秋高中数学课时分层作业16基本初等函数导数公式导数运算法则(二)新人教A版选修11

课时分层作业(十六)基本初等函数的导数公式及导数的运算法例（二）(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题lnx1．已知f(x)＝x，则f′(x)＝()11A．x2B．x－1x1－lnxC．1－lnD．x2x1·x－lnx－lnxD[f′( )＝x－lnx·x′x21xxxxx2．曲线y＝x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x＋2x＋－xx＋2＝2，A[∵y′＝x＋2x＋∴k＝y′|＝－1＝22＝2，x－1＋∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.应选A.]13．设函数f(x)＝(sinx－cosx)的导函数为f′(x)，则以下结论正确的选项是( )2A．f′(x)＋f(x)＝－sinxB．f′(x)＋f(x)＝－cosxC．f′(x)－f(x)＝sinxD．′( )－()＝cosxfxfxD[易得f′( )＝1(cosx＋sinx)，因此′( )＋(x)＝sinx，′( )－( )＝cosx2fxffxfxx，应选D.]4．点P是曲线y＝－x2上随意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为()5272A．1B.8C.8D.3C[设与直线y＝x＋2平行的直线与曲线y＝－x2相切于点P(x0，y0)，由y′＝－2x11得y′|x＝x0＝－2x0，由题意知－2x0＝1，解得x0＝－2，进而y0＝－4.1111－2＋4＋272即P－2，－4，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为d＝2＝8，应选C.]5．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1,3)，则b的值为( )【导学号：97792143】A．3B．－3C．5D．－5[由题意知3＝k＋1，即k＝2，又y′＝3x2＋a，则y′|x＝1＝3＋a，由3＋a＝2得a＝－1，则y＝x3－x＋b.由点(1,3)在曲线上得3＝13－1＋b，得b＝3.]二、填空题6．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．3[f′(x)＝xxx2e＋(2x＋1)e＝(2x＋3)e.则f′(0)＝3e0＝3.]7．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝__________.2[设ex＝t，则x＝lnt，故f(t)＝lnt＋t，1进而f(x)＝lnx＋x，由f′(x)＝x＋1得f′(1)＝2.]8．已知f(x)＝ex－x，则过原点且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为__________．y＝(e－1)x[设切点坐标为(x，ex－x)．由题意，可得切线斜率k＝f′(x)＝ex－000001，因此切线方程为y＝(ex－1)x－xex0＋ex.又切线过原点，因此－xex＋ex＝0，则x0000000＝1，因此切线方程为y＝(e－1)x.]三、解答题9．求以下函数的导数：y＝x2sinx；(2)ex＋1y＝x.e－1[解](1)y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.x＋x－－x＋x－(2)y′＝x－22xx－－xx－2exe＋2.＝x－2＝x－x210．已知曲线y＝f(x)＝a－1(a>0)在x＝1处的切线为l，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值.【导学号：97792144】11[解]由于f(1)＝a－1，因此切点为1，a－1.由已知，得f′(x)＝2x，切线斜率k＝f′(1)＝2，aa2因此切线l的方程为y－a－1＝a(x－1)，即2x－ay－a－1＝0.令y＝0，得xa＋1a＋1＝；令x＝0，得y＝－.2a因此l与两坐标轴所围成的三角形的面积1a＋1×a＋11111S＝×2a＝a＋＋≥24a24111×2a×a＋2＝1，当且仅当a＝a，即a＝1时取等号，因此Smin＝1.故l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.[能力提高练]1．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为()11A.eB．－eC．－eD．eD[y′＝x，设切点为(x0，y0，则{y0＝kx0，y0＝ex0，k＝ex0，e)∴e0＝e0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.应选D.]xxππ2．已知函数f(x)＝f′4cosx＋sinx，则f4的值为________．π1[∵f′(x)＝－f′4sinx＋cosx，∴f′π＝－f′π2244×2＋2，得f′π＝2－1.4∴f(x)＝(x＋sinx，∴fπ2－1)cos4＝1.]33．若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b的值为__________．1[∵f′(x)＝－asinx，∴f′(0)＝0.又g′(x)＝2x＋b，∴g′(0)＝b，∴b＝0.又g(0)＝1＝m，∴f(0)＝a＝m＝1，∴a＋b＝1.]b4．设函数f(x)＝ax－x，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.求f(x)的分析式；(2)证明曲线y＝f(x)上随意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.【导学号：97792145】b[解](1)f′(x)＝a＋x2.又曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0，7b7f＝4a＋4＝4a＝1∴??，1b1b＝3f＝22a－2＝23∴f(x)的分析式为f(x)＝x－x.(2)证明：设点x0，x0－3y＝f(x)上随意一点，则切线的斜率k3x01x0方程为y－x330－＝1＋