第4章 频率分析法

预定2016.6.4（周六）7-8节考试第四章频率分析法

频率特性包括幅频特性和相频特性，它在频率域里全面地描述了系统输入和输出之间的关系即系统的特性。频率响应是指系统对正弦输入的稳态输出。频率特性和频率响应是两个联系密切但又有区别的概念。频率特性分析方法具有如下特点：可以通过分析系统对不同频率的稳态响应来获得系统的动态特性。频率特性有明确的物理意义，可以用实验的方法获得。这对那些不能或难于用分析方法建立数学模型的系统或环节，具有非常重要的意义。即使对于那些能够用分析法建模的系统，也可以通过频率特性实验对其模型加以验证和修改。不需要解闭环特征方程。由开环频率特性即可研究闭环系统的瞬态响应、稳态误差和稳定性。第一节频率特性的基本概念一、频率特性及物理意义

系统在正弦函数输入作用下的稳态响应称为频率响应。线性系统传递函数为G(s)，若对该系统输入一幅值为X，频率为的正弦信号：x(t)=Xsint，则系统的稳态输出即为对应微分方程的稳态解。频率与输入的正弦信号相同，只是幅值和相位与输入不同。对于给定的系统，当输入正弦信号的频率一定时，输出的幅值和相位也确定了。输出信号的幅值Y()是的函数，它正比于输入信号的幅值，输出信号与输入信号之间的相位差()也是的函数，它与幅值无关。线性系统在正弦函数输入下的稳态响应记为：

y(t)=Y()sin[t+()]（4-1）

研究频率响应的意义：当信号频率变化时，幅值Y()与相位差()也随之变化。系统的幅频特性定义：输出信号与输入信号的幅值之比，记为：（4-2）

它描述了在稳态情况下，系统输出与输入之间的幅值比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。幅频特性A()和相频特性()统称为系统的频率特性，记作G(j)。频率特性G(j)是一个以频率为自变量的复变函数，它是一个矢量。系统的相频特性定义：输出信号与输入信号的相位之差随频率的变化，记为()。它描述了输出相位对输入相位的滞后或超前特性。按照正弦信号的旋转矢量表示方法，规定()按逆时针方向旋转为正值，按顺时针方向旋转为负值。矢量G(j)的模|G(j)|即为系统的幅频特性A()；矢量Ｇ(j)与正实轴的夹角∠G(j)即为系统的相频特性()。因此，频率特性按复变函数的指数表达形式，记为：(4-3)由于频率特性G(j)是一个复变量，因此它还可以写成实部和虚部之和，即：(4-4)式中Re()是G(j)的实部，称为实频特性；Im()是G(j)的虚部，称为虚频特性。在机械测试技术中，实频特性和虚频特性又分别称为同相分量和异相分量。显然有：

(4-5)(4-6)例4-1机械系统如图4-3所示：弹簧刚度系数k=10N/m，阻尼系数f=10N·s/m，输入幅值为1N的正弦力，求两种频率下即：x(t)=sint和x(t)=sin100t时，系统的位移y(t)的稳态输出。解：系统的微分方程为系统的频率特性式中T=c/k=10/10=1（s）

系统的传递函数系统的实频特性为系统的虚频特性为系统的幅频特性为系统的相频特性为当x(t)=sint

即

=1(rad/s)时，G(j)的模和幅角为：当x(t)

sin100t即

100rad/s时，

()

-arctan100-89.4°

稳态位移输出为系统的位移幅值随着输入力的频率增大而减小，同时位移的相位滞后量也随频率的增高而加大。稳态位移输出为

频率特性G(j)的物理意义

(1)由例4-1机械系统的频率特性可以看出该系统频率特性的幅值A()随着频率的升高而衰减，换句话说，频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的“复现能力”或“跟踪能力”。在频率较低时,T<<1时，输入信号基本上可以按原比例在输出端复现出来，而在频率较高时，输入信号就被抑制而不能传递出去。对于实际中的系统，虽然形式不同，但一般都有这样的“低通”滤波及相位滞后作用。(2)频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能元件。实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这些储能元件，它们在能量交换时，对不同频率的信号使系统显示出不同的特性。(3)频率特性反映系统本身的特点，系统元件的参数(如机械系统的k、c、m)给定以后，频率特性就完全确定，系统随变化的规律也就完全确定。就是说，系统具有什么样的频率特性，取决于系统结构本身，与外界因素无关。二、频率特性的求法频率特性的求法有三种１．根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入，求其稳态解，取其输出的稳态分量与输入正弦的复数比即得系统的频率特性。２．根据传递函数求取，将传递函数G(s)中的s用j替代，即为频率特性G(j)。３．通过实验测得。

