表中数据计算得：。由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。考点：独立性检验.18、见解析【解题分析】分析：直接利用作差法比较和的大小得解.详解：.所以.点睛：（1）本题主要考查不等式的证明，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)不等式的证明常用的有比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等，本题运用的是比较法，也可以利用综合法.19、(1).(2).(3).【解题分析】分析：（1）先根据坐标表示向量，，再利用向量数量积求向量夹角，即得异面直线与所成角，（2）先利用方程组解得平面的一个法向量，利用向量数量积得向量夹角余弦值，再根据线面角与向量夹角互余关系得结果，（3）先利用方程组解得平面以及平面的一个法向量，利用向量数量积得法向量夹角余弦值，再根据二面角与向量夹角相等或互补关系得结果.详解：（1）当时，，，，，，则，，故，所以异面直线与所成角为．（2）当时，，，，，，则，，设平面的法向量，则由得，不妨取，则，此时，设与平面所成角为，因为，则，所以与平面所成角的正弦值为．（3）由得，，，设平面的法向量，则由得，不妨取，则，此时，又平面的法向量，故，解得，由图形得二面角大于，所以符合题意．所以二面角的大小为，的值为．点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20、（1）当时，取得极大值，无极小值；（2）.【解题分析】试题分析：（1）由题对得，研究其单调性，可得当时，取得极大值，无极小值；（2）由题当时，，由单调性可得在区间上为增函数，根据，构造函数，由单调性可得在区间上为增函数，不妨设，则等价于，即，故又构造函数，可知在区间上为减函数，∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立，∴，设则，∵，∴，则在区间上为减函数，∴在区间上的最大值，∴，试题解析：（1）由题得，，令，得．，列表如下：1大于00小于0极大值∴当时，取得极大值，无极小值；（2）当时，，∵在区间上恒成立，∴在区间上为增函数，设，∵在区间上恒成立，∴在区间上为增函数，不妨设，则等价于，即，设，则在区间上为减函数，∴在区间上恒成立，∴在区间上恒成立，∴，设，∵，∴，则在区间上为减函数，∴在区间上的最大值，∴，∴实数的最小值为．