2021年内蒙古呼和浩特市高考数学第一次质量普查调研试卷(理科)(一模)

2021年内蒙古呼和浩特市高考数学第一次质量普查调研试卷

（理科）（一模）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是满足题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）

1.（5分）已知集合/={1,2,3,4},8={X|1<X<3}R8=（）

A.{1,3,4}B.{1,4}C.{3,4}D.{4}

2.（5分）下面是关于复数2=旦的四个命题：

1+i

片：z的实部为-1；z的虚部为1;匕：z的共朝复数为1+i;P4：|z|=V2.

其中真命题为（）

A.PxVP3B.「尸2V尸3C.P3Ap4D.P2Ap4

3.（5分）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它

由两等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直观图如图（其中四边形是为体现直观性而作的

辅助线），其俯视图为（）

4.（5分）已知角a的终边在直线上，则8式f-+2a）的值为（）

A.j/1.B._J-C.+返D.+A

22-2-2

5.（5分）2020年全球经济都受到了新冠疫情影响，但我国在中国共产党的正确领导下防控

及时，措施得当（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表

第1页（共26页）

2。2。年8月.2代表2020年9月……丫=。.。42>飞.若用此方程分析并预测该产品市场

占有率的变化趋势（精确到月）（）

A.2021年5月B.2021年6月C.2021年7月D.2021年8月

6.(5分)4的展开式中的系数为()

A.-2B.2C.-10D.10

7.（5分）希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线.某

同学用平行于母线PA且过母线PB的中点M的平面去截圆锥，所得截线为如图所示的

抛物线.若该圆锥的高则该抛物线焦点到准线的距离为（）

A.V3B.3C.返D.3

22

8.（5分）关于函数f（x）=（x-l）3----下面4个判断错误的有（）

（x-1）3

①函数/（x）的图像是中心对称图形；②函数/（x）；

③函数/（X）在xe（1,+8）单调递增（X）在xe（-1,0）单调递减.

A.①③B.②③C.②④D.③④

9.（5分）将函数/（x）=sin⑵+（p）（0<<p<n）的图象向右平移瑞，得到的函数的图

象关于点力，0)对称(x)=COS(x+(p)在,看］上的最小值是（）

D.返

A.J.B.c.A

2222

1+口

10.（5分）若数列｛“”｝满足勺=2,a2（nEN*），则该数列的前2021项的乘积

n+1

l-an

第2页（共26页）

是（）

A.-2B.-1C.2D.1

22

11.（5分）在平面直角坐标系xQy中，直线卜=丘（发/0）与双曲线/_今1弓>0,b>0），

b2

8两点,E是该双曲线的焦点，若尸的面积为4加，则双曲线的离心率为（）

A.V3B.V5c.2V2D.3

12.（5分）四面体/8CD的四个顶点都在球。上，S.AB=AC=BC=BD=CD=4,AD=2

瓜（）

A.7。".B.8。兀•C.30nD.40n

33

二、填空题（本大题共四小题，每小题五分，共20分。把正确答案填在答题卡的相应位置.）

13.（5分）已知向量；，工满足，|7|=1，匕|=6,al（a-b））则之与E夹角的大小

是.

14.（5分）中国象棋中棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线（图中楚河汉界处的

“日”字没有画出），如图，“马”从点”处走出一步，C,。中的一处.则''马”从点/

出发到达对方“帅”所在的P处，最少需要的步数是.

15.（5分）若。克不饱和糖水中含有方克糖，则糖的质量分数为工，这个质量分数决定了

a

糖水的甜度.如果在此糖水中添加m克糖，从而可抽象出不等式

也〉包（a>b>0,in>0）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出log32

a+ma

log1510（用或填空）；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式.

16.（5分）四边形内接于圆。中，AB=CD=\Q,AD=6,下面四个结论：

①四边形/8CA为梯形;

②圆的直径为14；

第3页（共26页）

③LABD的三边长度可以构成一个等差数列;

④四边形ABCD的面积为55日.