这里仅介绍根据传递函数求取频率特性。图4-4为一线性定常系统，系统的输入与输出分别为x(t)和y(t)，系统的传递函数为G(s)。当把传递函数中的s，以j代替，即为频率特性G(j)。下面我们来证明此结论的正确性。输入x(t)是正弦函数，并由x(t)=Xsint

（4-7）其拉氏变换为系统的传递函数可表示为

（4-8）于是输出量的拉氏变换为（4-9）设系统为稳定系统，实部应是负值。如果只具有不同的极点，那么方程（4-9）的部分分式展开为式中a，和bi(i=1，2，…，n)为待定常数，而是a的待定共轭复数。

（4-10）如果传递函数中，包含有m个重极点pj时，则在y(t)表达式将包含thje-pjt（hj=0，1，2，…，mj-1）这样一些项，当t→∞时，这些项都为零。不论那种情况，其输出的稳态响应为（4-12）式中的a和可按求留数的方法予以确定：（t≥0）因此上式的拉氏反变换为（4-11）对稳定系统而言，-p1，-p2，.....，-pn具有负实部，因而，在上式中，当t→∞时，第三项以后各项全部为零，稳态值只有第一、第二项。（4-13）

（4-14）因为G(jω)是一个复数，所以可以表示成为（4-15）（4-16）将式(4-15)、(4-16)代入(4-13)和(4-14)式，可得（4-17）（4-18）将式(4-17)和(4-18)代入(4-12)式中，可得

与输入x(t)=Xsint

相比，可以看出，输出信号与输入信号的幅值比和相角差分别为（4-20）

()=∠G(j)（4-21）

因此,|G(j)|就是系统的幅频特性，∠G(j)就是系统的相频特性。G(j)为频率特性。---由欧拉公式（4-19）

以上分析可归纳如下

(1)线性定常系统的频率特性可以通过系统的传递函数获得，即：G(j)=G(s)|s=j

(4-22)

系统的频率特性就是其传递函数G(s)中复变量s=+j在=0时的特殊情况。(2)若系统的输入信号为正弦函数，则系统的稳态输出也是相同频率的正弦函数，但幅值和相位与输入信号的幅值和相位不同。显然，若改变输入信号的频率，系统时域响应的稳态值也会发生相应的变化，而频率特性正表明了幅值比和相位差随频率变化的情况。(3)式(4-22)表明了系统频率特性与传递函数的关系。此外，频率特性与微分方程之间都存在内在的联系。它们之间可以相互转换，如图4-5所示。因此，频率特性也和微分方程、传递函数一样，可以表征系统的动态特性，是系统数学模型的一种表达形式。这就是利用频率特性来研究系统动态特性的理论依据。

图4-5数学模型的相互转换第二节频率特性表示法

一、极坐标图(奈奎斯特图Nyquist)频率特性的极坐标图也称为幅相频特性图或称为奈奎斯特图。由于频率特性G(j)是的复变函数，故可在复平面[G(j)]上表示。对于给定的，频率特性可由复平面上相应的矢量G(j)描述。图4-6极坐标图当从0→∞变化时，G(j)矢量端点的轨迹即为频率特性的极坐标曲线，该曲线连同坐标一起则称为极坐标图。这里规定极坐标图的实轴正方向为相位的零度线，由零度线起，矢量逆时针转过的角度为正，顺时针转过的角度为负。图中用箭头标明从小到大的方向。主要缺点:不能明显地表示出系统传递函数中各个环节在系统中的作用，绘制较麻烦。极坐标图的优点:在一幅图上同时给出了系统在整个频率域的实频特性、虚频特性、幅频特性和相频特性。它比较简洁直观地表明了系统的频率特性。1.绘制频率特性Nyqusit图的步骤

（1）在系统传递函数中令s=j

，写出系统频率特性G(j)。（2）写出系统的幅频特性|G(j)|、相频特性∠G(j)、实频特性Re()和虚频特性Im()。（3）令=0

，求出=0时的|G(j)|、∠G(j)、Re()

