物理新设计教科版选修31讲义静电场习题课三

14/1515/15/习题课三带电粒子在电场中的运动带电粒子在电场中的直线运动[要点归纳]1.关于带电粒子在电场中的重力(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或有明确的暗示以外，此类粒子一般不考虑重力(但并不忽略质量)。(2)带电微粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力。2.加速问题处理的方法和思路(1)根据带电粒子所受的力，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等。(2)一般应用动能定理来处理问题，若带电粒子只受电场力作用：①若带电粒子的初速度为零，则qU＝eq\f(1,2)mv2，末速度v＝eq\r(\f(2qU,m))。②若粒子的初速度为v0，则qU＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，末速度v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋\f(2qU,m))。[精典示例][例1]一个电子(质量为9.1×10－31kg，电荷量为1.6×10－19C)以v0＝4.0×107m/s的初速度沿着匀强电场的电场线方向飞入匀强电场，已知电场强度大小E＝2.0×105N/C，不计重力，求：(1)电子在电场中运动的加速度大小；(2)电子进入电场的最大距离；(3)电子进入电场最大距离的一半时的动能。解析(1)电子沿电场线的方向飞入，仅受电场力作用，做匀减速运动，由牛顿第二定律得：qE＝ma，得a＝eq\f(qE,m)＝3.5×1016m/s2。(2)电子做匀减速直线运动，由运动学公式得：veq\o\al(2,0)＝2ax所以x＝eq\f(veq\o\al(2,0),2a)＝2.28×10－2m。(3)电子进入电场最大距离的一半时的动能为Ek，根据动能定理得－eE·eq\f(1,2)x＝Ek－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，代入数据得Ek＝3.6×10－16J。答案(1)3.5×1016m/s2(2)2.28×10－2m(3)3.6×10－16J1.带电粒子在电场中做直线运动(1)匀速直线运动：此时带电粒子受到的合外力一定等于零，即所受到的电场力与其他力平衡。(2)匀加速直线运动：带电粒子受到的合外力与其初速度方向同向。(3)匀减直线运动：带电粒子受到的合外力与其初速度方向反向。2.分析带电粒子在电场中做直线运动的方法(1)动力学方法——牛顿运动定律、匀变速直线运动公式。(2)功和能方法——动能定理。(3)能量方法——能量守恒定律。[针对训练1](多选)如图1所示，M、N是真空中的两块平行金属板，质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v0由小孔进入电场，当M、N间电压为U时，粒子恰好能到达N板。如果要使这个带电粒子到达M、N板间距的eq\f(1,2)后返回，下列措施中满足要求的是(不计带电粒子的重力)()图1A.使初速度减为原来的eq\f(1,2)B.使M、N间电压加倍C.使M、N间电压提高到原来的4倍D.使初速度和M、N间电压都减为原来的eq\f(1,2)解析由题意知，带电粒子在电场中做减速运动，当粒子恰好能到达N板时，由动能定理可得－qU＝－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)。要使粒子到达两极板中间后返回，设此时两极板间电压为U1，粒子的初速度为v1，则由动能定理可得－qeq\f(U1,2)＝－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，联立两方程得eq\f(U1,2U)＝eq\f(veq\o\al(2,1),veq\o\al(2,0))，选项B、D正确。答案BD带电粒子在电场中的偏转[要点归纳]1.进入电场的方式：以初速度v0垂直于电场线方向进入匀强电场。2.受力特点：静电力大小恒定，且方向与初速度v0的方向垂直。