弹塑性力学第八章课件

§8-1位移法求解

第八章柱体的自由扭转问题§8-2按应力函数求解

§8-3§8-4等截面杆扭转按应力函数举例§8-5薄壁杆的自由扭转

3/27/20231在第五章的最后我们以圆柱形杆的扭转问题为例来说明空间三维问题的求解过程。（无体力）对于圆杆扭转：（扭矩Mz=MT）

应力：x=y=z=xy=0，

位移分量：u=-Kyz,v=Kxz,w=0,

K为单位长扭转角。

3/27/20232对于一般等截面杆扭转w0称为自由扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参考圆杆扭转解进行假设——半逆解。§8-1位移法求解对于一般等截面杆自由扭转，可设位移分量：

u=-Kyz,v=Kxz,（u、v与园杆扭转一致）

w=K(x,y)

w不能为零,

为x,y函数。而(x,y)称为扭曲函数。3/27/20233§8-1位移法求解应力分量：x=y=z=xy=0，

所有物理量均由K和(x,y)表示。

3/27/20235§8-1位移法求解

按位移法求解，基本方程为平衡微分方程（三个）。

或

2=0

两个平衡微分方程自然满足，而第三个方程为：3/27/20236§8-1位移法求解基本方程仅为一个，求解(x,y)的方程。由基本方程可见(x,y)为一个调合函数。同时在基本方程中不出现K。K的确定当然也应通过边界条件来确定。扭曲函数(x,y)除了满足2=0,还需要满足边界条件，3/27/20237§8-1位移法求解

yxonMT-dxdy上式也可以用

——边界条件用(x,y)的偏微分表示。

由于

则

代入侧面边界条件

3/27/20239§8-1位移法求解在扭杆端面（如z=0):法线的方向余弦

(l,m,n)=(0,0,-1)

杆端截面法线方向面力，满足；合力为零合力矩为零xyozMTMT而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣维南原理，在,x,y方向面力分量不清楚,但要求

3/27/202310§8-1位移法求解上式也可以表示为可以证明当扭曲函数(x,y)在主要边界上力边界条件满足时，则和自然满足。见以下：

3/27/202311§8-1位移法求解而第三个方程为：

——扭矩MT与K和(x,y)的关系。

小结：

用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数(x,y)和单位扭转角K。3/27/202313

2=0在V上在杆侧边上由求(x,y)

§8-1位移法求解当(x,y)确定后，利用杆端面条件——求K

令

——扭转刚度

当(x,y)和K均找到后，则扭杆的位移、应力均可求出。

3/27/202314作业：

证明扭曲函数能用来求椭圆截面杆的扭转问题，其中a和b

为椭圆截面的半轴长度，并且扭矩为3/27/202315§8-2按应力函数求解2.1按应力法求解方程

同圆杆扭转类似，设x=y=z=xy=0仅存在zx(x,y)=xz和zy(x,y)=yz两个应力分量，将应力分量代入应力法的基本方程九个（三个平衡和六个相容方程）3/27/202317§8-2按应力函数求解三个平衡方程：

前两式自然满足，剩下一个控制方程无体力相容方程为：

由于设x=y=z=0，=0

3/27/202318§8-2按应力函数求解则相容方程中有四个自然满足，仅剩下两个控制方程

2zx=0

和

2zy=0按应力法求解基本方程为三个

2zx=02zy=03/27/202319§8-2按应力函数求解在

x,y方向面力应用圣维南原理3/27/202321§8-2按应力函数求解2.2按应力函数(x,y)求解

设应力分量与应力函数的关系为

则应力法第一个基本方程（平衡微分方程）自然满足。3/27/202322§8-2按应力函数求解常数C是什么？C和位移法公式中的系数有什么关系?