、Im()。（4）若频率特性矢端轨迹与实轴、虚轴存在交点，求出这些交点。令Re()=0，求出，然后代入Im()的表达式即求得矢端轨迹与虚轴的交点；令Im()=0

，求出，然后代入Re()的表达式即求得矢端轨迹与实轴的交点。（5）对于二阶振荡环节（或二阶系统）还要求=n时的|G(j)|、∠G(j)、

Re()、Im()。若此环节（或系统）的阻尼比0<<0.707，则还要计算谐振频率r

、谐振峰值Mr及=r时的Re()、Im()。其中，谐振频率r、谐振峰值可由下式得到：（6）在0<<∞的范围内再取若干点分别求|G(j)|、∠G(j)、Re()、Im()

。（8）在复平面[G(j)]中，标明实轴、原点、虚轴和复平面名称[G(j)]。在此坐标系中，分别描出以上所求各点，并按增大的方向将上述各点联成一条曲线，在该曲线旁标出增大的方向。（7）令=∞

，求出=∞时的|G(j)|、∠G(j)、Re()、Im()

。二、波德图（Bode图）波德图也称为对数频率特性图。用两个坐标图分别表示幅频特性和相频特性。幅频特性图的纵坐标(线性分度)表示了幅频特性幅值的分贝值，为

L()=20lg|G(j)|（4-23）单位是分贝(dB)；横坐标(对数分度)表示值，单位是弧度/秒或秒-1(rad/s或s-1)。相频特性图的纵坐标(线性分度)表示G(j)的相位，单位是度；横坐标（对数分度）表示值，单位是弧度/秒或秒-1(rad/s或s-1)。这两个图分别叫做对数幅频特性图和对数相频特性图，统称为频率特性的对数坐标图，又称为波德图（Bode）。1.坐标轴分度波德图纵坐标轴按L()的分贝数线性分度，而横坐标轴按频率的对数，即lg分度，但仍标注的自然数。波德图的这种分度方式可使对数幅频特性图的绘制工作大为简化，而且图形也紧凑。2.渐近线的斜率绘制对数幅频特性图时，一般常只画出它的渐近线。当要求精确时，再加以修正。所以在画渐近线之前，先要确定渐近线的斜率。渐近线的斜率是用频率增高到一倍或十倍时，L()变化的分贝数来表示的。在对数坐标图上，若2=21。则1和2两点间的距离就称为“倍频程”（octave），或简写成oct。若2=101，则1和2两点间的距离就称为“十倍频程”（decade）或简写成dec。设某环节的对数幅频特性为

L()=-20lg则频率=1、21和101时的对数幅值为：

L()=L(1)=-20lg1L()=L(21)=-20lg1-20lg2=-20lg1-6

L()=L(101)=-20lg1-20lg10=-20lg1-20即该对数幅频特性渐近线的斜率为-6dB/oct或-20dB/oct。若频率增高到一倍，L()衰减6分贝，则斜率为“每倍频程负6分贝”，记为“-6dB/oct”。相似地，若频率增高到十倍，L()衰减20分贝，则称斜率为“每十倍频程负20分贝”，记为“-20dB/dec”。3.对数幅频特性曲线的渐近线设某环节的幅频特性为这一环节的对数幅频特性曲线①的渐近线可求得如下：当

<<1/T时，T22与1相比可以略去不计，故在这一频段的对数幅频特性，可近似地取为

L()=20lg5=14②这是一条距横坐标轴距离为14分贝，斜率为0dB/dec。当

>>1/T时，1与T22相比可以忽略，故在这一频段的对数幅频特性，可近似的取为即③显然，这是一条斜率为-20dB/dec的直线。并且当=1时，其对数幅值为。因此，①所示的对数幅频特性，可用式②和③所示的两条直线近似。这两条直线就是所求的渐近线。4.转角频率两条渐近线相交处的频率称为转角频率T。因两条渐近线在转角频率处的对数幅值相等，故转角频率可通过联解两条渐近线方程而求得。如式①所示的对数幅频特性曲线的转角频率，可联解式②和式③，即求得其实，系统对数幅频特性曲线上的各个转角频率，就是系统各组成环节的时间常数的倒数或无阻尼自然频率。对数幅频特性曲线的渐近线的斜率，在转角频率处要发生突变，所以在绘制波德图时要确定各个转角频率。5.幅值穿越频率对数幅频特性曲线与横坐标轴相交处的频率称为幅值穿越频率或增益交界频率，用c表示。穿越频率可通过求解由高频段渐近线方程和L()=0组成的联立方程而得到。如式①所示的对数幅频特性曲线的幅值穿越频率,可解联立方程

