第5章 控制系统频率特性分析法(5)-v1

化工与环境学院《过程装备与控制工程》专业陈祥光2014年4月——《过程控制原理》课程(第5章)——5.5闭环频率特性

图5-79所示反馈控制系统的闭环传递函数为

(5-127)图5-79反馈控制系统

5.5闭环频率特性——5.5闭环频率特性

当时，称单位反馈控制系统，其闭环传递函数和开环传递函数之间存在以下简单关系：

(5-128)

——5.5闭环频率特性

在采用频率响应法分析和设计控制系统时，经常要用到闭环频率特性曲线。下面将讨论:

①由开环系统频率特性绘制闭环系统频率特性的方法;

②以及闭环频率特性与时域性能指标的关系。——5.5闭环频率特性5.5.1由开环频率特性求取闭环频率特性利用开环幅相特性曲线作图求取

①单位反馈系统

由式(5-128)可得单位反馈控制系统的闭环幅相频率特性(5-129)——5.5闭环频率特性

由上式可得闭环幅频特性、相频特性与开环幅相特性的关系为

(5-130)(5-131)

——5.5闭环频率特性设开环幅相频率特性曲线如图5-80所示。

由图可知，当时，矢量表示。矢量则表示。

图5-80由开环频率特性求闭环频率特性——5.5闭环频率特性

因此，闭环系统幅相频率特性可由矢量和矢量之比求得，即

所以

——5.5闭环频率特性

给出一系列值，按同样方法逐点作图、逐点计算，求得不同频率对应的闭环幅值和相角，便可绘制出要求的闭环频率特性。

——5.5闭环频率特性②非单位反馈系统

由式(5-127)可知，非单位反馈控制系统的频率特性为

或

上式右边第二项的形式和式(5-129)是一样的。

——5.5闭环频率特性

因此，可以按上述方法求出其中单位反馈部分闭环频率特性

然后再与频率特性相乘，即可求出闭环频率特性。——5.5闭环频率特性当然，利用对数频率特性求取，更为方便，即

图解法比较繁杂，不便于工程上使用。控制工程经常应用等M圆图和等N圆图或尼柯尔斯图线，直接由系统的开环频率特性曲线绘制闭环频率特性曲线，无须进行任何计算。——5.5闭环频率特性(2)等M圆图和等N圆图

将系统的开环频率特性写成实频和虚频特性形式

由式(5-130)可得闭环幅频特性与和的关系：

(5-132)——5.5闭环频率特性将上式两边平方，整理可得

(5-133)如果，则由上式可得

即为通过点平行于虚轴的直线方程。

——5.5闭环频率特性若，式(5-133)可写成

(5-134)

如令为常数，则上列方程式是平面上圆的方程。将不同的值代入就得到一个圆族，称为等圆图，如图5-81所示。

——5.5闭环频率特性各圆的圆心坐标为

圆的半径为

图5-81等M圆图——5.5闭环频率特性

由图可见，当

时，等圆分布在直线的左侧，随着的增大，等圆越来越小，最后收敛于点。

当时，等圆分布在直线的右侧。随着的减小，等圆越小，最后收敛于原点。

等圆左右对称于直线，上下对称于实轴。

——5.5闭环频率特性

将式(5-132)代入式(5-131)，可求得闭环相频特性与和的关系即

——5.5闭环频率特性并用表示，则有

或

——5.5闭环频率特性上式经整理得(5-135)

