第四章 跨音速定常小扰动势流混合差分方法及隐式近似因式分

第四章跨音速定常小扰动势流混合差分方法及隐式近似因式分解法

chapter4TheMixedFiniteDifferenceMethod(FDM)forVelocityPotentialFunctionofSteadySmallPerturbationandImplicitApproximateFactorDecompositionMethods主要内容：maincontents混合差分解法MixedPDMethod小扰动方程及小扰动激波差分式

Smallperturbationequationandsmallperturbationrelationshipforshockflow小扰动速势差分方程

Thefinitedifferentialequationofsmallperturbationpotentialfunction边界条件及边界条件的嵌入Theinitialconditionandboundarycondition线松弛迭代解法Linearrelaxationiterationmethod升力翼型的跨音速小扰动势流差分方法FDmethodofvelocitypotentialfunctionforsmallperturbation隐式近似因子分解法ApproximatefactordecompositionmethodAF1方法AF1methodAF2方法AF2method

方法比较Comparisonofthemethod重点：Focus混合差分方法MixedFDMethod

难点：Difficulty隐式近似因子分解法ImplicitApproximatefactorydecomposition第四章跨音速定常小扰动势流混合差分方法及隐式近似因式分解法

chapter4TheMixedFiniteDifferenceMethodforVelocityPotentialFunctionofSteadySmallPerturbationandImplicitApproximateFactorDecompositionMethods跨音速流：局部超音区与亚音速同时存在的流场Transonicflow：Localsupersonicflowandsupersonicflowexistsmeantime偏微分方程：混合型方程ThePDE：Mixedtypeequation混合差分方法：用不同的差分方程求解跨声速流场

MixedFinitedifferencemethodistosolvetransonicflowwithdifferentFDMs混合型方程及流场：采用迭代方法求解，求解之前不知道方程的类型MixedEquationandflowfield,theiterativemethodisusedbecausethetypeoftheequationisunknownbeforeitwassolved小扰动方程：小马赫（0.6~1.4）流过薄而微变的叶片（机翼或叶栅）时全速势方程可简化为小扰动方程

Smallperturbationequation(SPE):whenmachnumberissmall(ie0.6~1.4)thefullvelocitypotentialequationcanbesimplifiedtoSPE混合差分:用混合差分格式求解小扰动方程MixedFDM:TosolveequationusingMFDM混合差分和松弛迭代法求解全速势方程MixedFDMandRelaxationiteration:Tosolvefullvelocitypotentialequation.优缺点：Advantage/disadvantage

跨音速松弛法---速度快，有效Transonicrelaxationmethodfasterefficient

时间推进法：适用范围广Timematchingmethods,widelyusage

近似因子分解法：快速Approximatefactordecomposition：faster

多层网格法：收敛性好Multi-gridtechnique：goodconvergence4.1跨声速小扰动速度势方程Equationoftransonicsmallperturbationvelocitypotentialfunction跨声速气流绕过薄翼的情况Forthecaseoftransonicflowpassathinairfoil二维平面速势方程2Dvelocitypotentialequation气流绕过薄翼适用范围：亚、跨、超音速无旋流动Suitable

case：subsonic，transonic，supersonic

irr-rotational

flow.将流动分解为两部分：未经扰动的流动、扰动流动To

decomposetheflowintounperturbedflowand

perturb

flow未经扰动的流动就是无穷远前方来流Flow

atunperturbedfieldsisfarfieldflow扰动运动速度势可以用表示。速度可以用表示Potentialfunctionofperturbationflowis，perturbationvelocitycomponents两部分的合速度势Thetotalvelocitypotentialfunction代入速势方程可得小扰动速度应满足的方程Substitutetheequationandthenthesmallperturbationeq.求得速度场之后，可以得到压强及压强系数为Thepressureandpressurecoefficientcanbeobtainedfromthefollowingequations.再用等熵流动的关系式可得到其他参数