L()=20lg5-20lgT

L()=0得到c=5/T对数相频特性图的横坐标轴的分度与对数幅频特性图的相同，是按频率的对数分度。因为两矢量相乘时，其相位是相加的，所以无需对频率特性函数的相位取对数，故对数相频特性图的纵坐标轴是按相位的度数或弧度数线性分度的。对数相频特性对数相频特性是指频率特性函数的相位随而变化的关系。

()=∠G(j)

（4-24）相位穿越频率或相位交界频率（g）对数相频特性曲线与-180°线相交处的频率，或者说频率特性函数的相位等于-180°时的频率。波德图表示频率特性有如下优点：

1.可将串联环节幅值的乘、除，化为幅值的加、减。因而简化了计算与作图过程。2.可用近似方法作图。先分段用直线作出对数幅频特性的渐近线，再用修正曲线对渐近线进行修正，就可得到较准确的对数幅频特性图。这给作图带来了很大方便。3.可分别作出各个环节的波德图，然后用叠加方法得出系统的波德图，并由此可以看出各个环节对系统总特性的影响。由于横坐标为对数坐标，所以

=0的频率不可能在横坐标上表现出来，因此，横坐标的起点可根据实际所需的最低频率来决定。第三节典型环节的频率特性一、比例环节的频率特性1.极坐标图由于G(s)=K

即G(j)=K(4-25)显然，对于比例环节，实频特性恒为K，虚频特性恒为0，故幅频特性|Ｇ(j)|=K(4-26)相频特性∠G(j)=0°(4-27)这表明，当从0→∞时，Ｇ(j)的幅值总是K，相位总是0°，Ｇ(j)在极坐标图上为实轴上的一定点，其坐标为（K，j0）。2.波德图对数幅频特性20lg|Ｇ(j)|=20lgK(4-28)对数相频特性()=∠Ｇ(j)=0°其曲线是一条水平线，分贝数为20lgK。图4-10中，K＝10，故对数幅频特性的分贝数恒为20dB，而相位恒为零，故其对数相频特性曲线是与0°重合的一直线。K值改变时，只是对数幅频特性上、下移动，而对数相频特性不变。因为由若干环节串联而成的系统的增益等于各环节增益之积，即K＝K1·K2···Kn，故系统增益的对数幅值等于各个环节增益的对数幅值之和。二、积分环节的频率特性1.极坐标图由于即(4-29)

显然，实频特性恒为0；虚频特性则为-1/

。故幅频特性|Ｇ(j)|=1/(4-30)相频特性∠Ｇ(j)=-90°(4-31)由此有：当

=0时，|G(j)|=∞，∠G(j)=-90°;当

=∞时，|G(j)|=0，∠G(j)=-90°。可见，当从0→∞时，G(j)的幅值由∞→0，相位总是-90°，积分环节频率特性的极坐标图是虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点。2.波德图

对数幅频特性为：

(4-32)对数相频特性()=∠G(j)=-90°

于是：当=0.1rad/s时，20lg|(G(j)|=20dB，对数幅频特性经过点（0.1，20）；当=1rad/s时，20lg|(G(j)|=0dB，对数幅频特性经过点（1，0）；当=10rad/s时,20lg|(G(j)|=-20dB，对数幅频特性经过点（10，-20）。积分环节的对数相频特性与无关，是一条过点（0，-90°)且平行于横轴的直线。

每当频率增为10倍时，对数幅频特性就下降20dB。它是一条过点（1，0）的直线，其斜率为-20dB/dec。

解：因，即，

例4-2作的波德图。相频特性∠G(j)=-180°

对数幅频特性为：

对数相频特性

()=∠G(j)=-180°当

=1、K=10时,20lg|G(j)|=20dB，对数幅频特性过点(1，20)。=10、K=10时，20lg|G(j)|=-20dB，对数幅频特性过点(1，-20)故幅频特性