将上式代入应力法的其它两个基本方程，得

2=C（泊松方程）

由应力函数法和位移法可知

3/27/202323§8-2按应力函数求解而

代入边界条件，得

则应力函数在扭杆侧边应该为常数:s=C1

yxonMT-dxdylzx+mzy=0

3/27/202325§8-2按应力函数求解对于单连域：可取s=0

xyS1S0S2对于复连域：可取一条边界线上s为零，而其它边界s为非零常数：

s0=0,si=Ci0,i=1,2,3再将(x,y)代入端面上的边界条件：方向余弦(l,m,n)=(0,0,-1)，面力：满足。3/27/202326§8-2按应力函数求解当为单连域时：在s上s=0当为多连域时：

s0=0,si=Ci0,i=1,2,33/27/202329§8-2按应力函数求解(Ai为si围成的面积。)

3/27/202330§8-2按应力函数求解总结：

按应力函数(x,y)求解,(x,y)须满足

2=-2KG=C，且(x,y)与MT

之间满足

（单连域）

（多连域）3/27/202331§8-2按应力函数求解在柱体侧边

s=0

（单连域）

si=Ci

（多连域）

当K和(x,y)由上述方程确定后，可求出zx、zy以及应变和位移。3/27/202332§8-3薄膜比拟

对于截面形状比较复杂的柱体，不管采用位移法还是应力法求解扭转问题解答（解析解）是很困难的，而普朗特（Prondtl）在1903年提出了薄膜比拟，它利用薄膜在均匀压力下的垂度与等截面直杆扭转问题中的应力函数在数学上的相似性，用薄膜来比拟扭杆，它可以帮助我们寻找扭转问题的解答,尤其是对截面较复杂的扭转可以避开数学上的困难，而采用实际薄膜比拟实验测定，形象的获得一些有价值的解。

3/27/202333§8-3薄膜比拟xyooxzq

TTTTTTdydx一均匀薄膜形状同扭杆截面，周边固定，并使薄膜受均匀微小压力q作用，薄膜将微微凸起，而形成曲面

z=z(x,y)，薄膜仅承受张力（拉力）T。下面来寻求薄膜垂度z=z(x,y)所应满足的方程和边界条件。3/27/202334§8-3薄膜比拟xyooxzq

TTTTTTdydx寻求z=z(x,y)应满足的方程，即求解方程是由薄膜微元dxdy的z方向的平衡条件来确定(Fz=0)。3/27/202335§8-3薄膜比拟xyooxzq

TTTTTTdydx整理后，得

或——z(x,y)所应满足的方程。

3/27/202336§8-3薄膜比拟xyooxzq

TTTTTTdydx与扭转问题应力函数(x,y)所应满足方程和边界条件相比（2=-2KG，s=0

），

与z之间存在比拟关系:薄膜垂度z=z(x,y)所应满足的边界条件：zs=0（单连域）。3/27/202337§8-3薄膜比拟薄膜垂度z(x,y)可由实验测定，再根据上再根据上式可确定的分布规律。在应力函数解扭转问题时，考虑边界条件还有——由此式确定比例系数（单连域）

扭矩MT与薄膜垂度所围成体积的两倍之间也同样存在一致的比拟关系。3/27/202338§8-3薄膜比拟对于多连域，在孔边上应为常数，所以在薄膜比拟试验中，开孔区应用平行于x-y平面的无重刚性平板来代替。扭杆剪应力：

剪应力分量的大小与该薄膜垂度上对应点沿垂直方向的斜率成正比3/27/202339§8-3薄膜比拟yxsnzyzx扭转截面上任意点总剪应力（应力矢量t）数值和方向确定:任意点总剪应力数值可利用薄膜等高线，平行于x-y面的平面与薄膜相截可获得一系列闭合曲线——薄膜等高线。3/27/202340§8-3薄膜比拟在等高线上任意点应力可沿x,y方向分解，也可沿n,s方向分解。根据剪应力分量与薄膜垂度沿垂直方向斜率成比例:在等高线上,所以在等高线上

yxsnzyzx3/27/202341§8-3薄膜比拟任意点总剪力

（等高线切方向）与垂度等高线的垂直方向斜率成正比。薄膜等高线为扭杆横截面上的剪应力线。发生在薄膜具有最陡斜率的点处，一般在杆边界上。

yxsnzyzx截面上的最大剪应力

3/27/202342§8-3薄膜比拟总结薄膜比拟与杆扭转各物理量之关系

柱扭转(x,y)

