力学量本征值问题的代数解法

力学量本征值问题的代数解法第一页，共六十七页，2022年，8月28日采用自然单位则而基本对易式是令利用上述对易式，容易证明(请课后证明)其逆为第二页，共六十七页，2022年，8月28日此时能量以为单位长度以为单位动量以为单位第三页，共六十七页，2022年，8月28日将两类算符的关系式代入一维谐振子的Hamilton量上式就是Hamilton量的因式分解法，其中由于,而且在任何量子态下所以为正定厄米算符有第四页，共六十七页，2022年，8月28日二、Hamilton量的本征值证明:设|n>为的本征态(n为正实数)，即下面证明，若的本征值为,则的本征值为(自然单位，)利用及容易算出因此但上式第五页，共六十七页，2022年，8月28日由此可得这说明，也是的本征态，相应本征值为。如此类推，从的本征态出发，逐次用运算，可得出的一系列本征态相应的本征值为因为为正定厄米算子，其本征值为非负实数。第六页，共六十七页，2022年，8月28日若设最小本征值为，相应的本征态为则此时即是的本征值为0的本征态,或.此态记为，又称为真空态，亦即谐振子的最低能态(基态)，对应的能量本征值(加上自然单位)为.第七页，共六十七页，2022年，8月28日利用同样可以证明这说明也是的本征态，本征值为。利用上式及从出发，逐次用运算，可得出的全部本征态：第八页，共六十七页，2022年，8月28日利用有由可知已知是的本征态，本征值是0即也是的本征态，本征值是1下面看是否也是的本征态，本征值是多少？第九页，共六十七页，2022年，8月28日显然故也是的本征态，本征值是2这样第十页，共六十七页，2022年，8月28日对本征态本征值为本征值为所以，可以成为上升算符，可以称为下降算符。证毕。这种描述体系状态的表象叫粒子数表象。第十一页，共六十七页，2022年，8月28日利用归纳法可以证明（课下证）：（即）的归一化本征态可表为且满足为什么？第十二页，共六十七页，2022年，8月28日由得所以从而有第十三页，共六十七页，2022年，8月28日而由得所以或上式作用任一左矢，有利用有代入上式即第十四页，共六十七页，2022年，8月28日上式对任意m都成立，所以或这就是下降和上升算符的定义,很有用处。或利用上式变为移项，得连同第十五页，共六十七页，2022年，8月28日利用以及容易证明：拿第一式的证明为例。三、升降算符的应用1.坐标和动量算符的矩阵元计算第十六页，共六十七页，2022年，8月28日因为所以第十七页，共六十七页，2022年，8月28日2.能量本征态在坐标表象中的表示考虑基态，它满足即在坐标表象中，上式可以写为插入完备性关系得第十八页，共六十七页，2022年，8月28日已经知道令，代入前式可以得出利用积分中δ函数的性质可得第十九页，共六十七页，2022年，8月28日解出得添上自然单位，可得出在坐标表象中的归一化基态波函数为而坐标表象中激发态的波函数为添上长度的自然单位由于第二十页，共六十七页，2022年，8月28日可得所以第二十一页，共六十七页，2022年，8月28日上次课复习升降算符的应用第二十二页，共六十七页，2022年，8月28日总之，S-方程的因式分解与经典粒子束缚运动轨道的闭合性有某种关系。另外还可以证明，对于r幂函数形式的中心势，只当（Coulomb势）或(各(各向同性谐振子势)时，径向S-方程才能因式分解.四、S-方程因式分解的条件上述的因式分解法是Schrödinger提出来的。可以证明，对于存在束缚态的一维势阱V(x)，只要基态能量有限,存在,则可定义相应的升降算符，并对Hamilton量进行因式分解。第二十三页，共六十七页，2022年，8月28日§9.2角动量算符的本征值和本征态前面我们学习了轨道角动量、自旋角动量的性质（本征值和本征态）以及它们之间的耦合问题。一、一般角动量算符的对易关系如果算符j，其三个分量满足下列对易关系下面我们对角动量算符的本征值和本征态作一般的讨论。第二十四页，共六十七页，2022年，8月28日则以作为三个分量的矢量算符j称为角动量算符。