其中正确结论的序号有.

三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

17.(12分)已知数列｛〃”｝的前〃项和为Sn(nEN*〉

(1)若｛“"｝为等差数列，S“=165,。3+效=28,求｛%｝的通项公式;

⑵若数歹U｛S”｝满足&+…+^~Sn=3n+5，求

jr

18.(12分)如图，三棱柱48C-/18c中，侧面881GC,己知/BCC]'匕，BC=

3

"C=2,点E是棱CQ的中点.

(1)求证：8C_L平面N8g；

(1)当机=2时，求函数/(x)在点(0,/(0)；

(2)当xe(0,+8)时，函数/(X)有两个零点

20.(12分)根据国家深化医药卫生体制改革的总体部署和要求，某地区自2015年起，开

始逐步推行“基层首诊，从而全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为2000万，

从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了了解各年龄段居民

签约家庭医生的情况，各年龄段被访者签约率如图2所示

第4页(共26页)

1）根据图一和图二的信息估计该地区签约率超过35%,低于60%的人群的总人数.

2）若以图2中年龄在71〜80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生

的概率，现从该地区年龄在71〜80岁居民中随机抽取3人，记抽到的签约人数为X

3）据统计，该地区被访者的签约率约为43%.为把该地区年满18周岁居民的签约率提

高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解

释.

21.（12分）已知椭圆C：%的一个焦点为（-娟，。），且过点（I,乂苴）.

a2b22

（1）求椭圆C的方程；

（2）设为（-a,0）,A2（A,0）,B（0,b）,点/是椭圆C上一点，且不与顶点重合

声与直线交于点P，直线为例与直线交于点。，求证：△8PQ为等腰三角形.

请考生在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.［选修4建标系与

参数方程

22.（10分）在花语中，四叶草象征幸运.已知在极坐标系下，方程p=2sin2。对应的曲线

如图所示

（1）当“四叶草”中的8E［0,5］时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点

的极坐标；

（2）已知”为“四叶草”上的点，求点/到直线3psin（8巨离的最小值

以及此时点4的极坐标.

第5页（共26页）

［选修4环等式选讲

23.已知函数/(x)=|x-A|+|x+ft+c|(a,b,c均为正实数).

(1)当a=6=c=l时，，求/(x)得最小值；

(2)当/'(x)的最小值为3时，求〃2+b2+c2的最小值.

第6页(共26页)

2021年内蒙古呼和浩特市高考数学第一次质量普查调研试卷

（理科）（一模）

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是满足题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）

1.（5分）已知集合/={1,2,3,4},8={X[1<X<3}R8=（）

A.{1,3,4}B.{1,4}C.{3,4}D.{4}

【分析】求出8的补集，利用交集的定义进行计算即可.

【解答】解：CR8={小》3或xWl},

则ZACR8={5,4,1},

故选：A.

【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用补集及交集的定义是解决本题的关键，是

基础题.

2.（5分）下面是关于复数2=旦的四个命题：

1+1

P\-Z的实部为-1；22：Z的虚部为1;4：Z的共辗复数为1+j;P4：\Z\=\[2-

其中真命题为（）

A.尸2尸3B.「p2Vp3C.p3Ap4D.P2Ap4

【分析】根据复数的运算法则进行化简，分别判断四个命题的真假，根据复合命题真假

关系进行判断即可.

【解答】解：Z=互=4%'=世2=1+二

1+i（l+i）（4-i）5

则P]:Z的实部为-8为假命题，尸2：Z的虚部为1为真命题，尸7：Z的共葩复数为1-/•，

则23为假命题，尸7：为真命题，

则尸[VP2为假命题，2Vp3为假命题，匕八04为假命题，22人06为真命题，

故选：D.

【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据复数的运算法则进行化简，判断四个命题

的真假，利用复合命题真假关系进行判断是解决本题的关键，是基础题.