2GK

Mzzx,zy（等高线方向）薄膜比拟z(x,y)q/T

2V,3/27/202343§8-4等截面杆扭转按应力函数举例ba

yx

采用应力函数解法求扭转问题,应力函数(x,y)

在域内满足方程

2=-2KG

——（1）例题1.椭圆截面杆的扭转。在边界上满足方程

s=0

——（2）以及

——（3）3/27/202344§8-4等截面杆扭转按应力函数举例由于椭圆杆截面方程为

因此，可设应力函数(x,y)

为则(x,y)自然满足方程s=0。ba

yx3/27/202345§8-4等截面杆扭转按应力函数举例代回(x,y)

再代回（3）式

注意

，，将(x,y)代入基本方程2=-2KG，得

3/27/202346§8-4等截面杆扭转按应力函数举例再代回（3）式

注意

得

3/27/202347§8-4等截面杆扭转按应力函数举例应力分量

各点总剪应力：

最大剪应力在柱截面边界上（）：

设ab，当y=b时

为最大。

3/27/202348§8-4等截面杆扭转按应力函数举例应变:x=y=z=xy=0，

位移：当不考虑刚体位移时

椭圆杆扭转时，杆纵向发生位移。

3/27/202349§8-4等截面杆扭转按应力函数举例例题2.

等边三角形截面（高为a）受扭矩Mz

作用，求截面剪应力。

x-a=0ax

y解：对于单连域，应力函数

s=0，考虑此原因，设

时同椭圆杆扭转一样，取三角形截面杆的边界方程为

的因子。3/27/202350§8-4等截面杆扭转按应力函数举例

设

则(x,y)自然满足方程

s=0。

2=-2KG得4ma=-2KG,将(x,y)代入基本方程

x-a=0ax

y3/27/202351§8-4等截面杆扭转按应力函数举例利用

或

得，则

3/27/202352§8-4等截面杆扭转按应力函数举例应力分量为

截面上最大剪应力：

3/27/202353§8-4等截面杆扭转按应力函数举例例题3.矩形截面杆的扭转。

y=-b/2y=b/2x=a/2

xx=-a/2y矩形截面

(ab)

受扭矩Mz作用，应力函数中要求

s=0

如果假设应力函数为

满足s=0，但

2=-2kG不能满足。

3/27/202354§8-4等截面杆扭转按应力函数举例所以直接采用上述s=0

的假设式不能作为扭转的应力函数.x

yab利用薄膜比拟，来判断狭矩形截面的应力函数特点。

对于矩形截面杆扭转首先考虑ab时的情况,情况1:3/27/202355§8-4等截面杆扭转按应力函数举例同样形状薄膜周边固定受均匀压力作用时，薄膜垂度变化如图，ozz

yxx

yab可见垂度曲面沿x方向很长一段为柱面，在此段

，只是在狭矩形截面两端部，但区域很小，近似法忽略两端影响.3/27/202356§8-4等截面杆扭转按应力函数举例=(y)

这样狭矩形界面扭转应力函数也认为

应满足基本方程为

——（1）

ozz

yx3/27/202357§8-4等截面杆扭转按应力函数举例

s=0

——（2）

——（3）

x

yab3/27/202358§8-4等截面杆扭转按应力函数举例由式（1）积两次分，得

将上式代入式（2），得

C1=0,C2=GKb2/4

=-GK(y2-b2/4)

则3/27/202359§8-4等截面杆扭转按应力函数举例最后将

代入式（3），得

=-GK(y2-b2/4)

