湖南省常德市武陵区第一中学2023年数学高一下期末教学质量检测试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是A．B．C．D．2．甲、乙两名篮球运动员最近五场比赛的得分如茎叶图所示，则（）A．甲的中位数和平均数都比乙高B．甲的中位数和平均数都比乙低C．甲的中位数比乙的中位数高，但平均数比乙的平均数低D．甲的中位数比乙的中位数低，但平均数比乙的平均数高3．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（）A． B．C． D．4．在中，，，分别为角，，的对边，若的面为，且，则（）A．1 B． C． D．5．如图，在矩形中，，,点为的中点，点在边上，点在边上，且，则的最大值是()A． B． C． D．6．在等比数列中，，，，则等于()A． B． C． D．7．下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的，，依次输入的为2,2,5，则输出的（）A．10 B．12 C．60 D．658．等比数列{an}中，a3=12A．3×10-5C．128 D．3×2-59．等差数列的前项和为，若，则（）A．27 B．36 C．45 D．5410．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．化简：______.（要求将结果写成最简形式）12．在等腰中，为底边的中点，为的中点，直线与边交于点，若，则___________．13．对任意的θ∈0,π2，不等式114．已知，则的取值范围是_______；15．已知直线是函数（其中）图象的一条对称轴，则的值为________.16．设数列是等差数列，，，则此数列前20项和等于______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，且，向量，.（1）求函数的解析式，并求当时，的单调递增区间；（2）当时，的最大值为5，求的值；（3）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.18．在中，内角对边分别为，，,已知.(1)求的值；(2)若，，求的面积．19．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥B1C；（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．20．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的的值.21．爱心超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份每天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温天数216362574（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的频率；（2）当六月份有一天这种酸奶的进货量为450瓶时，求这一天销售这种酸奶的平均利润（单位：元）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

试题分析：如图所示：曲线即（x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，直线与圆相切时，圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+2，b=1-2当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1结合图象可得≤b≤3故答案为C2、B【解析】

分别计算出两组数据的中位数和平均数即可得出选项.【详解】根据题意：甲的平均数为：，中位数为29，乙的平均数为：，中位数为30，所以甲的中位数和平均数都比乙低.故选：B【点睛】此题考查根据茎叶图表示的数据分别辨析平均数和中位数的大小关系，分别计算求解即可得出答案.3、D【解析】

圆的圆心为O，求出圆心坐标，利用垂径定理，可以得到，求出直线的斜率，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程.【详解】设圆的圆心为O，坐标为（1，0），根据圆的垂径定理可知：，因为，所以，因此直线的方程为，故本题选D.【点睛】本题考查了圆的垂径定理、两直线垂直斜率的关系，考查了斜率公式.4、D【解析】

根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【详解】解：由，得，∵，∴，即即，则，∵，∴，∴，即，则，故选D．【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．5、A【解析】

把线段最值问题转化为函数问题，建立函数表达式，从而求得最值.【详解】设，，，，，，，，，，的最大值是.故选A.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，建立合适的函数关系式是解决此题的关键，意在考查学生的分析能力及数学建模能力.6、C【解析】

直接利用等比数列公式计算得到答案.【详解】故选：C【点睛】本题考查了等比数列的计算，属于简单题.7、D【解析】，，判断否，，，判断否，，，判断是，输出.故选.8、D【解析】

根据等比数列的通项公式得到公比，进而得到通项.【详解】设公比为q，则12q+12q=30，∴∴q=2或q=12，∴a10即3×29或故选D.【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用，属于简单题.9、B【解析】

利用等差数列的性质进行化简，由此求得的值.【详解】依题意，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题.10、B【解析】试题分析：如图，取中点，连接，因为是中点，则，或其补角就是异面直线所成的角，设正四面体棱长为1，则，，．故选B．考点：异面直线所成的角．【名师点睛】求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目标紧密地联系起来．如已知直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

结合诱导公式化简，再结合两角差正弦公式分析即可【详解】故答案为：【点睛】本题考查三角函数的化简，诱导公式的使用，属于基础题12、；【解析】

题中已知等腰中，为底边的中点，不妨于为轴，垂直平分线为轴建立直角坐标系，这样，我们能求出点坐标，根据直线与求出交点，求向量的数量积即可.【详解】如上图，建立直角坐标系，我们可以得出直线，联立方程求出,,即填写【点睛】本题中因为已知底边及高的长度，所有我们建立直角坐标系，求出相应点坐标，而作为F点的坐标我们可以通过直线交点求出，把向量数量积通过向量坐标运算来的更加直观.13、-4,5【解析】1sin2θ+4cos2点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14、【解析】