3.运动规律(如图2所示)：图2偏转角度θ满足：tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(qUl,mdveq\o\al(2,0))4.带电粒子偏转的两个结论(1)粒子从偏转电场射出时，其速度v的反向延长线过水平位移的中点。(2)不同的带电粒子(电性相同)，若经同一电场(加速电压为U1)加速后，又进入同一偏转电场(电压为U2)，则它们的运动轨迹必定重合。证明：(1)作粒子速度的反向延长线，设交于O点，O点与电场边缘的距离为x，则x＝eq\f(y,tanθ)＝eq\f(qUl2,2dmveq\o\al(2,0))·eq\f(dmveq\o\al(2,0),qUl)＝eq\f(l,2)，即粒子好像从极板间eq\f(l,2)处沿直线射出，如图3所示。图3(2)粒子经加速后的速度v0＝eq\r(\f(2qU1,m))，故偏移量y＝eq\f(qU2l2,2dmveq\o\al(2,0))＝eq\f(qU2l2,4dqU1)＝eq\f(U2l2,4dU1)，偏转角tanθ＝eq\f(U2l,2U1d)即偏移量y和偏转角θ都与m、q无关。[精典示例][例2]如图4所示，粒子发生器发射出一束质量为m，电荷量为q的粒子，从静止经加速电压U1加速后获得速度v0，并沿垂直于电场方向射入两平行板中央，受偏转电压U2作用后，以某一速度离开电场，已知平行板长为L，两板间距离为d，求：图4(1)粒子从静止经加速电压U1加速后，获得的速度v0；(2)粒子在偏转电场中运动的时间t；(3)粒子在离开偏转电场时纵向偏移量y。解析(1)由动能定理得W＝qU1＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得v0＝eq\r(\f(2qU1,m))。(2)粒子在偏转电场中水平方向做匀速直线运动，运动时间为t，且L＝v0t解得t＝eq\f(L,v0)＝Leq\r(\f(m,2qU1))(3)粒子在偏转电场中竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq\f(F,m)＝eq\f(qU2,md)，纵向偏移量y＝eq\f(1,2)at2解得y＝eq\f(L2U2,4dU1)答案(1)eq\r(\f(2qU1,m))(2)Leq\r(\f(m,2qU1))(3)eq\f(L2U2,4dU1)[针对训练2]一束电子流在经U＝5000V的加速电压加速后，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场，如图5所示。若两板间距离d＝1.0cm，板长l＝5.0cm，那么，要使电子能从平行板间飞出，两个极板上最大能加多大电压？图5解析加速过程中，由动能定理有eU＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)进入偏转电场，电子在平行于板面的方向上做匀速直线运动l＝v0t在垂直于板面的方向电子做匀加速直线运动，加速度a＝eq\f(F,m)＝eq\f(eU′,dm)，偏移的距离y＝eq\f(1,2)at2电子能飞出的条件y≤eq\f(d,2)联立解得U′≤eq\f(2Ud2,l2)＝eq\f(2×5000×1.0×10－4,（5.0×10－2）2)V＝4.0×102V即要使电子能飞出，两极板上所加电压最大为400V。答案400V带电粒子在交变电场中的运动[要点归纳]1.当空间存在交变电场时，粒子所受电场力方向将随着电场方向的改变而改变，粒子的运动性质也具有周期性。2.研究带电粒子在交变电场中的运动需要分段研究，并辅以v－t图像，特别注意带电粒子进入交变电场时的时刻及交变电场的周期。[精典示例][例3]如图6甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器板长和板间距离均为L＝10cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图像如图乙所示。(每个电子穿过平行板的时间都极短，可以认为电压是不变的)求：图6(1)在t＝0.06s时刻，电子打在荧光屏上的何处；(2)荧光屏上有电子打到的区间有多长？