3.（5分）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它

由两等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直观图如图（其中四边形是为体现直观性而作的

第7页（共26页）

辅助线），其俯视图为（)

【分析】直接利用直观图“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同，从而得出俯视图形.

【解答】解：根据几何体的直观图：由于直观图“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同

时，

该几何体的俯视图为有对角线的正方形.

故选:B.

【点评】本题考查的知识要点：直观图和三视图之间的转换，主要考查学生的空间想象

能力和转化能力，属于基础题型.

4.（5分）已知角a的终边在直线上，则）的值为（）

【分析】由题意任意角的三角函数的定义，求得tana的值，再利用同角三角函数的基本

关系，二倍角的正弦公式，求得要求式子的值.

【解答】解：•••角a的终边在直线yiRx上，在a的终边上任意取一点尸（1,&）乎

则S吟――震：；鬻=一喙,

sina+：cosatanB+5

故选：A.

第8页（共26页）

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的

正弦公式的应用，属于基础题.

5.（5分）2020年全球经济都受到了新冠疫情影响，但我国在中国共产党的正确领导下防控

及时，措施得当（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表

2020年8月.2代表2020年9月……丫=0.042底术若用此方程分析并预测该产品市场

J4

占有率的变化趋势（精确到月）（）

A.2021年5月B.2021年6月C.2021年7月D.2021年8月

【分析】根据表中数据计算工、y,代入回归方程求得短写出线性回归方程，利用回归

方差求出结论.

【解答】解：根据表中数据，计算7=工，

5

丫=旦乂（0.02+2.05+0.1+8.15+0.18）=0.4,

5

代入回归方程得0.1=4.042X3+a，解得a，

所以线性回归方程为y=0.042x-6.026,

由0.042%-0.026>8.5,解得x213,

预计上市13个月时，即最早在2021年8月.

故选：D.

【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题.

6.（5分）（1一五尸（1必）4的展开式中落的系数为（）

A.-2B.2C.-10D.10

【分析】利用公式先进行化简，然后利用二项式定理进行求解即可.

【解答】解：（1-44）P（1-五）2=（2-X）4（1-F）

2=(l-x)4(3+x-

第9页（共26页）

则x2的项为5Xcj（-x）2+xc；（-x）=2%2,

即x2的系数为7,

故选：B.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用公式先进行化简是解决本题的关键，是

中档题.

7.（5分）希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线.某

同学用平行于母线PA且过母线PB的中点M的平面去截圆锥，所得截线为如图所示的

抛物线.若该圆锥的高PO=10A=Vi则该抛物线焦点到准线的距离为（）

A.>/3B.3C.返D.显

22

【分析】由题意可得△/B尸中，为中位线，有AP〃OM,10M=1，以OW为x轴,

〃为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程为"=2*，抛物线与底面交点和=1°朋1

=1.yE—\OA\—y[^,即可得出答案.

【解答】解：由题意可得，/为8P的中点，

则△/BP中，0M为中位线，

截圆锥的平面平行于母线以，且M点位于该平面上，

因此，知点。也位于该平面上，

且|OM=”P尸和菽再而产件•必砺声

同时，由对称性，焦点在0M上，

抛物线与底面交点E,XE=\0M\=\,yE=\OA\=-\[3,

以为x轴，M为原点，设抛物线方程为旷=2/，

则抛物线过点E（1,听），

所以（、&）2=^-1,解得p=3,

3

所以焦点到准线的距离为

故选：D.

第10页（共26页）

【点评】本题考查抛物线的方程，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

8.(5分)关于函数fG)=(x-l)3——^―,下面4个判断错误的有()

(x-1)3

①函数/(x)的图像是中心对称图形；②函数/(x)；

③函数在尤(1,+8)单调递增G)在烧(-1,0)单调递减.

A.①③B.②③C.②④D.③④

【分析】先判断函数夕=如-」号的对称性和单调性，然后利用函数平移平行进行判断即

X

可.