Thenintroduce

the

isentropy

relationtogetotherparameters比热比绝热指数小扰动条件下，扰动速度远小于自由来流速度

on

smallperturbationcondition,theperturbationvelocityless

than

free

stream补充条件：

Supplement

conditions来流不能接近音速incoming

flow

velocitydoes

not

approach

sonic

来流非高超声速incoming

flow

velocitydoes

not

approach

hypersonic为进一步简化扰动方程，忽略扰动速度一次项，可得到下列关系：Simplified

equation最后得到：

Final

equation应用范围:亚、超声速

Suitable

for

subsonic

and

supersonic不适用于跨声速区域:对于跨声速≈1，必须取消补充假设条件，即取消来流不能接近音速的假设，这时速势方程首项的系数一次项不能忽略

For

transonic

flow

field

(M≈1)，the

supplement

condition，the

first

item

of

the

potential

function

equation

can

not

be

neglected.

跨声速小扰动方程应为：Thesmall

perturbation

equation

of

velocity

function可以证明：当M∞→1时，

It’sproved,whenM∞→1,因此跨声速条件下，小扰动方程可以写成Sothatthesmallperturbationequationattransonicflowcanbewrittenas此方程的类型取决于：Typeoftheequationdependson=B2-4AC=4(M2-1)当M<1时,<0,不存在实特征根，没有特征线，为椭圆型WhenM<1,norealeigenvalueexists,thatisnocharacterline,theequ.iselliptic.当M>1时,>0,存在两个特征根，有两条特征线，为双曲型WhenM>1,therearetwoeigenvalue,twocharacterlines,theequ.ishyperboliceq.当M=1时,=0,存在一个特征根，有一条特征线，为抛物型WhenM=1,thereisoneeigenvalue,onecharacteristicline,theequ.isparabolic

特征线(当M>1时)：斜率

Theslopeofcharacteristicline特征线与x轴夹角为局部马赫角，对称于x轴。LocalMachangleistheanglebetweenvelocityvectorandthecharacteristiclinexyoqr’pq’r影响区依赖区是马赫角issocallMachangle

影响区：P点下游由两条特征线所夹的区域Influencezone:

upwindzonebetweencharacteristiclines依赖区：P点上游由两条特征线所夹的区域Dependzonedownstreamzonebetweenthecharacteristiclines扰动下的压强系数公式

Thepressurecoefficientonsmallperturbationcondition§4-2小扰动激波关系式Theshockrelationsofsmallperturbation.

等熵激波小扰动激波的熵增是三阶小量Forsmallperturbationshock,entropyincreaseisthirdorder，soitisisentropyshock。

激波的精确速度关系式：Accuratevelocityrelationofshock激波前后的速度关系式（几何关系）Velocityrelationsinfront/rear-shock即

对于直角坐标系AtCartesiancoordinates

因此sothat由能量方程可得Fromenergyequation由此得到M∞→1时的方程（跨声速中）Fromwhere,theequationwhenM∞→1,(transonicflow)超声速中Atsupersonicflow适用范围：激波前后小扰动方程，适用于等熵波

Aboveeqs.areavailableforsmallperturbationflowinfront/behindoftheshock,i.e.,iso-entropyflow§4-3跨声速小扰动速势差分方程

Smallperturbationequationfortransonicflow

混合性方程，在同一流场中不同点所用的差分方程不同。Mixedequation,differentFDEisusedforthescheme一、中心差分格式

CenteralFDEschemeflowfield

对速度势Forvelocitypotentialfunction一阶导数的差分格式Firstorderdifferenceequationisobtainedas二阶导数的差分格式Plustwoequations,andget2edorderPD二阶精度

2ndorder在超音速流中，气流参数只受上扰动游影响与下游扰动无关。Atsupersonicflow,theparametersofflowaredependentonupwindperturbationandindependentondownflowperturbation需建立迎风一侧差分格式TheupwindonesideFDschemeisneededtobuilt

取上游一侧的点构成差分格式TaketheupwindpointtoconstructFDscheme一阶精度迎风格式1storderupwindscheme二阶精度迎风格式2ndorderupwindscheme二、一侧差分格式Oneside

FDEofthederivatives三、亚音速点的差分方程Atsubsonicflowequation取网格点如图：正交等间距网格Thespacenodesareshownas中心差分格式构成的差分方程即受周围四点的影响，这是亚声速流动的特点iseffectbyaroundfourpoints,thisissubsonicfeature

