3.1.1 椭圆的标准方程 课件（共30张PPT）

3.1.1椭圆的标准方程情境设置

用一个平面去截圆锥，当平面经过圆锥的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆．当改变平面与圆锥轴的夹角时，观察截线的变化情况，并思考：

●用平面截圆锥还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？情境设置椭圆双曲线抛物线椭圆的定义：

平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹——椭圆．两个定点F1，F2——椭圆的焦点．两焦点间的距离——椭圆的焦距．情境设置

汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆．椭圆？情境设置椭圆？

将一个圆进行均匀压缩变形后，所得的图形也像椭圆．情境设置

问题1：它们是不是数学概念上的椭圆？怎样来检验所得的曲线是不是椭圆？情境设置

中国第一颗人造地球卫星“东方红一号”．情境设置问题2：如何建立椭圆的方程？情境设置yxOr设圆上任意一点P（x，y），

以圆心O为原点，建立直角坐标系．1.建系2.设坐标3.列等式4.代坐标坐标法

5.化简方程情境设置两边平方，得因为OP＝r，x2＋y2＝r2．所以，P(x，y)椭圆方程的建立：步骤一：建立直角坐标系；步骤二：设动点坐标；步骤三：列等式；步骤四：代入坐标；步骤五：化简方程．数学建构

设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点P到F1，F2

的距离之和为2a（2a＞2c）．PF1F2数学建构

以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)．步骤一：建立直角坐标系．xyOPF1F2数学建构设椭圆上任意一点P的坐标为（x，y），步骤三：列等式．根据椭圆定义知：PF1＋PF2＝2a，步骤四：代入坐标．步骤二：设动点坐标．即

．

数学建构步骤五：化简方程两边再平方，得

a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．移项，得

．两边平方，得

整理得数学建构步骤五：化简方程因为a2(a2－c2)≠0，所以两边同除以a2(a2－c2)，得又因为a2－c2＞0，所以可设a2－c2＝b2（b＞0），得

（a＞b＞0）．数学建构xyO数学建构F1（0，－c），F2（0，c）；PF1＋PF2＝2a；(x，y)如何根据标准方程，判断焦点在哪个坐标轴上？（a＞b＞0）（a＞b＞0）数学建构P(x，y)P(x，y)

椭圆的焦点位置可由方程中x2与y2的分母的大小来确定，焦点在分母大的项所对应的坐标轴上．数学建构

数学运用

2．已知椭圆的方程为

，则a＝_____，b＝_____，c＝_____，焦点坐标为____________，焦距等于_____．数学运用

例1将下列椭圆方程转化成标准方程：（1）4x2＋3y2＝1；

（2）5x2＋6y2＝1．数学运用xOy

例2已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为3m，求这个椭圆的标准方程．F1F2P

数学运用

例3

已知椭圆的焦点为F1（0，－6），F2（0，6），且椭圆过点P（2，5），求椭圆的标准方程．数学运用

变式：若动点P到两定点F1（－4，0），F2（4，0）的距离之和为8，则动点P的轨迹．若动点P到两定点F1（－4，0），F2（4，0）的距离之和为6，则动点P的轨迹为．数学运用3．求适合下列条件的椭圆方程．（1）a＝4，b＝1，焦点在x轴上；（2）a＝4，c＝1，焦点在y轴上；

（3）b＝1，c＝，焦点在坐标轴上．数学运用

4．若一椭圆两焦点的坐标分别是椭圆9x2＋4y2＝36的两焦点，并且经过点A（2，－3），求该椭圆的标准方程．数学运用1．方程建立的过程：建立直角坐标系设坐标列等式代坐标化简方程数学运用（a＞b＞0）（a＞b＞0）定义图形方程焦点F（±c，0）F（0，±c）

a，b，c的关系