称为角动量的基本对易式。

轨道角动量l,自旋角动量s以及总角动量l+s=j的各分量都满足此基本对易式。以下根据此基本对易式及角动量算符的厄米性来求出角动量的本征值和本征态。且式第二十五页，共六十七页，2022年，8月28日定义利用角动量分量间的一般对易式容易证明：定义其逆表示为第二十六页，共六十七页，2022年，8月28日同样可以证明：利用角动量的定义及分量的对易关系，上述几个式子是很容易证明的。第二十七页，共六十七页，2022年，8月28日利用有所以第二十八页，共六十七页，2022年，8月28日二、角动量本征值和本征态的代数解法前面我们在粒子数表象时所用的对易关系式是针对玻色子体系而言的。我们知道，光是玻色子，在被量子化后形成“光子”的概念。同样，晶体里的格波（其实就是一种声波）的能量也是量子化的。人们把量子化了的格波叫做“声子”。声子和光子一样都是玻色子。1.声子的概念第二十九页，共六十七页，2022年，8月28日2.角动量本征值和本征态的代数解法考虑二维各向同性谐振子，相应的两类声子产生和湮灭算符用和表示,并满足定义正定厄米算符其本征值分别为和，它们分别表示两类声子的数目。第三十页，共六十七页，2022年，8月28日的归一化共同本征态可表为定义算符第三十一页，共六十七页，2022年，8月28日由此定义角动量升降算符利用对易式容易证明这正是角动量的基本对易式。第三十二页，共六十七页，2022年，8月28日因为所以第三十三页，共六十七页，2022年，8月28日同理可证其它几个分量对易式。第三十四页，共六十七页，2022年，8月28日同样可证明关系式其中其本征值为这样，的本征值可表为，且即角动量量子数j只能取非负整数或半整数。第三十五页，共六十七页，2022年，8月28日的共同本征态由前述可知，是但的共同本征态，且故也是考虑到角动量本征态的习惯写法，不妨将该写为，并定义第三十六页，共六十七页，2022年，8月28日现在的问题是，对于给定的m可以取那些值？下面予以分析：即m可以取这个值。而第三十七页，共六十七页，2022年，8月28日的逆可表示为式因而可改写为第三十八页，共六十七页，2022年，8月28日相应地，利用可改写为式其中第三十九页，共六十七页，2022年，8月28日另外，请同学们课下证明一个非常重要的关系式提示：首先证明是的属于本征值的本征函数；2.利用本征值的非简并性，即得出的值。请参阅陈鄂生《量子力学习题与解答》p55作业：p2602,3第四十页，共六十七页，2022年，8月28日§9.3两个角动量的耦合与CG系数前面我们讨论过两个具体角动量的耦合自旋与轨道角动量的耦合自旋与自旋角动量的耦合下面讨论两个一般角动量的耦合一、两个角动量的耦合设与分别表示第一和第二粒子的角动量，即（取）第四十一页，共六十七页，2022年，8月28日这两个角动量分别对不同粒子的态矢运算，属于不同的自由度，因而是彼此对易的：定义两个角动量之和这就是两个角动量耦合的一般定义。利用两个角动量各分量满足的基本对易式，同上节介绍的方法可以证明或表成第四十二页，共六十七页，2022年，8月28日设的共同本征态记为，即类似地，的共同本征态记为对两个粒子组成的体系，如果只考虑角动量所涉及的自由度，其任何一个态必然可以用来展开。即可作为体系力学量完全集,而是它们的共同本征态。第四十三页，共六十七页，2022年，8月28日以共同本征态为基矢的表象称为非耦合表象。1.非耦合表象在给定的情况下，所以有个，即它们张开维子空间。第四十四页，共六十七页，2022年，8月28日2.耦合表象考虑到也构成两粒子体系的一组力学量完全集，共同本征态记为，即第四十五页，共六十七页，2022年，8月28日以共同本征态为基矢的表象称为耦合表象，基矢简记为。二、两种耦合表象基矢之间的关系—CG系数问题：当给定，可取哪些值？基矢与之间的关系如何？1.Clebsch-Gordan系数令上式的物理意义是明显的。第四十六页，共六十七页，2022年，8月28日我们将展开系数称之为Clebsch-Gordan系数，简称CG系数。显然CG系数是维子空间中耦合表象基矢与非耦合表象基矢之间的幺正变换矩阵元。考虑到将上式两边分别作用到下式两边第四十七页，共六十七页，2022年，8月28日有第四十八页，共六十七页，2022年，8月28日因为所以将代入上式左边，并移项得由于是正交归一完备基矢，上式要成立，展开系数必然要满足下列条件对第四十九页，共六十七页，2022年，8月28日而是不能为0的？所以只有即故在式的两个求和指标中，只有一个是独立的，从而上式可以写成如下的形式第五十页，共六十七页，2022年，8月28日上次课复习则以作为三个分量的矢量算符j称为角动量算符。第一次课遗留的问题：如何由升算符的定义式导出降算符的定义式？第五十一页，共六十七页，2022年，8月28日定义正定厄米算符第五十二页，共六十七页，2022年，8月28日的归一化共同本征态可表为第五十三页，共六十七页，2022年，8月28日第五十四页，共六十七页，2022年，8月28日我们将展开系数称之为Clebsch-Gordan系数，简称CG系数。CG系数有什么性质？第五十五页，共六十七页，2022年，8月28日根据基函数的性质，表象的基矢具有相位不定性，从而两个表象之间的幺正变换也有一个相位不定性。由前所述可知,CG系数实际上是两个表象基矢的幺正变换或重叠积分，它可能是复数。2.Clebsch-Gordan系数的性质1）Clebsch-Gordan系数的实数性如果相位选择适当,就可以使CG系数成为实数。第五十六页，共六十七页，2022年，8月28日及在此情况下,有下两式代入正交归一关系第五十七页，共六十七页，2022年，8月28日有或即第五十八页，共六十七页，2022年，8月28日当时，给出利用波函数的正交归一性，显然有﹟第五十九页，共六十七页，2022年，8月28日由于CG系数是实数，所以由式取逆得上式很容易理解：两个表象基矢的转换是相互的，不过要利用条件将上式代入正交归一性关系2）Clebsch-Gordan系数的幺正性第六十页，共六十七页，2022年，8月28日当时，上式进一步写为或得上式正式CG系数幺正性的体现。﹟第六十一页，共六十七页，2022年，8月28日三、j的取值范围已经知道，给定，有即所以按照角动量的矢量耦合性质，给定，见右图。第六十二页，共六十七页，2022年，8月28日除此之