四、超声速点的差分方程FDEforsupersonicflow当计算点为超音速（M大于1）时，方程为双曲线型Whenlocalsupersonicflowappear,theequationis

hyperbolic存在依赖区（上游马赫锥内部）Thedependencezoneexists,(upmachcore)对y的差分可以用中心格式Thecenturialdifferenceisusedforthederivativewithspedtoy对x的差分要用迎风格式UpwindschemeisusedforX-direction显示格式：差分式取，而不用线法Explicitscheme每次都用i网格线上的已知值，可以从左到右逐点计算Theknownvalueisusedtocalculatethevalueateverynodesequently隐式格式：利用当前网格线上的值构筑差分方程Implicitscheme:usingpresentvaluetoconstructFDE

具有三个未知量（在网格线i上）

Wherethereare3unknownpoints显式比隐式方便Explicitlyschemeismoreconvenientthanimplicitscheme显式格式稳定区域小Thestabilityzoneofexplicitissmallerthanthatofimplicitly稳定性和收敛性

Stabilityandconvergence收敛性：当步长趋于零时，差分方程解趋于微分方程解Convergence:whensteplengthtendstozero,thesolutionofthePDFtendstothesolutionofPDE稳定性：差分误差在传播过程中有界且逐渐减小Stability:theerrorislimitedordecreased对波动方程（双曲型）：稳定性条件是差分方程依赖区不小于微分方程的依赖区Forviberation

Eq,thestabilityconditionisthatthedependentzoneofPDElessthanthatofPDE对超声速势函数

Forpotentialvelocityfuction

差分方程依赖区半顶角ThehalfconicalangleThedependentzoneoftheFDE微分方程的半顶角theangleofthedependentzone差分方程稳定条件为对于跨声速势流，不满足稳定条件，因为Fortransonicflow,thestabilityconditionisnotsatisfied跨声速势流不能用显示格式

sotransonicpotentialfunctioncannotsolvewithexplicitmethod隐式格式的依赖范围大于微分方程的依赖范围ThedependentzoneofimplicitschemeisgreatthanthatofPEDJ+1JJ-1双曲方程差分采用一侧隐式格式Forhyperbolicequation,onesideimplicitlyschemeisused五、音速点的差分方程Thefinitediffenceatsonicpoints

当M=1时，方程为抛物性，存在一族特征线WhenM=1,theequationisparabolic,thereexistaseriesofcharacteristline速度势方程化为potentialequationbecome

Subsonic采用差分方程可以写成UsingFDE六、速度判别式Velocitycriticalcondition

四种情况:

Fourcases

亚声速sub亚声速sub

超声速supe超声速super

亚声速sub超声速super

超声速super亚声速subsupersupersonicairfoilⅠⅡⅢ：过渡连续

continuallychanges

Ⅳ：出现激波参数不连续theshockappears,parametersarediscontinous

Ⅲ：有音速线存在Thereexistssonicpoints逐点判别：根据系数进行判别Judgeaccordingtothecoefficientof情况的值的值Ⅰ>0>0亚-亚声速subsonicⅡ<0<0超-超声速supersonicⅢ>0<0亚-超声速sonicⅣ<0>0超-亚声速subsonic中心差分一侧差分A

(i,j)点性质对应的差分方程any亚音速subsonic超音速supersonic音速点sonic差分方程形式PDEform七.跨声速小扰动激波的差分方程

PDEfortransonicsmallperturbationshockflow激波处：速度由超声速过渡到亚声速Atshock,theflowtransferfromsupersonictosubsonic激波前流场均匀（近似）

Infrontoftheshock,theflowisuniformsupersonicflowi,ji-1ii+1j+1i-1ji,j+1i+1,j+1i+1,ji-1shock激波后流场均匀（近似）Aftertheshock，theflowisalsouniform差分方程（跨声速小扰动方程的差分形式）FDE(Transonicsmallperturbationflow)对无旋流动（无旋条件）Conditionofirrotationalflow

其差分形式ItsFDform

考虑了无旋条件的扰动速度差分方程Afterconsideringtheirrotatationalconditionthesmallperturbationequationbecomes讨论：discussion：

