初中数学瓜豆原理

最低系列之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值.本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P,但

最终问题问的可以是另一点Q,当然A。之间存在某种联系，从P点出发探讨。点运动轨迹并求出最值，为常规思路.一、轨迹之圆篇引例轨迹并求出最值，为常规思路.一、轨迹之圆篇引例1：如图，尸是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,考虑：当点。在圆。上运动时，。点轨迹是？V・q4•(。为人尸中点.1【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆。有什么关系?引例2：如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,作AQJ_AP且AQaP.考虑：当点/,在圆。上运动时，。点轨迹是？2T二A二A【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将工〃绕点八逆时针旋转9()。得AQ,故Q点轨迹与P点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径.考虑AP_LAQ,可得。点轨迹圆圆心M满足AMJ_4。；考虑八〃=A0,可得。点轨迹圆圆心M满足,4仰且可得半径即可确定圆M位置，任意时刻均有△APOg/^AQM.

z【模型总结】为了便于区分动点P、Q,可称点P为••主动点”，点。为••从动点，此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（/附。是定值）;主动点、从动点到定点的距离之比是定量（4八八。是定值）.【思考I】：如图，尸是圆。上一个动点，A为定点，连接AF,以AF为一边作等边考虑：当点夕在圆。上运动时，。点轨迹是？【分析】。点满足（1）N以。=60。：（2）故。点轨迹是个圆：考虑/由。=60。，可得。点轨迹圆圆心A1满足/MAO=6（）。；考虑APAQ,可得Q点轨迹圆圆心仍满足AM”。，且可得半径仞Q=尸，即可确定圆M位置，任意时刻均有△“P。等△，0M.【练习】如图，点夕(34)，圆〃半径为2,4(2.8,0),«(56()),点”是圆夕上的动点,点C是例/3的中点，则A。的最小值是.【分析】M点为主动点，。点为从动点，，点为定点.考虑C是AM中点，可知C点轨迹:【2016武汉中考】如图，在等腰RI&43C中，AC=BC=20,点尸在以斜边A4为直径的半圆上，A1为PC的中点，当半圆从点A运动至点。时，点M运动的路径长为.【分析】考虑C、M、。共线及M是C『中点，可确定M点轨迹：取AB中点O,连接CO取CO中点D,以D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、8C于E、尸两点，则弧功7'即为时点轨迹.CBCB当然，若能理解.仞点与“点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长半，即可解决问题.【2（）18南通中考】如图，正方形A4CQ中，AB=2式,。是4c边的中点，点£是正方形内一动点，（）E=2,连接。&将线段DE绕点。逆时针旋转5）。得。尸，连接AE、CF,求线段OF长的最小值.【分析】E是主动点，厂是从动点，。是定点，E点满足七0二2,故E点轨迹是以。为圆心，2为半径的圆.考虑DE_LDF且DE=DF,故作DM_LDO且0M=DO,尸点轨迹是以点“为圆心,2为半径的圆.【练习】AM。中，八4=4,AC=2.以4。为边在乙44？外作正方形4CDE,3D、CE交于点（）,则线段AO的最大值为.4£D【分析】考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定4",将AC看成动线段，由此引发正方形8CEO的变化，求得线段的最大值.根据"'=2,可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆.连接八用并延长与圆M交点即为所求的点O,此时40最大，根据4"先求AW,再根据4c与40的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到相加即得AO,此题方法也不止这一种,最大值.比如可以如下构造旋转，当A此题方法也不止这一种,最大值.比如可以如下构造旋转，当A、C、4共线时，可得AC)二、轨迹之线段篇引例：如图，P是直线6c上一动点，连接AP,取A尸中点Q,当点尸在上运动时，。点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，。点轨迹也是一条直线.可以这样理解：分别过A、。向6C作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即。点到6c的距离是定值，故。点轨迹是一条直线.【引例】如图，aAP。是等腰直角三角形，乙阴。=«)0。且AP=AQ,当点P在直线【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（/附。是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（八尸:八。是定值）.结论：P、。两点轨迹所在直线的夹角等于/心。（当/用Q09O。时，/心。等于MN与3c夹角）P、。两点轨迹长度之比等于AP3Q（由可得APTQ=/?C：MN）【2013湖州中考】如图，已知点A是第一象限内横坐标为2JT的一个定点，ACJ_工轴于点初交直线于点N,若点P是线段ON上的一个动点，/AP8=3()。，BA±PAt则点P在线段ON上运动时，工点不变，8点随之运动.求当点P从点。运动到点N时，点"运动的路径长是.【分析】根据/以属9()。，/，4=30。可得：AP："=":1,故"点轨迹也是线段,且P点轨迹路径长与/，点轨迹路径长之比也为6：1，P点轨迹长ON为2娓,故4点轨迹长为2人.根据NA3P=6()。可知：片「与y轴夹角为6()。，作OP，11,所得OP长度即为最小值，。「2二。八二3,所以OP二三.【2019宿迁中考】如图，正方形A4C2)的边长为，E为BC上一点、,且4E=i,F为AB边上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为.根据模型可知：q外与A3夹角为60。，故GQJ.E化.过点E作b上。”于点£则〃F=G£=i,CF=1CE=2,22所以C"=3,因此CG的最小值为3.22［分析］NAOC=()0。且JO：OC=1：2,显然点c的轨迹也是一条双曲线，分别作A"、CN垂直x轴，垂足分别为M、N,连接℃,易证△AMOs&WC,••.CM20M,ON=2AM,：・()N.CN3AA4.OM,故女=4x2=8.【思考】若将条件“〃〃，NCA6=2"改为=A4C是等边三角形)&会是多少?【练习】如图，4(-1J),B(-1.4),C(-5.4),点P是△工灰？边上一动点，连接OP，以。P为斜边在。P的右上方作等腰直角△OPQ,当点乃在△A4C边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