【解答】解：①函数y=x3--\是奇函数，

X

将了的图象向右平移1个单位得到/(x),0)对称；故①正确，

X乙

②由①知函数为中心对称，不是轴对称；故②错误，

③函数是奇函数，在(6,为增函数，0)上为增函数，

xJ

则函数/(X)在xe(1,+8)单调递增，故③正确，

④函数/(x)在正(-7,0)单调递增，

故选：C.

【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据函数图象变换关系，先判断函数y=x3-

吟■的奇偶性，对称性和单调性是解决本题的关键，是中档题.

X0

9.(5分)将函数/(x)=sin⑵+(p)(0<<p<n)的图象向右平移卫L,得到的函数的图

象关于点(令,0）对称（x）=cos（x+q））在一-看］上的最小值是(

B.C.上D.返

A.

4222

【分析】由题意利用函数y=/sin(3x+<p)的图象变换规律，余弦函数的单调性，得出结

论.

【解答】解：将函数/(x)=sin⑵+(p)(0<<pVn)的图象向右平移哈个单位长度后,

得到的函数y=sin(2x-22L+(p)的图象关于点g,0),

：.ix2L-22L+(p=kTi,

23

令k=o,可得隼=E2L).

63

第11页(共26页)

.兀兀1，兀兀7Tl+册,、vlai/吉日兀1

Tx6[f,—],-r+-——,—],故g(x)的1l取小值ZE3干=胃,

Zo□□□oz

故选：C.

【点评】本题主要考查函数y=Nsin（3x+<p）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于

基础题.

14

10.（5分）若数列｛%｝满足勺=2,ax1=——巴（nEN*），则该数列的前2021项的乘积

n+1

1-an

是（）

A.-2B.-1C.2D.1

【分析】先由递推关系式，分析得到｛%｝是以4为周期的一个周期数列，即可求得结论.

一F

1+2骨_所1&nQ

【解答】解：由递推关系式，得%+2=；口地=―^―-=-）

a

lf+1r,?nan

F

则an+4=-'一=与，

an+7

，｛%｝是以4为周期的一个周期数列.

=2,

则计算可得°1=4,a2=-3,a3=-―,%=工，«2…，

23

••6?।2，

...a1•。2.......a2020*a2021=321=。7=2•

故选：C.

【点评】本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，确定数列｛册｝的周期为4

是解题的关键，属于基础题.

22

11.（5分）在平面直角坐标系xOv中，直线（左W0）与双曲线2__乙11>0,b>0）-

a%bz

8两点，尸是该双曲线的焦点，若△ZBb的面积为4a2,则双曲线的离心率为（）

A.V3B.依C.2V2D.3

【分析】由已知可得以为直径的圆的方程为x2+y2=c2,设|力用=m/用=”，则"L

n=2a,再由三角形面积及勾股定理列式求得机，n,即可求解双曲线的离心率.

【解答】解：如图，由对称性可知,

V\AB\=2\OF],：.\OA\=\OB\=\OF\,

第12页（共26页）

...以AB为直径的圆的方程为炉+y=c2,

设|AF|=w,\BF\=n.

/XABF的面积S.——m,n=4a2,且m&+n2=\AB\2=3c2,

ABF3

m-n=2a

联立，m=3a2，得fm=7a

[n=2a

.m?+n7=4c2

故(4a)7+(2a)2=5c2,解得(e>8).

故选：B.

【点评】本题考查双曲线的简单性质以及圆的方程的应用，考查分析问题和解决问题的

能力，是中档题.

12.（5分）四面体N8CD的四个顶点都在球。上，且AB=AC=BC=BD=CD=4,AD=2

捉（）

A.B.c.30irD.40n

33

【分析】取8C,力。的中点A/,N,连结/A/,MD,MN,利用长度关系可得△/M。为

等腰直角三角形，取上一点O,连结OC,OB,OA,OD,只需使得OC=O。，则点

。为三棱锥外接球的球心，设OM=x,列出关于x的等式关系，求出x,即可得到外接

球的半径，由球的表面积公式求解即可.