跨声速区小扰动激波差分方程与小扰动激波关系相同八、超音速点差分方程的人工粘性

artificial

viscous

for

supersonicFDE速势方法假设了流场均为等熵流The

velocitypotentialmethodassumethattheflowisiso-entropy导致流场间断解不唯一（可由亚-超，也可由超-亚）Itleadsto

non-unique

solution如果采用迎风格式（单侧差分），则只适合压缩突跃（由超-亚），不可能出现膨胀解。Continuous

solution，if

theupwindschemeisused,thesolutiononlysuitableforcompressiblesharpincrease(shock),notsuitableforsharpdecrease.超声速点差分方程（迎风格式）FDE

of

thepotentialequationatsupersonicflow原因：采用1阶迎风格式1st

order

upwind

scheme应用当地M数改成相对应的微分方程UsinglocalMachnumberMtorewritethePDEthen其中类似于跨音速小扰动粘性流方程中的粘性项。称为人工粘性

Where

issimilarastheviscousformofsmallpertubationequation,socalleditartificialviscous差分方程的解只含压缩突跃，即激波（是熵增过程）PDEonlyincludescompressedshapechange(wheretheentropycreases)不可能产生膨胀突跃（即熵减过程）Notsuitableforexpandingshapechange(whereentropydecreases)4.4边界条件及其嵌入

EmbedingofBoundaryconditions一、边界条件(BoundaryCondition)1.物面：无粘，无穿透条件onwallnonormalvelocity对于翼型（叶栅），设物面方程为，则定常流动边界条件即：若翼型上下表面可表示为则速度分量可写成

上表面的边界条件为BConupsurfaceis其中，,为扰动速度Where,istheperturbationvelocitycomponents对于薄翼型Forthinwing小迎角下，时ForsmallAOA,when故上表面(onupsurface)或写成orbewrittenas

同理，对于下表面meantimeforlowerside综合上下表面可以写成以下小扰动方程翼型上下表面边界条件Considerupperandlowersideofairfoil,thesmallperturbationssatisfyfollowingcondition2.库塔条件（后缘边界条件）Kuttacondition(trailingedgecondition)上下表面流线在后缘尖点平滑汇合thestreamlinesonupsideandLower-sidesmoothlysinksattrailingedge在受气动载荷时，速度势在后缘不连续，形成间断面。Undertheaerodynamicloads,velocitypotentialfunctionattractingedgeisdiscontinuous在这条间断面上必须满足Onthediscontinuitysurface，whatmustsatisfyis。。后上下c

(1)上下压强相等

the

pressureonup

andlowersideofairfoilisequal

(2)速度方向相同，大小不同

the

direction

ofvelocityareconsistent,butthevalueofthevelocityisnotequal

小扰动条件下，因此上述方程可写成：

forsmallperturbation,aboveequationscanbewrittenas:

经间断面速度势变化称为环量

through

the

section

surface

the

velocity

potential

function

changes

is

circulation.3.远场条件Farfieldcondition用有限远代替无限远场，扰动速度势的近似条件为：usinglimitedfarfieldreplacetherealfarfieldperturbationvelocitypotentialfunctionBCcanbewrittenas:二、边界条件的嵌入Embedingoftheboundarycondition边界点上速度势应同时满足边界条件和速势方程OnboundarythevelocitypotentialfunctionsatisfyboththeBCandthepotentialEq.1.物面边界嵌入Embedingofwallboundarycondition翼型上表面Ontheairfoilsurface将速势拓延到边界的另一侧（i，j-1）Extendthevelocitypotentialfunctiontoothersideofboundary即Or边界点的中心差分Thecentraldifferenceonboundary利用边界条件得到：UsingBCthenget2.库塔条件的嵌入EmbeddingofKuttacondition增加新方程使上下表面上相同，即Additionalnewequationtomakeconsistentonupandlowersurface3.远场条件的嵌入Embeddingoffarfieldcondition根据具体问题特点建立运动场的计算方法Tofoundthecomputationmethodaccordingtothecharacterofcertainproblem对于自由绕流，运动速度为，自由来流的速度势为forafreeflowaroundtheairfoil，thefarfieldvelocityis，andthevelocitypotentialfunctionoffreeflowis扰动速度势应满足Thereforetheperturbationvelocitypotentialsatisfy§4.5线松弛迭代解法