解析(1)电子经电场加速满足qU0＝eq\f(1,2)mv2，经电场偏转后侧移量y＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(1,2)·eq\f(qU偏,mL)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,v)))eq\s\up12(2)，所以y＝eq\f(U偏L,4U0)，由图知t＝0.06s时刻U偏＝1.8U0，所以y＝4.5cm。设打在屏上的点距O点的距离为Y，满足eq\f(Y,y)＝eq\f(L＋\f(L,2),\f(L,2))，所以Y＝13.5cm。(2)由题意知电子侧移量y的最大值为eq\f(L,2)，所以当偏转电压超过2U0，电子就打不到荧光屏上了，所以荧光屏上电子能打到的区间长为3L＝30cm。答案(1)打在屏上的点位于O点上方，距O点13.5cm(2)30cm(1)注意电场的大小、方向是做周期变化的。(2)电子穿越平行板的时间极短，认为电压是不变的。(3)当U>0时，电子向上偏转，U<0时，电子向下偏转，因此荧光屏上电子能打到的区间是关于点O对称的。[针对训练3](多选)带正电的微粒放在电场中，场强的大小和方向随时间变化的规律如图7所示。带电微粒只在电场力的作用下由静止开始运动，则下列说法中正确的是()图7A.微粒在0～1s内的加速度与1～2s内的加速度相同B.微粒将沿着一条直线运动C.微粒做往复运动D.微粒在第1s内的位移与第3s内的位移相同解析设粒子的速度方向、位移方向向右为正，作出粒子的v－t图像如图所示。由图可知选项B、D正确。答案BD1.(带电粒子在电场中的加速)两平行金属板相距为d，电势差为U，一电子质量为m，电荷量为e，从O点沿垂直于极板的方向射出，最远到达A点，然后返回，如图8所示，OA＝h，此电子具有的初动能是()图8A.eq\f(edh,U) B.edUhC.eq\f(eU,db) D.eq\f(eUh,d)解析电子从O点到A点，因受电场力作用，速度逐渐减小。根据题意和题图判断，电子不计重力仅受电场力，由动能定理得－eUOA＝－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)。因E＝eq\f(U,d)，UOA＝Eh＝eq\f(Uh,d)，故eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝eq\f(eUh,d)。所以D正确。答案D2.(带电粒子的偏转)如图9所示，两极板与电源相连接，电子从负极板边缘垂直电场方向射入匀强电场，且恰好从正极板边缘飞出，现在使电子入射速度变为原来的两倍，而电子仍从原位置射入，且仍从正极板边缘飞出，则两极板的间距应变为原来的()图9A.2倍 B.4倍 C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析电子在两极板间做类平抛运动，水平方向l＝v0t，t＝eq\f(l,v0)，竖直方向d＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(qUl2,2mdveq\o\al(2,0))，故d2＝eq\f(qUl2,2mveq\o\al(2,0))，即d∝eq\f(1,v0)，故C正确。答案C3.(带电粒子在交变电场中的运动)(多选)如图10甲所示，平行金属板中央有一个静止的电子(不计重力)，两板间距离足够大。当两板间加上如图乙所示的交变电压后，下列四个选项中的图像，反映电子速度v、位移x和加速度a三个物理量随时间t的变化规律可能正确的是()图10解析由AB板间所加电压的周期性可推知粒子加速度的周期性，D项正确；由v＝at可知，A项正确，C项错误；由x＝eq\f(1,2)at2知x－t图像应为曲线，B项错误。答案AD4.(带电粒子的“加速＋偏转”)如图11所示，有一电子(电量为e)经电压U0加速后，进入两板间距为d、电压为U的平行金属板间。若电子从两板正中间垂直电场方向射入，且正好能穿过电场，求：图11(1)金属板AB的长度；(2)电子穿出电场时的动能。