【解答】解：如图，取BC,N,连结MN

因为AB=AC=BC=BD=CD=4,

所以力A/=MQ=2澜，又AD=2瓜

故/Aa+MD2=z£）2,则/ZA〃）=90°,

所以为等腰直角三角形，

第13页（共26页）

所以MN=AN=ND=®,

取MN上一点O,连结OC,OA,

因为08=0C,OA=OD,则点。为三棱锥外接球的球心,

设OM=x,则ON=J^-x,

所以OC1J+22=OD6=（遍一x）2+（在）2,解得x邛

所以Oc2=xL22用,

故球。的表面积为4冗・（0C）2=2兀•当国兀、

33

故选:B.

【点评】本题考查了球的表面积的求解，解题的关键是确定球心。的位置，求解球的半

径，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题.

二、填空题（本大题共四小题，每小题五分，共20分。把正确答案填在答题卡的相应位置.）

13.（5分）已知向量WE满足，|a|=1,|4勿a_L（a-b）,则a与b夹角的大小是

45°.

【分析】可根据Zl（Z-E）得出Z，E=1,然后即可求出cos<7,的值，进而可得

出Z与芯夹角的大小.

【解答】解：•••昌士，；1（；_而，

a'（a-b）=a-a*b=7-a'b=0,**-a*b=l,且|b|=近，

，cus<a，b>=^y->且<工，b>€[0“，180°b

|a||b|V22

‘〈a,b>=450-

故答案为：45°.

第14页（共26页）

【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考

查了计算能力，属于基础题.

14.（5分）中国象棋中棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线（图中楚河汉界处的

“日”字没有画出），如图，“马”从点力处走出一步，C,。中的一处.则'‘马”从点/

出发到达对方“帅”所在的P处，最少需要的步数是6.

【分析】利用棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线，即可得到答案.

【解答】解：由题意可知，按如图所示的走法.

故答案为：6.

【点评】本题考查了实际问题中的计数原理，考查了对题目的理解和分析能力，属于基

础题.

15.（5分）若。克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为互，这个质量分数决定了

a

糖水的甜度.如果在此糖水中添加m克糖，从而可抽象出不等式

互也>互Q>b>0,m>0）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出log32

a+in&

Vlog。。（用或“〈”填空）;并写出上述结论所对应的一个糖水不等式log/

第15页（共26页）

<log”“，(bin)加>1)

【分析】先利用换底公式以及对数的运算性质将logislO进行化简变形，然后再利用条件

中的不等式进行分析即可.

log式2X10)

【解答】解：因为log1510=log(3X5)(5X10)^-------x=

-□吕31J八3)

log2+log5log7+lo

833S35

Log3+lo4+1。g5

3S553

又立也2(a>b>3,IR>0).所以1。：3,1。F5〉匕《•口2,

a+ma8+1。叼513

故log32<log1510,

由上述结论所对应的一个糖水不等式为log/Vlog。,”(勿〃)(a>b>l,m>l).

故答案为：logsZVlog/O；log/Vlog,"“(Zwi)(.a>b>l,m>5').

【点评】本题考查了不等式与不等关系的应用，主要考查了换底公式以及对数的运算性

质的应用，考查了逻辑推理能力与化简计算能力，属于中档题.

16.(5分)四边形/BC。内接于圆。中，AB=CD=\0,AD=6,下面四个结论：

①四边形Z88为梯形；

②圆的直径为14；

③AABD的三边长度可以构成一个等差数列；

④四边形488的面积为5Wi

其中正确结论的序号有①③④.

©

【分析】直接利用圆的内接四边形的性质，余弦定理，三角形的面积公式的应用判断①

②③④的结论.