本题首先可以根据向量的运算得出，然后等式两边同时平方并化简，得出，最后根据即可得出的取值范围．【详解】设向量与向量的夹角为，因为，所以，即，因为，所以，即，所以的取值范围是．【点睛】本题考查向量的运算以及向量的数量积的相关性质，向量的数量积公式，考查计算能力，是简单题．15、【解析】

根据正弦函数图象的对称性可得，由此可得答案.【详解】依题意得，所以，即，因为，所以或，故答案为：【点睛】本题考查了正弦函数图象的对称轴，属于基础题.16、180【解析】

根据条件解得公差与首项，再代入等差数列求和公式得结果【详解】因为，，所以，【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），单调增区间为；（2）或；（3）.【解析】试题分析：（Ⅰ）化简，解不等式求得的范围即得增区间（2）讨论a的正负，确定最大值，求a；（3）化简绝对值不等式，转化在上恒成立，即，求出在上的最大值，最小值即得解.试题解析：（1）∵∴∴单调增区间为（2）当时，若，，∴若，，∴∴综上，或.（3）在上恒成立，即在上恒成立，∴在上最大值2，最小值，∴∴的取值范围.点睛:本题考查了平面向量的数量积的应用，三角函数的单调性与最值，三角函数的化简，恒成立问题的处理及分类讨论的数学思想，综合性强.18、(1)2(2)【解析】

（1）在题干等式中利用边化角思想，结合两角和的正弦公式、内角和定理以及诱导公式计算出，再利用角化边的思想可得出的比值；（2）由（1）中的结果，结合余弦定理求出和的值，再利用同角三角函数的平方关系求出，最后利用三角形的面积公式求出的面积．【详解】（1）由正弦定理得，则，所以，即，化简可得．又，所以．所以，即.（2）由（1）知．由余弦定理及，，得，．解得，因此因为，且所以因此．【点睛】在解三角形的问题时，要根据已知元素的类型合理选择正弦定理与余弦定理解三角形，除此之外，在有边和角的等式中，优先边化角，利用三角恒等变换思想化简求解，能起到简化计算的作用．19、（1）见解析；（2）；（3）【解析】

（1）由BB1⊥面ABC及线面垂直的性质可得AE⊥BB1，由AC=AB，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE⊥BC，结合线面垂直的判定定理可证得AE⊥面BB1C1C，进而由线面垂直的性质得到AE⊥B1C；（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，根据异面直线夹角定义可得，∠E1A1C是异面直线A与A1C所成的角，设AC=AB=AA1=2，解三角形E1A1C可得答案．（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP⊥平面ACC1A1，进而由二面角的定义可得∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．【详解】证明：（1）因为BB1⊥面ABC，AE⊂面ABC，所以AE⊥BB1由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C∴AE⊥B1C解：（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角．设AC=AB=AA1=2，则由∠BAC=90°，可得A1E1=AE=，A1C=2，E1C1=EC=BC=∴E1C==∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C==所以异面直线AE与A1C所成的角为．（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC又∵平面ABC⊥平面ACC1A1∴EP⊥平面ACC1A1而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．由EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==所以二面角C-AG-E的平面角正切值是【点睛】本题是与二面角有关的立体几何综合题，主要考查了异面直线的夹角，线线垂直的判定，二面角等知识点，难度中档，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键．20、（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）利用和角公式及降次公式对f（x）进行化简，得到f（x）=，代入周期公式即可；（2）由x的范围求出ωx+φ的范围，结合正弦函数单调性得出最值和相应的x．试题解析：（1），，，，，所以的最小正周期为.（2）∵，∴，当，即时，；当，即时，.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.21、（1）；（2）460元.【解析】

（1）根据表中的数据，求得最高气温位于区间和最高气温低于20的天数，利用古典概型的概率计算公式，即可求得相应的概率；（2）分别求出温度不低于、温度在，以及温度低于时的利润及相应的概率，即可求解这一天销售这种酸奶的平均利润，得到答案．【详解】（1）根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位