系统的对数幅频特性为一过点(1，20)而斜率为-40dB/dec的直线。它是一个比例环节(K=10)与两个积分环节(1/s)的对数幅频特性的叠加。对数相频特性是一条过点(0，-180°)且平行于横轴的一直线，也是一个比例环节和两个积分环节的对数相频特性的叠加。

增加一个串联的积分环节，就使对数幅频特性的斜率增加-20dB/dec，而使相位增加-90°；增加一个串联的比例环节后，其对数幅频特性垂直平移20lgK，而其相位不变。三、理想微分环节的频率特性1.极坐标图由于G(s)=s

即G(j)=j(4-33)显然，实频特性恒为0；虚频特性为。

故幅频特性|G(j)|=(4-34)相频特性∠G(j)=90°(4-35)由此有：当=0时，|G(j)|=0，∠G(j)=90°；当=∞时，|G(j)|=∞，∠G(j)=90°

当从0→∞时，G(j)的幅值由0→∞，其相位总是90°。微分环节的频率特性的极坐标图是虚轴的上半轴，由原点指向无穷远点。2．波德图

对数幅频特性20lg|G(j)|=20lg

(4-36)对数相频特性()=∠G(j)=90°当

=0.1时，20lg|G(j)|=-20dB，当

=1时，20lg|G(j)|=0dB。可见，微分环节的对数幅频特性是过点(1，0)，而斜率为20dB/dec的直线。对数相频特性是过点(0，90°)，且平行于横轴的直线。这说明输出的相位总是超前于输入相位90°。四、惯性环节的频率特性1.极坐标图

由于

即

(4-37)

显然，实频特性为；故幅频特性

(4-38)

相频特性(4-39)

虚频特性为由此有：当=0时，|G(j)|=1

，∠G(j)=0°

当=1/T时，|G(j)|=0.707

，∠G(j)=-45°

当=∞时，|G(j)|=0

，∠G(j)=-90°

根据上述实频和虚频特性两式，可分别求得不同值的Re()和Im()，从而作出极坐标图。

此时，频率特性曲线为一半圆。证明如下：

设实频特性为

虚频特性为

所以将其代入实频特性表达式中则有，将此式整理得

（4-40）

此式是一个圆方程，但由于∠G(j)=-arctanT

，所以当0<<∞时，极坐标图是下半圆，因为此时∠G(j)与Im()恒为负值。

2．波德图

对数幅频特性

（4-41）

对数相频特性

当<<1/T时，对数幅频特性为：

（4-42）

当>>1/T时，对数幅频特性为：

（4-43）

即在低频段，渐近线是一条0dB/dec水平线，在高频段是一条斜率为-20dB/dec的直线，该两条渐近线相交处的转角频率为

惯性环节的对数幅频特性曲线的穿越频率和转角频率相等，即cr=T

渐近线L()=-20lgT的绘制方法：设=i

，则有L(i)=-20lgiT，如果频率i变化了十倍频程，即=10i

，则有从上式可以看出：当频率每变化十倍频程时，幅值L()衰减20dB，即斜率为-20dB/dec。惯性环节的对数相频特性取值如下：

当=0时，()=-0°;对数相频特性斜对称于点(T，-45)而且在≤0.1T时，()→-0°，在T≥10时，()→-90°。准确的相频特性曲线应把每个值代入对数相频特性()=∠G(j)=-arctanT中计算所得。当=T时，()=-45°;当=∞时，()=-90°。表4-1惯性环节取不同频率时所对应的()

(rad/s)1/10T1/5T1/2T1/T2/T5/T10/T()-5.7°-11.3°-26.2°-45°-63.4°-78.7°-84.3°惯性环节有低通滤波器的特性。当输入频率>T时，其输出很快衰减，即滤掉输入信号的高频部分；在低频段，输出能较准确地反映输入。

渐近线与精确的对数幅频特性曲线之间有误差e()。最大误差发生在转角频率T处，其误差为-3dB，在2T或T/2的频率处。e()为-0.91dB，即约为-1dB，而在10T

或T/10的频率处，e()就接近于0dB，据此可0.1T

~10T范围内对渐近线进行修正。

五、一阶微分环节的频率特性1．极坐标图由于G(s)=1+TS

即G(j)=1+jT(4-44)显然实频特性恒为1；

虚频特性为T

。故幅频特性(4-45)

