函数及其表示方法

人教B版高中数学必修第一册§3.1.1

函数及其表示方法函数的概念（第一课时）一、函数的概念

我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.

再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函数，y=x-2是反比例函数，y=x2+2x-3是二次函数，等等。情境与问题

（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。

以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.

如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？

初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中的i是y的函数，v是t的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等。

一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作

y=f（x），x∈A，

其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A）称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合

{y∈B|y=f（x），x∈A}称为函数的值域.1、若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(

)2、设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(

)A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

函数的这种定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用其他小写英文字母如g，h等表示。值得注意的是，这种函数的表示中，自变量与因变量用什么字母来表示是无关紧要的，例如函数f（x）=2x+1，x∈R与y=2s+1，s∈R应该看成同一个函数.习惯上，人们总用x表示自变量，y表示因变量更一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.例如y=，x∈R与g（x）=|x|，x∈R表示同一个函数.

在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时就约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合。

在上述约定下，以下表达式都可以表示函数

f（x）=2x+1，x∈R：

f（x）=2x+1，

y=2x+1.3、已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{x|0≤x≤4}，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是(

)A.f：x→y＝

xB.f：x→y＝

xC.f：x→y＝

xD.f：x→y＝x4、若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是(

)5、已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数是(

) A.①B.②C.③D.④例1求下列函数的定义域：（1）f（x）=（2）g（x）=

以下都是求函数定义域常用的依据：（1）分式中分母不能为零；（2）二次根式中的被开方数要大于或等于零.2、已知函数f(x＋2)的定义域为(－2，0)，则函数f(2x－2)的定义域为(

)变式：1、已知函数f(x－1)的定义域为[－2，3]，则函数f(2x＋1)的定义域为(

)例2设函数g（x）=