(浙江专版)高中数学课时跟踪检测(六)椭圆简单几何性质新人教A版选修21

课时追踪检测（六）椭圆的简单几何性质层级一学业水平达标1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个极点是(0,13)，另一个极点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A．(±13,0)B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±69)分析：选D由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点组成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )1B．3A．2236C．4D．4分析：选A依题意，△BF1F2是正三角形，∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，c11∴cos60°＝a＝2，即椭圆的离心率e＝2，应选A．3．已知椭圆x2y2x2y2x2y22＋2＝1与椭圆＋＝1有同样的长轴，椭圆2＋2＝1的短轴长与椭圆ab2516aby2x221＋9＝1的短轴长相等，则()A．a2＝25，b2＝16B．a2＝9，b2＝25C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D．a2＝25，b2＝9x2y210，焦点在x轴上，椭圆y2x2分析：选D由于椭圆25＋16＝1的长轴长为21＋9＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9．x2y24．已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，右极点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线交y轴于点．若AP＝2PB，则椭圆的离心率是( )ABPA．3B．22211C．3D．21分析：选D∵AP＝2PB，∴|AP|＝2|PB|．|PA||AO|2又∵PO∥BF，∴||＝||＝3，ABAFa2c1即a＋c＝3，∴e＝a＝2．22的焦点坐标是()5．椭圆mx＋ny＋mn＝0(m<n<0)A．(0，±m－n)B．(±m－n，0)C．(0，±－)D．(±n－，0)nmm分析：选C化为标准方程是x2＋y2－n＝1，－mm<n<0，∴0<－n<－m．∴焦点在y轴上，且c＝－m－－n＝n－m．226．椭圆x＋y＝1的离心率为1，则＝________．4m2m分析：当焦点在x轴上时，4－m1＝＝；22?m3当焦点在y轴上时，－4116m＝＝．m2?m3综上，＝3或＝16．mm316答案：3或357．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5,4)，则椭圆的5方程为________________．5分析：∵e＝a＝5，c2a2－b21a2＝a2＝5，5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2．设椭圆的标准方程为x25y2>0)，2＋2＝1(a4aa∵椭圆过点P(－5,4)255×16，∴a2＋4a2＝1．2x2＋y2解得a＝45．∴椭圆方程为＝1．45362x2y2答案：45＋36＝18．设F1，F2分别为椭圆x22的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若FA＝5FB，＋y＝1312则点A的坐标是________．分析：设(，)．Amn由F1A＝5F2B，得Bm＋62n．5，52m＋n2＝1，又，B均在椭圆上，所以有m＋622A5n23＋5＝1，m＝0，m＝0，解得或n＝－1，n＝1所以点A的坐标为(0,1)或(0，－1)．答案：(0,1)或(0，－1)9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点1，2在x轴上，离心率为2，FF2过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．x2y2解：设椭圆C的标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)．2c2c21a2－b21b21由e＝2知a＝2，故a2＝2，进而a2＝2，a2＝2．由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|2|＝|1|＋|2|＋|1|＋|2|＝4＝16，得a＝4，∴2＝8．AFAFAFBFBFabx2y2故椭圆C的标准方程为＋＝1．168x2y210．椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的右极点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P(x，y)，由∠APO90P在以OAx－a2＝°知，点为直径的圆上，圆的方程是2y2＝a2．2y2＝ax－x2．①x2y2又P点在椭圆上，故a2＋b2＝1．②3把①代入②化简，得222322，即(a－b)x－ax＋ab＝0(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，ab2x＝a2－b2，又0<x<a，ab222∴0<a2－b2<a，即2b<a．222222由b＝a－c，得a<2c，∴e>2．2又∵0<e<1，∴2<e<1．层级二应试能力达标x2y2x2y21．椭圆25＋9＝1与9－k＋25－k＝1(0<k<9)的关系为( )A．有相等的长轴长、短轴长B．有相等的焦距C．有同样的焦点D．有同样的极点分析：选Bc22－k)－(9－k)＝25－9＝16，所以两椭圆有相等的1＝25－9＝16，c2＝(25焦距．应选B．x2y22．过椭圆4＋3＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A．8,6B．4,3C．2，3D．4,23分析：选B过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，ax2y2＝1，得12y2293由于c＝1，将x＝1代入＋＋＝1，解得y＝，即y＝±，所以最短弦的长4343423为2×2＝3．应选B．3．与椭圆9x2＋4y2＝36有同样焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )x2y2B．2y2A．＋＝1x＋＝1246x22x2y2C．6＋y＝1D．8＋5＝1分析：选B椭圆92y2x2y2＝1，＋4＝36可化为＋x49可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±5)，22故可设所求椭圆方程为y2＋x2＝1(>>0)，则c＝5．abab又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，42y2则所求椭圆的标准方程为x＋6＝1．x2y24．(全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右极点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点．若直线经过的中点，则C的离心率为()EBMOEA．1B．13223C．D．34分析：选A如下图，由题意得(－a,0)，(0)，(－c,0)．ABa,F设E(0，m)，|MF||AF|由PF∥OE，得||＝||，OEAOma－c．①则|MF|＝a12|OE||BO|又由OE∥MF，得|MF|＝|BF|，ma＋c．②则|MF|＝2a1由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，21e＝a＝3．应选A．5．已知椭圆x2y2>>0)，，分别为椭圆的左极点和上极点，F为右焦点，且2＋2＝1(ababABAB⊥BF，则椭圆的离心率为________．分析：在Rt△ABF中，||＝a2＋b2，||＝，||＝＋，ABBFaAFac由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2．将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝－1±5．2由于e>0，所以e＝5－1．255－1答案：26．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．分析：由题意，知a＝10，b＝8，不如设椭圆方程为x2y200100＋64＝1，其上的点M(x，y)，22则|x0|≤＝10，|y0|≤＝8，点M到椭圆中心的距离d＝x22x0y0＝1，所以0＋0．由于＋aby100642162162922＝641－x0＝64－＝2＋64，由于0≤2≤100，所y010025x0，则0＋64－25x0＝25x0x0dx2以64≤x0＋64≤100，即8≤d≤10．25答案：[8,10]2237．已知椭圆x＋(m＋3)y＝m(m>0)的离心率e＝2，务实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和极点坐标．x2y2解：椭圆方程可化为m＋m＝1，＋3m由m－mmm＋>0，可知m>m＋3＝＋3＋3，mmm所以a2＝m，b2＝m，c＝a2－b2＝mm＋，＋3＋3mm由e＝3m＋23＝1．，得＝，解得2m＋32my2于是椭圆的标准方程为x＋1＝1，413则a＝1，b＝2，c＝2．2，短轴长为1；两焦点坐标分别为33所以椭圆的长轴长为－2，0，2，0；四个顶11点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，0，－2，0，2．8．设1，2分别是椭圆x2y2>>0)的左、右焦点，过点的直线交椭圆E：2＋2＝1(1FFEababF于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|．6若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；3若cos∠AF2B＝5，求椭圆E的离心率．解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1．由于△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8．故|AF2|＝8－3＝5．设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k．由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．在△ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－