相频特性∠G(j)=arctanT(4-46)由此有：当

=0时，|G(j)|=1,∠G(j)=0°；

当

=1/T时，|G(j)|=,∠G(j)=45°；

当

=∞时，|G(j)|=∞,∠G(j)=90°。

当从0→∞时，G(j)的幅值由1→∞，其相位由0°→90°。一阶微分环节频率特性的极坐标图始于点(1，j0)，平行于虚轴，是在第一象限的一条垂线，如图4-19所示。当

<<1/T时，20lg|G(j)|≈0dB，即低频渐近线是0dB水平线；

当

>>1/T

时，20lg|G(j)|≈20lgT，即高频渐近线为一直线，其始于点(1/T

，0)，斜率为20dB/dec。显然，一阶微分环节的转角频率T=1/T

。一阶微分环节的对数相频特性取值如下：

当

=0时，()=0°；

当

=T

时，()=45°；当

=∞时，()=90°。2．波德图

对数幅频特性对数相频特性()=∠G(j)=arctanT

(4-47)对数相频特性斜对称于点(T，45)，且在

≤0.1T时()→+0°，

≥10T

时，()→+90°。

一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性和对数相频特性分别对称于0dB线和0°线。

六、二阶振荡环节的频率特性1．极坐标图

如令

则

(4-48)

(4-49)

实频特性为

虚频特性为故幅频特性为(4-50)相频特性(4-51)由此有：当

=0时，|G(j)|=1，∠G(j)=0°；当

=1/T时，|G(j)|=1/2，∠G(j)=-90°；当

=∞时，|G(j)|=0，∠G(j)=-180°。当从0→∞，G(j)的幅值由1→0，其相位由0°→-180°，振荡环节的频率特性的极坐标图始于点(1,j0)，而终于点（0,j0）。曲线与虚轴的交点的频率就是无阻尼固有频率n（1/T），此时的幅值为1/(2)，曲线在第三、四象限，取值不同，G(j)的极坐标图形状也不同。在阻尼比较小时，幅频特性|G(j)|在频率为

r

处出现峰值。此峰值称为谐振峰值Mr，对应的频率r

称为谐振频率。可如下求出：由求得(4-52)即，当频率=r时，|G(j)|出现峰值，当1-22≥0

（0.707

）时，r才有意义，其谐振峰值为(4-54)

(4-53)

越小，r

就越大；

=0时，r→1/T=n；由于无阻尼自然频率n和有阻尼固有频率d的关系是，对于欠阻尼系统(0<<1)，谐振频率

总小于有阻尼固有频率d

。2．波德图

幅频特性

相频特性

振荡环节的对数幅频特性为：

(4-55)对数相频特性(1).振荡环节的对数幅频特性渐近线当T<<1时，

L()=20lg｜G(j)｜≈-20lg1=0dB

(4-56)即低频渐近线是0dB水平线。当T>>1时，

L()=20lg｜G(j)｜≈-20lgT22≈-40lgT(4-57)当=1/T时，高频渐近线L()=-40lgT=0dB。

可见，高频渐近线为一直线，始于点(1/T，0)，斜率为-40dB/dec。

由此可知，振荡环节的渐近线是由一段0dB线和一条起始于点(1，0)(即在=1/T=n处)，斜率为-40dB/dec的直线所组成。n又可称为振荡环节的转角频率。注意，图中横坐标均为以对数刻度表示的/n。(2).振荡环节的对数幅频特性的误差修正曲线一般在0.1n~10n范围内对渐近线进行修正，即可得到精确的对数幅频特性曲线。表4-2二阶振荡环节对数幅频特性修正表

/n0.10.20.40.60.811.251.662.55100.10.0860.3481.483.7828.09413.988.0943.7821.480.3480.0860.20.080.3251.363.3056.3457.966.3453.3051.360.3250.080.30.0710.2921.1792.6814.4394.4394.4392.6811.1790.2920.0710.50.0440.170.6271.1371.13701.1371.1370.6270.170.0440.70.0010.00-0.08-0.472-1.41-2.92-1.41-0.472-0.080.000.0011-0.086-0.34-1.29-2.76-4.296-6.20-4.296-2.76-1.29-0.34-0.086(3).振荡环节的对数相频特性