【解答】解：对于①，四边形Z88内接于圆。中，AD=6,

所以乙4=120°,

由于N8=CD,则定=而，则同而=而而，

故N8=/C=60°,

乙4=ND=120°

第16页(共26页)

所以4O〃C8,

所以①四边形Z8CQ为梯形；正确；

对于②，在中2=<88+4。2-2・48》O・COS120°=49,解得80=14,

由于N/=120°,故圆的直径不可能为14；

对于③，在△48。中，/。=8,

所以2/8=力。+2。，故成等差数列；

对于④，SAABI）=4x10X6Xsinl20°=156，SABCL-yX16XI。X除=4附，

四边形Z8CD的面积为5g%,故④正确.

故答案为：①③④.

【点评】本题考查的知识要点：圆的内接四边形的性质，余弦定理，三角形的面积公式，

主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（12分）已知数列｛许｝的前〃项和为Sn（n€N*>

（1）若｛%,｝为等差数列，5n=165,%+与=28，求｛%｝的通项公式;

⑵若数歹咐｝满足+^S2+…+^~Sn=3n+5，求以

【分析】（1）利用等差数列的性质解题；

（2）求通项注意检验〃=1时是否成立.

【解答】（1）由题意可设等差数列的公差为"，

（llai+55d=165fai=8

贝*，解得<1'=2"+3；

^2a4+9d=28[d=2

（2）当”=1时，ls1=8，，“7=S|=16，

8i

当n32时，3小力+…jS；8n+5,①

当$2+…*^„_4=392,②

，n

①-②得，4-Sn=3>•«Sr=4-2>

Q11口11

当）7=1时，$2=16不适合上式，

16,n=1

；・S=、•

nl3-5n,n>2

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【点评】本题考查了等差数列的性质，以及通项公式的求法，属于基础题.

JT

18.（12分）如图，三棱柱N8C-481G中，侧面8BCC,已知/BCCi/=，BC=

3

19=2,点E是棱G。的中点.

（I）求证：8C_L平面/8G；

（2）求二面角4的余弦值.

【分析】（1）利用余弦定理求出BC｝的值，由勾股定理证得8CL8G，再由43,侧面

BB&C,可得利用线面垂直的判定定理证明即可；

（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出所需向量的坐标，然后利用

待定系数法求出两个平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

7T

【解答】（1）证明：在△8CG中，,BC=l,GC=7,

i8

_

由余弦定理可得BCI2=BC%C12-4・BC・CC1・COST=2+4-2X3X2X/=3,

OI

故BC[=V7,所以BC2+BC/=CC[25，

因为力3,侧面85]GC,8Cu平面884GC,所以8C_L/8,

因为/8C8G=8,//u平面/BQ,所以平面NBC]；

（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（7,0,0）,Bg1«VS12）,E（-^-）~^2~3，和（-1，V3>6），

则ABj=（-l,-2）,AE=（看，日•，-3）

A[B[（7,0，-2）,A3E=（-|->,一公，

——>_-x-h/6y_2z=0

设平面“组的一个法向量为U（x,y,z），则有;'2?=°，即2V3

，n・AE=0yx-kyv-2z=0

令y=T，则岸口,如，7），

第18页（共26页）

"2=6

m*A7B)=0

设平面小与E的一个法向量为1=(a,b,，即43f，

c)，则有一一.|-a^b-2c=7

m,A7E=0

令bWi则％=(1,V7,o)，

所以后$<；；,；〉|可==挛

-B|n||m|W255

所以二面角A-B{E-A4的余弦值为史5.

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理的应用，在求解

空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题

进行研究，属于中档题.

19.(12分)已知函数fa^xe'-mx吟《为自然对数的底数)

(1)当机=2时，求函数在点(0,/(O)；

(2)当正(0,+8)时，函数/(x)有两个零点

【分析】(1)先利用函数/(x)的解析式求出切点坐标，再利用导数的几何意义求出切线

的斜率，由点斜式方程即可得到答案；

XX

(2)将函数/(x)有两个零点，转化为方程有两个根，令(x>0,

AY-2Y---2--

x吟)，则函数尸机与尸力(X)的图象要有两个交点，利用导数研究函数〃(X)的性

质，作出图象进行分析求解即可.

