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线性代数昆明理工大学数学系2009.122第五章

相似矩阵及二次型方阵的相似对角化二次型主要内容：方阵的特征值和特征向量3第一节

向量的内积、长度和正交性向量的内积和长度向量组的正交化一.向量的内积和长度在三维向量空间中，两个向量的数量积（又称点乘积）为其中为的夹角，积有以下不等式：是的长度。数量利用数量积可以表示向量的长度和夹角:以上这些在三维空间中已经成立的性质，可以推广到n维向量空间中去。关键是将三维空间中的数量积推广成n维空间中的内积定义1.设有两个n维向量定义的内积为：例如，设，则内积k为数）：容易验证内积有以下性质（其中为n维向量，(i)(ii)(iii)(iv)当时，当时，由(i)(ii)(iii)，可得或与其等价的定义2.范数）为设，定义的长度（或称当长度时，称为单位向量。利用长度概念，许瓦兹不等式可以写成可以证明许瓦兹（Schwarz）不等式（这里不证）：向量的长度具有下列性质（为向量，为数）：（1）非负性：，当且仅当时，（2）齐次性：（3）三角不等式：证明：当时，由许瓦兹不等式，有因此，由下面的等式可以定义两向量的夹角，特别地，有二.向量组的正交化定义3.若，则称向量正交。因为，所以零向量与任何向量都正交。例1.在中，设则有故正交。又有故的长度对任意，有故为单位向量。定义4.交向量组。若向量组两两正交，则称其为正若向量组两两正交且都是单位向量，则称其为规范正交组。显然有为规范正交组例2.在中，以下n个单位向量是规范正交组：范正交基。因为这个向量组又是中的基，因此又称为中的规在中，通常记它们是三坐标轴上的单位向量，它们构成中的一个规范正交基。以下的向量组容易验证是规范正交组，也是的规范正交基。定理1.则它们必定线性无关。若是由非零向量组成的正交组，证明：成立。由此可知，规范正交组必是线性无关组，但反之不有时需要由一个线性无关向量组构造出一个与之等价的规范正交组这个问题称为将向量组规范正交化。斯密特（Schimidt）规范正交化的方法如下：取容易验证两两正交，且与等价。再把它们单位化，即取则为规范正交组，且与等价。例3.在中，设试用斯密特方法，将其规范正交化解：定义5.若n阶实矩阵A满足（或或）则A称为正交矩阵，简称正交阵。设A的行向量组为，则A为正交阵A的行向量组为规范正交组。由，同理可证：A的列向量组为规范正交组。A为正交阵例4.设容易验证它们都是正交矩阵。正交矩阵有下列性质：（1）若A为正交矩阵，则（2）若A，B为正交阵，则AB及也是正交阵。证明：定义6.则称y=Px为正交变换。设P为n阶正交矩阵，x，y为n维列向量，（3）若y=Px为正交变换，则证明：这个性质说明正交变换保持向量的长度不变。本节完证明：（1）（2）容易验证。下面证明（3）：证明：设数使得则有根据内积性质，有因为时，，上式成为因为，所以，故有因此线性无关。解：取计算得将

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