Thelinerelaxationiterationmethod一、非线性代数方程的迭代解法Iterativemethodfornon-linearequations跨声速小扰动速势方程是非线性的TransonicsmallperturbationequationisnonlinearPDE其差分方程为非线性代数方程，即系数是与函数值或其导数有关ItsFDEisalsononlinearequationthatisitscoefficientsarerelatedtothevariables迭代求解：

Iterationmethod把系数假设成已知量，每次求解之后再重新计算系数,再次求解直到得出收敛解为止.Assumethecoefficientareknownatfirstiteration,thenrecalculatethecoefficientsagainafteronceiteration,repeatiterationuntiltheiterationconvergences二、高阶代数方程的线松弛解法

ThelinerelaxationiterationmethodforHighorderarithmeticlinearequations

高阶线性方程组，线性化后的差分方程

Highorderlinearequations,linearizedFDE阶数为,M为网格点数,n为问题的维数.或阶数M*N*L（M,N,L为空间三坐标方向的网格点数）Theorderoflinear-algebraequationis,whereMisthenumberofthegrids,nisthenumberofdimension.Theorderoflinear-algebraequationisM*N*L,whereM,N,Larenumberofgridsincoordinatesx,yandz松弛迭代：Relaxationiteration

轮流放松流场中的的部分速势，将其假设为未知，其余部分看成已知的,利用线性方程组联立求解

Relaxatethepotentialfunctionsequently,assumethatthepresentpointisunknown,andothersareknown.松弛迭代点松弛：每次把一个点作为未知点Pointrelaxation:onlyonepointisassumedtobeunknown线松弛：每次把一条网格线上的所有点作为未知Linerelaxation:allpointononegridlineareassumedtobeunknown线松弛linerelaxationj线松弛linerelaxationi线松弛法：要求内存较多，方程组的个数减少到一维点数Linerelaxation:requiremorememorysource,thenumberofequationequalstothenumberof1Dpointsij点松弛pointrelaxation逐点松弛：要求内存较少（为线性松弛的倍）,扫描流场中的各个网格点，把周围点均看成是已知点。Sequentpoint:requirelessmemoryresource,onlytimesoflineelaxation.Scanallthegridpointssequently.线松弛方程组可采用三对角矩阵快速解法Forlinerelaxationmethod,thetri-diagonalarraycanbesolvewithquickmethod.三、简单迭代和改进迭代Improvemethodofsimpleiterationmethod简单迭代：迭代公式右端的速度势全部采用前次迭代结果Simpleiteration,allparametersonrighthandareoldvalueoflastiteration.改进迭代：每次迭代都用最新速度势值代替右端项。速度判别式要用简单迭代方式计算，则会导致超临界气流计算振荡发散。Theimprovediterationmethodalwaysusesthenewestvalue,andthevelocitycriteriamustbecalculatedaccordingtothesimpleiterationway,otherwise

thedivergencewilloccuratcriticalstate.四、追赶法Thechasemethod求解三对角矩阵线性方程快速方法Itisafastmethodtosolvetri-diagonalmatrix线松弛方法求解方程组Equationforlinerelaxationmethod对于边界点：forboundarypoints上边界upboundary下边界lower

boundaryj=1,2……Ni-1,ji,ji,j-1i,j+1i+1,j对应的系数矩阵为三对角矩阵

追赶法：顺着消去，逆着带入。从上至下消去首项，从下而上代入末项。Thechasemethod：eliminatingsequently，substitutinginversely.Eliminatefromtoptodown，substitutefromdowntoup.五、初场Initialfield

初始值分布：影响收敛速度Initialfielddistributionofparameterswillinfluenceconvergence对亚音速流场：可以选全场速度势为0，即未经扰动Subsonicflowfield：globefieldcanbeputas0，thatistheflowisnotdisturbed对跨音速流场：初值选取需谨慎，合理初场能加速收敛Fortransonicflowinitialvaluemustgivencarefully，thereasonableinitialvaluemightaccelerateconvergence