若令为常数，则上列方程式为圆的方程。圆心坐标为，半径为。——5.5闭环频率特性图5-82等N圆图

对于不同的值，可得一族圆，称为等圆图，如图5-82所示。——5.5闭环频率特性

应该注意到，等圆图上标记的不是

值，而是闭环频率特性的相角值。由于，因此，对于每一个圆，它的相角不是唯一的。同一个圆在实轴以上的圆弧对应于正角，例如，在实轴以下的圆弧对应于负角，例如

，亦即和的圆弧是同一圆的一部分。——5.5闭环频率特性

利用等圆图和等圆图，由开环幅相频率特性曲线与等圆及等圆的交点(或切点)，可求得相应频率的值和值，从而绘制出所要求的闭环频率特性。

由于在

=和

=±180°n(n=1,2…)时N圆是相同的，为了避免误差，应从

=0°的零频开始，一直进行到高频。——5.5闭环频率特性

图5-83作为一个例子，说明用等M圆和等N圆图求取闭环频率特性的方法。

图5-83——5.5闭环频率特性

可以看出，在频率处，开环幅相频率特性曲线与圆相交，这表示在该频率处，闭环频率特性的幅值为1.1。——5.5闭环频率特性在图5-83(a)上，

的圆与曲线相切，切点对应的频率为。因此，闭环频率特性幅值达到极大值2。

与开环幅相特性曲线相切、且半径最小的圆的值为谐振峰值，切点处的频率即为谐振频率。

——5.5闭环频率特性

由图5-83(b)用同样方法可得一系列的相角值。

——5.5闭环频率特性

绘制成的闭环幅频特性曲线和相频特性曲线示于图5-83(c)图5-83——5.5闭环频率特性(3)尼柯尔斯图线

在第5.2节讲过，绘制开环系统的对数频率曲线(伯德图)和对数幅相特性(尼柯尔斯图)要比绘制幅相特性极坐标图(奈奎斯特图)方便。因此，有必要推导能够与对数坐标图或对数幅相图配套使用的等M和等图线。

——5.5闭环频率特性

将等M圆和等圆图画在对数幅相坐标平面上，可以得到非圆的等M线族(对应于M圆)和等(或等N)线族(对应于N圆)，统称为尼柯尔斯图线。

尼柯尔斯图线亦可按下述方法导出。

——5.5闭环频率特性

将开环幅相频率特性代入式(5-129)，得

或用

除上式两边,可得(5-136)

(5-137)

——5.5闭环频率特性按欧拉公式展开，有

令等式两边虚部相等，可得

由此得

——5.5闭环频率特性对数幅频特性表达式为

(5-138)

上式即为尼柯尔斯等相位图线的方程式。

分别给以不同的值，可在坐标平面上给出一族等相位图线，即等曲线。开环幅值开环相角闭环传函的相角5-83a—5.5闭环频率特性

这里只给出了几种简单传递函数的对数幅-相图，如图5-44所示。——5.5闭环频率特性——5.5闭环频率特性

将式(5-136)中分式的分子和分母都除以，可得

——5.5闭环频率特性令上式两边的模相等，得

或

化简得

——5.5闭环频率特性对A求解，得

式中，

(5-138)

(5-139)

——5.5闭环频率特性于是，(5-140)

若分别给M以不同的值，可在平面上给出一族等幅值线，即等M线。

等M(或等)线和等线，合起来称为尼柯尔斯图线，如图5-83a所示。

闭环的幅值

5.5闭环频率特性

从图5-83a可看出,极座标平面上的圆变成了曲线:(1)其中与等M圆等效的曲线称为等M曲线,单位为dB；(2)与等N圆等效的曲线称为N曲线，其单位为度。5-83a当系统幅值增益为-3dB时，带宽为：=1.33,相应相角为-142°在图5-83b上绘制开环对数幅相曲线。从图中可看出，闭环系统的谐振峰值为：=2.5dB，谐振频率为=0.8,相应的相角为-72°

5.5闭环频率特性5-83b某控制系统的开环传函为：

5.5闭环频率特性5-83c某控制系统的开环传函为：谐振峰值：谐振频率：

5.5闭环频率特性(4)系统带宽

闭环控制系统的带宽ωb是重要的系统参数，它度量了系统具有一定信号复现能力的频率变化范围。当输入信号的频率偏移小于带宽时，系统可以产生具有足够强度