3/27/202360§8-4等截面杆扭转按应力函数举例解得

则

应力分量截面上最大剪应力（y=b/2）：

x

yab3/27/202361§8-4等截面杆扭转按应力函数举例原因是忽略了zy（近似的），如不忽略zy（很小），但力臂大，产生另一半Mz/2，按近似计算，偏于保守。实际上x

yab将应力分量对截面形心取矩，得3/27/202362§8-4等截面杆扭转按应力函数举例情况2：一般矩形截面扭矩（ab

且ab

）:

a/2a/2b/2b/2x

y按应力函数求解，则(x,y)应满足

2=-2KG

b/2

=

0,，

a/2

=

0

(x,y)

和

K为待定。

3/27/202363§8-4等截面杆扭转按应力函数举例1.将求解(x,y)的问题转化为求解一个调和函数F(x,y)

的问题.考虑在狭矩形截面的应力函数为1=-GK(y2-b2/4)能满足

21

=-2KG和

1y=b/2=0条件，选一般矩形截面的(x,y):

=1+F(x,y)=-GK(y2-b2/4)+F(x,y)a/2a/2b/2b/2x

y3/27/202364§8-4等截面杆扭转按应力函数举例由于(x,y)满足2=-2KG，s=0,.因此F(x,y)需要满足

2F=0

Fy=b/2

=

0,

Fx=a/2

=

GK(y2-b2/4)

=-GK(y2-b2/4)+F(x,y)3/27/202365§8-4等截面杆扭转按应力函数举例2.根据F(x,y)为调合函数以及满足对称边界条件，F(x,y)亦采用级数形式的分离变量函数。即：

Am为待定系数。

3/27/202366§8-4等截面杆扭转按应力函数举例3、利用边界条件Fa/2=

GK(y2-b2/4)

将GK(y2-b2/4)展开为cos(my/b)的级数，可将Am用GK表示。

3/27/202367§8-4等截面杆扭转按应力函数举例4.最后利用，

将GK用Mz表示，并可确定应力分量zx,zy。具体过程参看徐芝纶（上册）P.330－333。3/27/202368§8-5薄壁杆的自由扭转

薄壁杆件在工程中经常碰见，它们可分为开口薄壁和闭口薄壁杆件。下面分别讨论它们的计算方法。5.1开口薄壁杆件的自由扭转开口薄壁杆为单连域，其截面可由曲边等宽狭长矩形截面或由几个直边等宽狭长矩形截面组成。

3/27/202369§8-5薄壁杆的自由扭转对于曲边狭长形截面可近似以等宽的直边狭长截面代替进行计算。

从薄膜比拟看两者围成的体积和最大斜率不会有多大差别，当两者受相同扭矩时，两个柱体的K和剪应力没有多大差别。baMbax

yM3/27/202370§8-5薄壁杆的自由扭转baMbax

yM直边狭长截面剪应力计算式3/27/202371§8-5薄壁杆的自由扭转对于由几个（若干个）同样材料的狭矩形截面组成的薄壁杆,其中第i个狭矩形截面长ai，宽bi

，则它应承受扭转为：MM3总的扭转为：

MM3M2M1M2M13/27/202372§8-5薄壁杆的自由扭转则代回Mi表达式

第i个狭矩形截面上的最大剪应力为3/27/202373§8-5薄壁杆的自由扭转5.2闭口薄壁杆扭转

闭口薄壁杆为多连域，按应力函数求解时基本方程：

2=-2KGs0=0,si=Ci0,i=1,2…Ai为si围成的面积。

3/27/202374§8-5薄壁杆的自由扭转对于二连域薄壁扭转杆（一个孔洞）：

2=-2kGs0=0,s1=C1

S0s

yxS13/27/202375§8-5薄壁杆的自由扭转S0sx

yS1对于薄膜比拟，在外边固定，而内周用无重刚性平板薄膜垂度方程

2z=-q/Tzs0=0,zs1=h

hqTTxz使薄膜受均匀压力q后，在S0上：z=0,在S1上：z=h.3/27/202376§8-5薄壁杆的自由扭转对于闭口薄壁杆已知：

Mz,，s（壁厚变化）.

求任一点剪应力s和k:

而

S0s

yxS1S0sx

yS1hqTTxz3/27/202377§8-5薄壁杆的自由扭转而

则