一般应选用与流场相近的速度势分布Usuallyselectanearsolutionofpotentialfunction可以用相近的亚声速计算结果Theapproximatelysubsonicresultcanbeused六、收敛标准Criterionofconvergence所有点相邻两次计算所得的速势差别的最大值Themaximumdifferencebetweentwoimmediatevicinityiterative可以用与初始比值判别收敛

theratioofcurrentandinitialcanbethecriterion七、超松弛法Superrelaxationmethod加速速度势函数的修正步伐Toacceleratetheconvergence

超松弛

superrelaxation

弱松弛weakrelaxation

八、加密网格法Meshrefinemethod计算精度增加,计算网格数增加Toincreasetheprecision,toincreasethemeshNo.问题复杂度增加TheincreaseofcomplexitytoincreasethemeshNo.计算机时与网格总点数以正比增加computationtimeincreaseasthemeshNo.采用疏密结合的方法可以减少计算时间

Usingcoarse/finemeshmaydecreasecomputationtime加密网格法：先用疏网格数算初始场，加密之后获得精确解meshesrefiningmethod多重网格：先疏后密、再疏；交替使用疏密相间的网格multiplegrid*§4-6绕升力翼型的跨声速小扰动势流差分计算方法FDMforpotentialfunctionoftransonicsmallperturbationflowaroundairfoil一、绕升力翼型的跨声速小扰动方程势流的差分方程Theequationforpotentialfunctionoftransonicsmallperturbationflowaroundairfoil4—7隐式近似因式分解法的基本思想

ThebasicconceptofApproximateDecompositionMethod求解速度势方程的快速收敛解法ItisafastworkingmethodforPotationequationSLOR是显式迭代方法，因此收敛慢SLORisfullexplicitmethod,thusitworksslowly全隐式松弛算法：每次迭代中流场中的任意一点能受到它的依赖区中全部其点的影响

Fullimplicitrelaxationmethod,anypointinflowfieldcanbeinfluencedbyallotherpointsADI(AlternatingDirectionImplicit)交替方向隐式迭代，分为AF1和AF2UsingAF1andAF2基本差分算子：Somebasicfinitedifferencecalculator迎风差分（前差）upwindFD顺风差分（后差）backward/rearwardFD二阶中心差分：2ndordercentralFD二阶一侧迎风差分：upwind2ndonesideFD位移算子：displacement(FD)calculator用位移算子表示差分算子

TheFDexpressedusingdisplacementcalculators差分算子位移：ThedisplacementofFDcalculator差分算子的分解与组合：ThedecompositionandcombinationofFDs差分方程可以用算子表示TheexpressionofFDEusingFDcalculatorL代表未经松弛的差分算子

FDcalculatorrelaxation松弛差分算子N，第n次迭代的修正值为TheFDcalculatorofrelaxationiteration,thecorrectionofnthiteration.算子表达式:

Calculatorexpression当松弛迭代收敛时，，即两者相同Whentheiterationconverged,bothcalculatorarethesame

.

当时，表示其不是差分方程的解，因此表示差分方程满足微分方程的程度。When，denotesthesolutionofFDEisnotthesolutionoftheoriginalPDE，thereforedenotesthedegreeofhowdosetheFDEsatisfythePDE.差分松弛迭代算子的选取原则TheprincipleforseleetingFDcalculator

便于求解，线性，有快速解法convenienceforsolvingequation，linearmethod，fastsolver

稳定，能达到收敛标准stable

高效，N尽可能接近L。

higherefficiency，NapproachingL差分算子的用途：可以清晰的显示差分方程的结构UsageofthePDcalculator，itmakestheFDEsimpleandevident近似因式分解的基本思路ThebasicconsiderationofapproximatedecomposeLaplace方程的差分格式（简单迭代法）TheFDschemeofLaplaceequation（simpleiterationmethod）

