数学建模概述

数学建模概述第一页，共二十一页，2022年，8月28日

数学模型与数学建模

数学模型（MathematicalModel）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。

数学建模（MathematicalModeling）

应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。第二页，共二十一页，2022年，8月28日数学模型其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该问题，这种刻划的数学表述就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程。数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起一个高潮。数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。第三页，共二十一页，2022年，8月28日

数学模型的分类分类标准具体类别对某个实际问题了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特征连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等建模中所用的数学方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型、概率统计模型等研究课题的实际范畴人口模型、生态系统模型、交通模型、环境模型、经济模型、基因模型等第四页，共二十一页，2022年，8月28日1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。

2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。

3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构——即建立数学模型。

4.模型求解。

5.模型的分析与检验：简洁、可靠、可解。

在难以得出解析解时，也应当借助

计算机

求出数值解。

数学建模的一般步骤实体信息(数据)假设建模求解验证应用第五页，共二十一页，2022年，8月28日1、摘要（包括问题、模型、方法、结果）2、问题重述3、分析与建立模型4、模型求解5、灵敏度分析6、模型的应用和推广7、参考文献8、附录（源程序、算法和数据等）怎样撰写数学建模的论文第六页，共二十一页，2022年，8月28日数学建模的现代意义“假设”能力的培养分析与综合能力的培养洞察力与想象能力的培养计算能力的培养团结协作能力的培养科技论文写作能力的培养第七页，共二十一页，2022年，8月28日1、指数增长模型（马尔萨斯人口模型）

英国人口学家马尔萨斯Malthus在1798年提出。2、阻滞增长模型（Logistic模型）3、更复杂的人口模型

随机性模型、考虑人口年龄分布的模型等。

可见数学模型总是在不断地修改、完善之中，并使之能符合实际情况的变化。人口模型举例第八页，共二十一页，2022年，8月28日大学生数学建模竞赛（缩写为MCM）于1985年起源于美国，我国从1992年开始，是参与面最广泛的一项大学生课外科技竞赛活动。赛题一般由工程技术、管理科学中的实际问题简化加工而成，没有事先设定的标准答案，是充分开放的。数模竞赛在每年9月份以通讯形式进行，统一时间在网上公布赛题，3名大学生组成一个队，参赛队在三天时间内，可以自由地收集资料、调查研究、使用计算机等，最后完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等内容的论文。第九页，共二十一页，2022年，8月28日近年赛题：“车灯线光源的优化设计”、“彩票中的数学”、“SARS的传播”、“奥运会临时超市网点设计”、“长江水质的评价和预测”、“出版社的资源配置”、“艾滋病疗法评价与疗效预测”等。数学建模竞赛提高学生综合素质、培养创新精神与合作精神、促进教学建设和教学改革。IBM公司曾在招聘中明确在数模比赛获奖者优先录用。

第十页，共二十一页，2022年，8月28日例1

某人平时下班总是按预定时间到达某处，然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？简单实例

似乎条件不够哦。。

换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？

显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。

请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？第十一页，共二十一页，2022年，8月28日例2

某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。分析

本题多少有点象数学中解的存在性条件及证明，当然，这里的情况要简单得多。

假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。（请自己据此给出严格证明）

第十二页，共二十一页，2022年，8月28日例3

餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。第十三页，共二十一页，2022年，8月28日盘子有大小吗?是什么样的盘子？盘子是怎样洗的?………

不妨假设我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后一清洗。

不难看出，是水的温度在决定洗盘子的数量

。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为水不够热了。

第十四页，共二十一页，2022年，8月28日那么热水为什么会变冷呢？假如你想建一个较精细的模型，你当然应当把水池、空气等吸热的因素都考虑进去，但餐馆老板的原意只是想了解一下一池热水平均大约可以洗多少盘子，杀鸡焉用牛刀？

第十五页，共二十一页，2022年，8月28日不妨可以提出以下

简化假设：（1）水池、空气吸热不计，只考虑盘子吸热，盘子的大小、材料相同（2）盘子初始温度与气温相同，洗完后的温度与水温相同（3）水池中的水量为常数，开始温度为T1，最终换水时的温度为T2（4）每个盘子的洗涤时间△T是一个常数。（这一假设甚至可以去掉不要）根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。

第十六页，共二十一页，2022年，8月28日

可见，假设条件的提出不仅和你研究的问题有关，还和你准备利用哪些知识、准备建立什么样的模型以及你准备研究的深入程度有关，即在你提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了。

第十七页，共二十一页，2022年，8月28日例4某人住在某公交线附近，该公交线路为在A、B两地间运行，每隔10分钟A、B两地各发出一班车，此人常在离家最近的C点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现象：在绝大多数情况下，先到站的总是由B去A的车，难道由B去A的车次多些吗？请你帮助他找一下原因。AB发出车次显然是一样多的，否则一处的车辆将会越积越多。

由于距离不同，设A到C行驶31分钟，B到C要行驶30分钟，考察一个时间长度为10分钟的区间，例如，可以从A方向来的车驶离C站时开始，在其后的9分钟内到达的乘客见到先来的车均为B开往A的，仅有最后1分钟到达的乘客才见到由A来的车先到。由此可见，如果此人到C站等车的时间是随机的，则他先遇上B方向来的车的概率为90%。第十八页，共二十一页，2022年，8月28日例5飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑匣子的方法。黑匣子上有定位信标，相当于无线电发射机,，在事故后可以自动发射出特定频率，以便搜寻者溯波寻找。

黑匣子所在方向很容易确定，关键在于确定距离。黑匣子发射射线的强度。

第十九页，共二十一页，2022年，8月28日方法一点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的距离的平方成反比，即设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2，两测量点间的距离为a，则有第二十页，共二十一页，2022年，8月28日方法二在方法一中，两检测点与黑匣子位于一直线上，这一点比较容易做到，主要缺点是结果对照度测量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在A点测得黑匣子方向后，到B点再测方向，AB