解析(1)设电子飞离加速电场时速度为v0，由动能定理eU0＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)①设金属板AB的长度为L，电子偏转时间t＝eq\f(L,v0)②电子在偏转电场中产生偏转加速度a＝eq\f(eU,md)③电子在电场中偏转y＝eq\f(1,2)d＝eq\f(1,2)at2④由①②③④得L＝deq\r(\f(2U0,U))(2)设电子穿过电场时的动能为Ek，根据动能定理得Ek＝eU0＋eeq\f(U,2)＝e(U0＋eq\f(U,2))。答案(1)deq\r(\f(2U0,U))(2)e(U0＋eq\f(U,2))基础过关1.下列带电粒子均从静止开始在电场力作用下做加速运动，经过相同的电势差U后，哪个粒子获得的速度最大()A.质子eq\o\al(1,1)H B.氘核eq\o\al(2,1)HC.α粒子eq\o\al(4,2)He D.钠离子Na＋解析四种带电粒子均从静止开始在电场力作用下做加速运动，经过相同的电势差U，故根据动能定理，qU＝eq\f(1,2)mv2－0，得v＝eq\r(\f(2qU,m))，由上式可知，比荷eq\f(q,m)越大，速度越大；显然质子的比荷最大，故A正确。答案A2.(多选)平行的两个极板与水平地面成一角度，两极板与一直流电源相连。若一带电粒子恰能沿图1所示水平直线通过两极板，则在此过程中，该粒子()图1A.所受重力与电场力平衡B.电势能逐渐增加C.动能逐渐增加D.做匀变速直线运动解析带电粒子在平行板之间受到两个力的作用，一是重力mg，方向竖直向下；二是电场力F＝qE，方向垂直于极板向上。因二力均为恒力，已知带电粒子做直线运动，所以此二力的合力一定在粒子运动的直线轨迹上，根据牛顿第二定律可知，该粒子做匀减速直线运动，选项D正确，选项A、C错误；从粒子运动的方向和电场力的方向可判断出，电场力对粒子做负功，粒子的电势能增加，选项B正确。答案BD3.(2017·晋城高二检测)如图2所示，在A板附近有一电子由静止开始向B板运动，则关于电子到达B板时的速率，下列解释正确的是()图2A.两板间距越大，加速的时间就越长，则获得的速率越大B.两板间距越小，加速的时间就越长，则获得的速率越大C.获得的速率大小与两板间的距离无关，仅与加速电压U有关D.两板间距离越小，加速的时间越短，则获得的速率越小解析由动能定理可得eU＝eq\f(1,2)mv2，即v＝eq\r(\f(2eU,m))，v的大小与U有关，与极板距离无关，C正确。答案C4.在空间有正方向水平向右、大小按如图3所示的图线变化的电场，位于电场中A点的电子在t＝0时速度为零，在t＝1s时，电子离开A点的距离大小为l。那么在t＝2s时，电子将处在()图3A.A点B.A点左方l处C.A点右方2l处D.A点左方2l处解析第1s内电场方向向右，电子受到的电场力方向向左，电子向左做匀加速直线运动，位移为l；第2s内电子受到的电场力方向向右，由于电子此时有向左的速度，因而电子继续向左做匀减速直线运动，根据运动的对称性，位移也是l，t＝2s时总位移为2l，方向向左。答案D5.如图4所示，a、b两个带正电的粒子，以相同的速度先后垂直于电场线从同一点进入平行板间的匀强电场后，a粒子打在B板的a′点，b粒子打在B板的b′点，若不计重力，则()图4A.a的电荷量一定大于b的电荷量B.b的质量一定大于a的质量C.a的比荷一定大于b的比荷D.b的比荷一定大于a的比荷解析粒子在电场中做类平抛运动，h＝eq\f(1,2)·eq\f(qE,m)(eq\f(x,v0))2得：x＝v0eq\r(\f(2mh,qE))。由v0eq\r(\f(2hma,Eqa))＜v0eq\r(\f(2hmb,Eqb))得eq\f(qa,ma)＞eq\f(qb,mb)，选项C正确。答案C6.如图5所示，有一带电粒子贴着A板沿水平方向射入匀强电场，当偏转电压为U1时，带电粒子沿轨迹①从两板正中间飞出；当偏转电压为U2时，带电粒子沿轨迹②落到B板中间；设粒子两次射入电场的水平速度相同，则两次偏转电压之比为()图5A.U1∶U2＝1∶8 B.U1∶U2＝1∶4C.U1∶U2＝1∶2 D.U1∶U2＝1∶1解析由y＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(1,2)·eq\f(qU,md)·eq\f(l2,veq\o\al(2,0))，得U＝eq\f(2mveq\o\al(2,0)dy,ql2)，所以U∝eq\f(y,l2)，可知A项正确。