2022-2023学年湖南省岳阳市临湘育才中学小卖部高三数学理联考试题含解析

2022-2023学年湖南省岳阳市临湘育才中学小卖部高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则等于

(

).（A）4

（B）－2

（C）0

（D）2参考答案：B2.执行如图的程序框图，则输出的值等于(

)

A．91

B．55

C．54

D．30参考答案：B3.已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为A．B．C．D．参考答案：D略4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C．D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，即可求出几何体的体积．【解答】解：由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，几何体的体积为=π，故选C．5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则A．21

B．22

C．23

D．24参考答案：A由题意＝15，，∴．故选A．

6.在平行四边形ABCD中，若|﹣|=|+|，则平行四边形ABCD是（）A．矩形 B．梯形 C．正方形 D．菱形参考答案：A【考点】向量的三角形法则．【分析】根据向量的基本运算，利用平方法进行判断即可．【解答】解：由，平方得2﹣2?+2=2+2?+2，得得?=0，即得⊥，则平行四边形ABCD是矩形，故选：A7.设集合A={x|x2﹣x=0}，B={x|log2x≤0}，则A∪B=（）A．{1} B．[0，1] C．（0，1] D．[0，1）参考答案：B【考点】并集及其运算．【分析】求出A中方程的解得到x的值，确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的并集即可．【解答】解：由A中方程变形得：x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，即A={0，1}，由B中不等式变形得：log2x≤0=log21，即0＜x≤1，∴B=（0，1]，则A∪B=[0，1]，故选：B．8.函数y=xsinx（x∈）的图象可能是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】3O：函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过特殊点的位置判断选项即可．【解答】解：函数y=xsinx（x∈）是偶函数，排除B，D，当x=时，y=，可知选项A不正确；故选：C．9.命题“，”的否定是（

）A．，

B．，C．，

D．，参考答案：B10.设实数使得不等式≥对任意实数恒成立，则实数的取值范围是(

)

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）=

．参考答案：27【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】计算题．【分析】设出幂函数的解析式，由图象过（2，8）确定出解析式，然后令x=3即可得到f（3）的值．【解答】解：设f（x）=xa，因为幂函数图象过（2，8），则有8=2a，∴a=3，即f（x）=x3，∴f（3）=（3）3=27故答案为：27【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．12.若三棱锥P-ABC的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是

参考答案：13.关于函数的如下结论：①是偶函数；②函数的值域是；③若则一定有；④函数的图象关于直线对称；其中正确结论的序号有----------＿＿＿＿。（将你认为正确的结论的序号都填上）参考答案：②③略14.在椭圆上有两个动点M、N，K（2,0）为定点，若,则的最小值为_____．参考答案：15.已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值是

▲

.参考答案：16.如图，正六边形的边长为，则______参考答案：17.定义在R上的函数满足，则=_________。参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设f（x）=（xlnx+ax+a2﹣a﹣1）ex，a≥﹣2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）讨论f（x）在区间（，+∞）上的极值点个数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）把a=0代入函数解析式，求出函数的导函数，在定义域内由导函数大于0的原函数的增区间，由导函数小于0得原函数的减区间；（2）求出函数的导函数f′（x）=（lnx+xlnx+ax+a2）ex，其中ex＞0恒成立，要分析函数f（x）在区间（，+∞）上的极值点个数，引入函数g（x）=lnx+xlnx+ax+a2，则需要讨论函数g（x）的零点情况，通过对函数g（x）两次求导后分析得到函数g（x）在区间（，+∞）上是增函数，则通过讨论其最小值的符号可以判断其零点情况，从而得到函数f（x）在区间（，+∞）上的极值点个数情况．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=（xlnx﹣1）ex，（x＞0）故f′（x）=（lnx+1+xlnx﹣1）ex=（x+1）exlnx．当x=1时，f′（x）=0，当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜1时，f′（x）＜0．故f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．（2）由f（x）=（xlnx+ax+a2﹣a﹣1）ex，得：f′（x）=（lnx+xlnx+ax+a2）ex，令g（x）=lnx+xlnx+ax+a2，则，，显然g′′（1）=0，又当0＜x＜1时，g′′（x）＜0，当x＞1时g′′（x）＞0．所以，g′（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．故，∵a≥﹣2，∴g′（x）≥g′（x）min=2+a≥0．故g（x）在（0，+∞）上为增函数，则在区间上单调递增，注意到：当x→+∞时，g（x）→+∞，故g（x）在上的零点个数由的符号决定．①当，即或a≥1时，g（x）在区间上无零点，即f（x）无极值点．②当，即时，g（x）在区间上有唯一零点，即f（x）有唯一极值点．综上：当或a≥1时，f（x）在上无极值点．当时，f（x）在上有唯一极值点．19.在△中,内角所对的边分别为.已知,且.(1)当时,求的值；(2)若角为锐角,求的取值范围.参考答案：【解】

(1)由题设并利用正弦定理,得

解得或

…….

6分(2)由余弦定理,

即,因为,得由题设知,所以.

….

12分略20.（本小题满分12分）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点为的中点.（1）求证：；

（2）求证：；（3）求点到的距离.参考答案：解：（1）

,点E为的中点,连接

的中位线//

……2分又

………4分（2）正方形中,

,

由已知可得：，

,

…………8分（3）设点到的距离为.，，又，即，，即点到的距离为

…………12分21.已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）设，当时，若对任意的（为自然对数的底数），，求实数的取值范围参考答案：（1）因为，所以．①若，，在上单调递增．②若，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．③若，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．综上：①当时，在上单调递增．②当时，在上单调递减，在上单调递增．③当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）当时，．由（1）知，若，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以

．因为对任意的，都有成立，问题等价于对于任意，恒成立，即对于任意恒成立，即对于任意恒成立，因为函数的导数在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，所以，所以．22.济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法；茎叶图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（I）根据求平均数及中位数的方法，即可求解x，y．（II）根据分层抽样方法求得抽到的“高精灵”和“帅精灵”的志愿者人数，再分类求得至少有1人是“高精灵”的抽法种数与从这5人中选2人的种数，代入古典概型概率公式计算．解：（I）由茎叶图得：，

解得，x=5，y=7（II）由题意可得，高精灵有8人，帅精灵有12人，如果从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为：，=3记抽取的高精灵分别为b1，b2，帅精灵为c1，c2，c3，从已经抽取的5人中任选2人的所有可能为：（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共10种结果记从这5人中选2