【解答】解：(1)当7H=2Hl*,f(x)=xex-2x+3,所以/(0)=0-0+4=1,1),

又/(x)=(x+4)/-2,所以/(0)=e。-2=-1,故切线的斜率为-1,

由点斜式可得歹-3=-(%-0),BPx+y-1=5,

第19页(共26页)

故函数/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为田y-1=7；

⑵令f(x)=xe'-mx母=Oxe，=inx-*m(x-,),

当=2时，方程不成立，故xH』，则厂，

*2*六7」

2

令h(x)=-'与］(x>心)，

_82

x2

x/281、1

e㈠5ex(x-3)(2x+l)

所以h'(x)=------------—―=—

(x方)5(告2

因为x>6且令〃(x)=3,

当x>l时，h'(x)>0,

当4Vx<1且x关［"时，h'(x)<0,

6

所以当x=l时，函数取得极小值力(1)=6e,

当0<x〈工时，h(x)<0,作出函数6(x)的图象如图所示,

8

要使得函数/(X)有两个零点，即使得方程—5丁，

口

所以函数歹=切与(x)的图象要有两个交点，

由图可知,m>2e,

故机的取值范围为(2e,+8).

【点评】本题考查了导数的综合应用，函数零点与方程关系的应用，主要考查了导数的

第20页(共26页)

几何意义的应用以及利用导数研究函数的单调性，解决函数零点或方程根的问题，常用

的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图

象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得

解）.属于中档题.

20.（12分）根据国家深化医药卫生体制改革的总体部署和要求，某地区自2015年起，开

始逐步推行“基层首诊，从而全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为2000万,

从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了了解各年龄段居民

签约家庭医生的情况，各年龄段被访者签约率如图2所示

1）根据图一和图二的信息估计该地区签约率超过35%,低于60%的人群的总人数.

2）若以图2中年龄在71~80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生

的概率，现从该地区年龄在71〜80岁居民中随机抽取3人，记抽到的签约人数为X

3）据统计，该地区被访者的签约率约为43%.为把该地区年满18周岁居民的签约率提

高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解

释.

【分析】（1）由图2知该地区签约率超过35%,低于60%的人群在年龄段31-60之间，

由图1即可求出该地区签约率超过35%,低于60%的人群的总人数.

（2）由题知此地区年龄段在71〜80的每个居民签约家庭医生的概率为p=0.7,且每个

居民之间是否签约都是独立的，故X〜8（3,0.7）,从而可求X的分布列及数学期望.

（III）由图1,2,列出表格，得到这个地区在31〜50这个年龄段的人为740万，基数较

其他年龄段是最大的，且签约率为37.1%,非常低，为把该地区满18周岁居民的签约率

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提高到55%以上，应该着重提高31-50这个年龄段的签约率.

【解答】解：(1)由图2可知，签约率超过35%,

由图1可知年龄在年〜60岁的居民人数为：(4.021+0.016+0.015)X10X2000=1040万,

，该地区签约率超过35%,低于60%的人群的总人数为1040万.

(2)由题知此地区年龄段在71〜80的每个居民签约家庭医生的概率为p=8.7,

且每个居民之间是否签约都是独立的，故X〜8(3,

P(X=k)=醴0.35*0.73k=6,I,2,7,

...X的分布列为：

X0163

P0.0274.1890.4410.343

X的数学期望E(X)=7X0.7=2.1.

(3)由图1,4,知，

年龄段该地区人数(万)签约率％

18〜300.005X10X2000=100

0.018X10X2000=36030.8

大于360,小于460

31〜40,41〜50(0.0214-0.016)X10X200037.4

=740

51〜600.015X10X2000=30055.7

61〜708.010X10X2000=20061.7

71〜80