由图4-22所示的振荡环节的对数相频特性可知：

当

=0时，()=0;当

=n时，()=-90°

当

=∞时，()=-180°。

点(/n=1，-90°)是相频特性的斜对称点。/n0.10.20.512510200.1-1.2º-2.4º-7.6º-90º-172.4º-177.6º-178.8º-179.4º0.2-2.3º-4.8º-14.9º-90º-165.1º-175.2º-177.7º-178.8º0.3-3.5º-7.1º-21.8º-90º-158.2º-172.9º-176.5º-178.3º0.5-5.8º-11.8º-33.7º-90º-146.3º-168.2º-174.2º-177.1º0.7-8.1º-16.3º-43.0º-90º-137.0º-163.7º-171.9º-176.0º1.0-11.4º-22.6º-53.1º-90º-126.9º-157.4º-168.6º-174.0º表4-3二阶振荡环节的相频特性()(4).振荡环节的谐振频率r和谐振峰值Mr

在本章中已求得

而且只有当0<0.707时才存在r

。由图4-22可知，越小，r

越接近于n

(即r/n越接近于1);增大,

r离n

的距离就增大。应指出，1>≥0.707

时，可认为r=0。

在前面，已求得

=r

时，G(jr)的幅值为：记|G(jr)|=Mr，由式(4-53)作出Mr-

关系曲线，如图4-24所示。当<0.707时，越小，Mr越大；→0时，Mr→∞；当1>≥0.707时，可认为Mr=1。值得指出的是，在一般的幅频特性坐标图与相频特性坐标图上，在=0.707或略小于此值时，幅频特性曲线与相频特性曲线在低频段近于直线。七、二阶微分环节的频率特性由于即(4-58)它的极坐标图如图4-25所示。1．极坐标图2．波德图其幅频特性与相频特性如图4-26所示。八、延迟环节的频率特性或1．极坐标图延迟环节的频率特性函数为故2．波德图对数幅频特性和对数相频特性为对数频率特性的镜像关系①微分环节②积分环节③二阶微分环节④一阶微分环节⑤惯性环节⑥振荡环节第四节控制系统开环波德图一、控制系统开环波德图控制系统一般总是由若干典型环节组成，直接绘制系统的开环玻德图比较繁琐，但熟悉了典型环节的频率特性后，就不难绘制出系统的开环玻德图。控制系统的开环传递函数一般形式为

(4-59)故其对数幅频特性为（4-60）对数相频特性为（4-61）绘制系统的开环波德图的步骤把系统开环传递函数化为标准形式（即时间常数形式），如（4-59）式所表示的形式；选定对数幅频特性图上各坐标轴的比例尺；求出惯性、微分、振荡环节及二阶微分的转角频率，并沿频率轴上由小到大标出；根据比例环节K，计算20lgK(dB);在半对数坐标纸上，找到频率

=1rad/s及幅值为20lgK的一点，通过此点作斜率为-20N(dB/dec)的直线，N为积分环节的个数。如不存在积分环节，则作一条幅值为20logK的水平线；

在每个转角频率处改变渐近线的斜率，如果为惯性环节，斜率改变为-20(dB/dec)；二阶振荡环节，斜率改变为-40(dB/dec)；一阶微分环节，斜率改变为+20N(dB/dec)；如此，作到最后一段，最后一段渐近线的斜率应为

-20(N+p+q-m)dB/dec

N为积分环节的个数；p为惯性环节的个数；

q为二阶振荡环节的个数；m为微分环节的个数可以应用上述结论验证图形绘制是否正确。如果要求精确对数幅频特性图，可对渐进线进行修正；画出每一环节的对数相频特性图，然后把所有组成环节的相频特性在相同的频率下相叠加，即可得到系统的开环对数相频特性。例4-3已知系统的开环传递函数要求绘制系统开环波德图。解：

1．将G(s)化成由典型环节串联组成的标准形式可见系统由比例环节、一阶微分环节、积分环节、惯性环节和振荡环节串联组成。其频率特性为2．比例环节K=7.5，20lgK=17.5dB3．转角频率由小到大分别为1.414，2，34．通过点（=1rad/s，20lgK=17.5）画一条斜率为-20dB/dec的斜线，即为低频段的渐近线。此渐进线与通过1=1.414的垂线相交点，因1是二阶振荡环节的转角频率，所以要在此点改变渐进线的斜率-40dB/dec，因此渐进线的斜率由

