初中数学中考复习 数学20版初中新课标全程复习方略人教课时重点题型训练三

重点题型训练三

与圆有关的计算与证明1.已知,如图,在☉O中,AB是直径,AD∥OC.(1)求证:BC=CD.(2)过O作OE⊥AD于点E,若AE=3,∠OAC=30°,求☉O的半径.【解析】(1)连接BC,CD,∵AD∥OC,∴∠OCA=∠CAD,∵OC=OA,∴∠OCA=∠OAC,∴∠OAC=∠DAC,∴BC=CD.(2)∵OE⊥AD,∴∠AEO=90°,∵∠OAC=30°,∴∠OAE=60°,∴∠AOE=30°,∵AE=3,∴OA=2AE=6.∴☉O的半径是6.2.如图,四边形ABCD内接于圆O,点E在对角线AC上.(1)若BC=DC,∠CBD=39°,求∠BCD的度数.(2)若在AC上有一点E,且EC=BC=DC,求证:∠1=∠2.【解析】(1)∵BC=CD,∴∠BAC=∠DAC=∠CBD=39°,∴∠BAD=78°,∴∠BCD=102°.(2)∵BC=CD,∴∠CBD=∠CDB,又∠BAC=∠BDC,∴∠CBD=∠BAE,∴∠CEB=∠BAE+∠2,∵CB=CE,∴∠CBE=∠CEB,∴∠BAE+∠2=∠CBD+∠1,∴∠1=∠2.3.如图,已知☉O的半径为5,PA是☉O的一条切线,切点为A,连接PO并延长,交☉O于点B,过点A作AC⊥PB交☉O于点C,交PB于点D,连接BC,当∠P=30°时.(1)求弦AC的长.(2)求证:BC∥PA.【解析】(1)连接OA,∵PA是☉O的切线,∴∠PAO=90°,∵∠P=30°,∴∠AOD=60°,∵AC⊥PB,PB过圆心O,∴AD=DC在Rt△ODA中,AD=OA·sin60°=∴AC=2AD=5.(2)∵AC⊥PB,∠P=30°,∴∠PAC=60°,∵∠AOP=60°,∴∠BOA=120°,∴∠BCA=60°,∴∠PAC=∠BCA,∴BC∥PA.4.如图,已知锐角△ABC内接于☉O,连接AO并延长交BC于点D. 世纪金榜导学号(1)求证:∠ACB+∠BAD=90°.(2)过点D作DE⊥AB于E,若∠ADC=2∠ACB,AC=4,求DE的长.【解析】(1)延长AD交☉O于点F,连接BF.∵AF为☉O的直径,∴∠ABF=90°,∴∠AFB+∠BAD=90°,∵∠AFB=∠ACB,∴∠ACB+∠BAD=90°.(2)如图2中,过点O作OH⊥AC于点H,连接BO.∵∠AOB=2∠ACB,∠ADC=2∠ACB,∴∠AOB=∠ADC,∴∠BOD=∠BDO,∴BD=BO,∴BD=OA,∵∠BED=∠AHO,∠ABD=∠AOH,∴△BDE≌△OAH,∴DE=AH,∵OH⊥AC,∴AH=CH=AC,∴AC=2DE=4,∴DE=2.5.如图,AB是☉O的直径,AD是☉O的弦,点F是DA延长线上的一点,AC平分∠FAB交☉O于点C,过点C作CE⊥DF,垂足为点E.(1)求证:CE是☉O的切线.(2)若AE=1,CE=2,求☉O的半径.【解析】(1)连接CO,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,∵AC平分∠FAB,∴∠OCA=∠OAC=∠CAE,∴OC∥FD,∵CE⊥DF,∴OC⊥CE,∴CE是☉O的切线.(2)连接BC,在Rt△ACE中,AC=∵AB是☉O的直径,∴∠BCA=90°,∴∠BCA=∠CEA,∵∠CAE=∠CAB,∴△ABC∽△ACE,∴AO=2.5,即☉O的半径为2.5.6.如图,☉O是△ABC的外接圆,BC为☉O的直径,点E为△ABC的内心,连接AE并延长交☉O于D点,连接BD并延长至F,使得BD=DF,连接CF,BE.(1)求证:DB=DE.(2)求证:直线CF为☉O的切线.略7.如图,AB为☉O的直径,D为的中点,连接OD交弦AC于点F,过点D作DE∥AC,交BA的延长线于点E. 世纪金榜导学号(1)求证:DE是☉O的切线.(2)连接CD,若OA=AE=4,求四边形ACDE的面积.【解析】(1)∵D为的中点,∴OD⊥AC,∵AC∥DE,∴OD⊥DE,∴DE是☉O的切线.(2)连接DC,∵D为的中点,∴OD⊥AC,AF=CF,∵AC∥DE,且OA=AE,∴F为OD的中点,即OF=FD,在△AFO和△CFD中,∴△AFO≌△CFD(SAS),∴S△AFO=S△CFD,∴S四边形ACDE=S△ODE,在Rt△ODE中,OD=OA=AE=4,∴OE=8,∴DE=∴S四边形ACDE=S△ODE=×OD×DE=×4×48.如图,C,D是半圆O上的三等分点,直径AB=4,连接AD,AC,DE⊥AB,垂足为点E,DE交AC于点F.(1)求∠AFE的度数.(2)求阴影部分的面积(结果保留π和根号).【解析】(1)连接OD,OC,∵C,D是半圆O上的三等分点,

∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°,∴∠CAB=30°,∵DE⊥AB,∴∠AEF=90°,∴∠AFE=90°-30°=60°.(2)由(1)知,∠AOD=60°,∵OA=OD,AB=4,∴△AOD是等边三角形,OA=2,∵DE⊥AO,∴DE=,∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD=9.如图,已知AO为Rt△ABC的角平分线,∠ACB=90°,

以O为圆心,OC为半径的圆分别交AO,BC于点D,E,连接ED并延长交AC于点F. 世纪金榜导学号(1)求证:AB是☉O的切线.(2)求tan∠CAO的值.(3)求的值.【解析】(1)作OG⊥AB于点G.∵∠ACB=∠OGA=90°,∠GAO=∠CAO,AO=AO,∴△OGA≌△OCA,∴OC=OG,∵OC为☉O的半径,∴AB是☉O的切线.(2)设AC=4x,BC=3x,则AB=5x,由切线长定理知,AC=AG=4x,故BG=x.∵tan∠B=OG∶BG=AC∶BC=4∶3,

∴tan∠CAO=tan∠GAO=(3)在Rt△OGA中,AO=∴AD=OA-OD=连接CD,则∠DCF+∠ECD=∠ECD+∠CEF=90°,∴∠DCF=∠CEF,又∠CEF=∠EDO=∠FDA,∴∠DCF=∠ADF,又∠FAD=∠DAC,∴△DFA∽△CDA,∴DA∶AC=AF∶AD,即

∴AF=10.如图,点A,B,C,D是直径为AB