改进的迭代法

improvediterationmethod松弛迭代格式

Relaxationiteration

scheme中间值由此then还原为（n）和（n-1）表达式后差分方程还原为ExpresstheFDEusing（n）and（n-1）改进的差分格式为

ImprovementofFDE或（隐式）or(ImplicitForm)引入差分算子，采用差分算子表示，并令IntroducetheFDcalculator,usingFDcalculatorexpression.则松弛迭代法的差分格式为：TheFDschemeofrelaxationiterationis线松弛迭代对应的差分格式FDSrelatedtolinerelaxationiterationis因此超松弛差分算子Thus,thesuper-relaxationFDcalculatorisN分解成两个因式的乘积，则IffactorizeNintotwofactors,then

4-8AF1方法AF1method小扰动速势方程Equationofpotentialfunctionforsmallperturbationflow其中，对亚音速小扰动。可用中心差分格式或隐式方程Where,forsubsonicpoint,thecentralschemecanbeused其中where令Let

则小扰动速势方程的隐式差分格式为Then，theimplicitFDEschemeofthesmallperturbationpotentialis分解第一项系数

Tofactorizethefirstcoefficientterm原系数origin误差error松弛差分算子N可分解成为N1和N2，为加速收敛参数，求解可分两步，

RelaxationPDEcalculatorNcanbefactorizedIntoN1andN2,thesolvingcanbedecomposeintotwosteps

代表中间结果Whereisamiddleresult交替方向隐式差分格式（ADI,or,ApproximateFactorization）

Step1:全场沿X方向线松弛，解三对角矩阵

Xdirectionlinerelaxation,tosolvetrianglematrixStep2:全场方向沿y方向线松弛，也解三对角矩阵

Ydirectionlinerelaxation,tosolveatrianglematrix全隐式格式，对亚声速区适用，称为AF1，

fullimplicitscheme,Forsubsonicit’scallAFI

对超音速点，采用迎风格式Forsupersonicpointstheupwindschemeisused对应两步

Correspondingtwostepsare1.

2.二、AFI的收敛性TheconvergenceofAFI亚音速点（中心差分格式）等价于时间相依方程（将迭代过程看成时间推进）Forsubsonic(centralPDEscheme),thesolvingprecedingisequivalenttoatime-dependentproblem设和，当与系数异号时，差分方程的解收敛于微分方程的解。andhavedifferentsign,thenthePDEconvergestwothePDE三、AF1的稳定性StabilityofAFI采用Vonneumann方法分析误差UsingVoneumannanalyticmethod代入AF1差分方程SubstituteintothePDEofAFI其中where假设，为实数Assume，isrealnumber收敛条件：Theconditionofconvergence即or稳定性条件：

stabilitycondition两个可选参数和，适当选取可以加快收敛Twoparametersandcanbechosencarefullytogetquickconvergence取得到最短迭代次数（）Take,thengetminimiterationtimes对应的最佳选择是：CorrespondingopticalchoiceisAFI中所有的误差Fourier分量均可以同速度下降

AFIerrorcomponentsofFourierseriesmaydecrease超声速点的AF1差分方程等价于（4-8-12），但没有阻尼项

TheAFIforsupersonicpointitequaltoequation（4-8-12）

亚，超声速流混合问题，AF1第一个算子需四对角矩阵求逆Forsub-super-sonicmixedproblem,AFIhastosolvefour-diagonalmatrix,thustheefficiencyislower对此类流动，AF1不是最有效的方法Forsuchflow,AFIisnotthemostefficiencyone§4-9AF2方法

methodofAF2对超声速流增加时间阻尼项，取Forsupersonicflow,thetunedampingistraduced差分算子FDcalculatorwithupwindscheme对超声速点，取：Forsupersonicflowpoint等价的一阶微分方程（时间依存）Equivalent1storderPDE(timedependent)其中，为超声速阻尼项，当时，与系数同号，大小取决于

Where,issupersonicdamping,whenthecofficentofandhavethesamesignandthequantitydependson更加高效（有阻尼）ItishigherefficiencyAF2格式对亚声速流收敛性比AF1差AF2convergenceforsubsonicisworstthanAF1亚，超声速点的两步AF2格式如下：Forsub-supersonicflow,twosteps,AF2havefollowingscheme亚：（y方向线松弛x方向迎风格式）

sub

LinerelaxationinYupwindschemeinX

（x向线松弛x方向顺风格式）