答案A7.如图6所示，水平放置的A、B两平行板相距h，上板A带正电，现有质量为m、带电荷量为＋q的小球在B板下方距离B板为H处，以初速度v0竖直向上从B板小孔进入板间电场。图6(1)带电小球在板间做何种运动？(2)欲使小球刚好打到A板，A、B间电势差为多少？解析(1)带电小球在电场外只受重力的作用做匀减速直线运动，在电场中受重力和静电力作用做匀减速直线运动。(2)整个运动过程中重力和静电力做功，由动能定理得－mg(H＋h)－qUAB＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得UAB＝eq\f(m[veq\o\al(2,0)－2g（H＋h）],2q)。答案(1)做匀减速直线运动(2)eq\f(m[veq\o\al(2,0)－2g（H＋h）],2q)能力提升8.如图7所示，两分别带有正负电荷的平行金属板相距l，在正极板附近有一质量为M、电荷量为q(q>0)的粒子；在负极板附近有另一质量为m、电荷量为－q的粒子。在电场力的作用下，两粒子同时从静止开始运动。已知两粒子同时经过一平行于正极板且与其相距eq\f(2,5)l的平面。若两粒子间相互作用力可忽略，不计重力，则M∶m为()图7A.3∶2 B.2∶1 C.5∶2 D.3∶1解析两粒子同时从静止开始，在电场力作用下做匀加速直线运动，同时经过某一平面，它们在相同时间内位移之比为2∶3，根据x＝eq\f(1,2)at2，可知它们的加速度之比为2∶3。粒子受到的电场力F＝qE，结合牛顿第二定律得a＝eq\f(F,m)，由于两粒子所受电场力大小相等，故质量之比应为3∶2，A正确。答案A9.(多选)如图8所示，一电子沿x轴正方向射入匀强电场，在电场中的运动轨迹为OCD，已知eq\o(OA,\s\up6(－))＝eq\o(AB,\s\up6(－))，电子过C、D两点时竖直方向的分速度为vCy和vDy；电子在OC段和OD段动能的变化量分别为ΔEk1和ΔEk2，则()图8A.vCy∶vDy＝1∶2 B.vCy∶vDy＝1∶4C.ΔEk1∶ΔEk2＝1∶3 D.ΔEk1∶ΔEk2＝1∶4解析电子沿Ox轴射入匀强电场，做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，已知eq\o(OA,\s\up6(－))＝eq\o(AB,\s\up6(－))，则电子从O到C与从C到D的时间相等。电子在竖直方向上做初速度为零的匀加速运动，则有vCy＝atOC，vDy＝atOD，所以vCy∶vDy＝tOC∶tOD＝1∶2，故A正确，B错误；根据匀变速直线运动的推论可知，在竖直方向上：yOC∶yOD＝1∶4，根据动能定理得ΔEk1＝qEyOC，ΔEk2＝qEyOD，解得ΔEk1∶ΔEk2＝1∶4，故C错误，D正确。答案AD10.如图9所示为示波管中偏转电极的示意图，间距为d，长度为l的平行板A、B加上电压后，可在A、B之间的空间中(设为真空)产生电场(设为匀强电场)。在A、B等距离处的O点，有一电荷量为＋q、质量为m的粒子以初速度v0沿水平方向(与A、B板平行)射入(如图)，不计重力，要使此粒子能从C处射出，则A、B间的电压应为()图9A.eq\f(mveq\o\al(2,0)d2,ql2) B.eq\f(mveq\o\al(2,0)l2,qd2) C.eq\f(lmv0,qd) D.qeq\f(v0,dl)解析带电粒子只受电场力作用，在平行板间做类平抛运动。设粒子由O到C的运动时间为t，则有l＝v0t。设A、B间的电压为U，则偏转电极间的匀强电场的场强E＝eq\f(U,d)，粒子所受电场力F＝qE＝eq\f(qU,d)，根据牛顿第二定律得粒子沿电场方向的加速度a＝eq\f(F,m)＝eq\f(qU,md)。粒子在沿电场方向做匀加速直线运动，位移为eq\f(1,2)d，由匀加速直线运动的规律得eq\f(d,2)＝eq\f(1,2)at2，解得U＝eq\f(mveq\o\al(2,0)d2,ql2)，A正确。答案A11.如图10所示，