-20dB/dec改变为-60dB/dec，此渐进线又与通过一阶惯性环节的转角频率2=2的垂线相交点改变渐进线的斜率由-60dB/dec改变为-80dB/dec。当渐进线通过一阶微分环节的转角频率3=3的垂线相交点时改变渐进线的斜率由-80dB/dec改变为-60dB/dec，这几段渐进线的折线即为对数幅频特性。5．在转角频率处，利用误差修正曲线对对数幅频特性曲线进行必要的修正。6．根据式（4-61）求出画出各典型环节的相频特性曲线，线性叠加后即得系统的相频特性曲线。系统的开环玻德图如图4-27所示。00.511.5248()-90-110.5-143.1-180.8-241.6-264.4-268.7实际做题时，用叠加的方法比较麻烦，可先求出相频特性如下然后用描点的方法画出系统的相频特性曲线。

练习题：已知系统的开环传递函数要求绘制系统开环伯德图。解：

1．将G(s)化成由典型环节串联组成的标准形式可见系统由比例环节、一阶微分环节、两个惯性环节串联组成。其频率特性为2．比例环节K=3，20lgK=9.5dB3．转角频率由小到大分别为0.4，2，404．画一条20lgK=9.5dB的水平直线，此线与通过1=0.4的垂线相交点，因1是惯性环节的转角频率，所以要在此点改变渐进线的斜率-20dB/dec，此渐进线又与通过一阶微分环节的转角频率2=2的垂线相交点改变渐进线的斜率由-20dB/dec改变为0dB/dec。当渐进线通过令一惯性环节的转角频率3=40的垂线相交点时改变渐进线的斜率由0dB/dec改变为-20dB/dec，这几段渐进线的折线即为对数幅频特性。5．在转角频率处，利用误差修正曲线对对数幅频特性曲线进行必要的修正。6．根据式00.51248401001000T=2.50-51.34-68.2-78.69-84.29-87.14-89.43-89.77-89.98T=0.5014.0426.574563.4375.9687.1488.8589.89T=0.0250-0.72-1.43-2.86-5.71-11.31-45-68.2-87.71()0-38.02-43.06-36.55-26.57-22.49-47.29-69.1287.8可知，相频特性曲线的角度范围为0~-90，描点画出系统的相频特性曲线。二、最小相位系统最小相位传递函数：若传递函数G(s)的所有零点和极点均在复平面［s］的左半平面内，则称G(s)为最小相位传递函数。最小相位系统：具有最小相位传递函数的系统。(0<T<T1)(0<T<T1)具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的相角变化范围是最小的。例如两个系统的传递函数分别为非最小相位传递函数：若传递函数G(s)在复平面［s］的右半平面内存在零点或极点，则称G(s)为非最小相位传递函数。非最小相位系统：具有非最小相位传递函数的系统。图4-28(a)表示两个系统的零、极点分布图，显然G1(s)属于最小相位系统。这两个系统具有同一个幅频特征，但它们却有着不同的相频特性，如图4-28(b)所示。(1)在=∞时，对数幅频特性曲线的斜率为Lk(∞)=-20(n-m)dB/dec（4-62）(2)对于最小相位系统的相频特性；

(∞)=-90º(n-m)(4-63)这里n和m分别为传递函数中分母和分子多项式的阶次。对于最小相位系统，知道了系统的幅频特性其相频特性就唯一确定。

一个最小相位系统需满足下面的条件:第五节闭环频率特性（4-64）一、由开环频率特性估计闭环频率特性如图所示系统的开环频率特性为G(j)H(j)。而该系统闭环频率特性为设系统为单位反馈，即H(j)=1（4-65）（4-66）（4-67）上式的对数幅值M()和相位()分别表示为：逐点取值，计算出在不同频率时G(j)的幅值和相位，则可分别作出M-图（闭环幅频特性图）和-图（闭环相频特性图）。闭环幅频特性及相频特性图已知开环频率特性，定性地估计闭环频率特性的方法。一般实用系统的开环频率特性具有低通滤波的性质，低频时，｜G(j)｜>>1，G(j)与1相比，1可忽略不计，则高频时，｜G(j)｜<<1，G(j)与1相比，G(j)可忽略不计，则在中频段（L()=0附近）可通过计算描点画出轮廓。对于一般单位反馈的最小相位系统，低频输入时，输出信号的幅值和相位与输入信号基本相等，这正是闭环反馈控制系统所需要的工作频段及结果；高频输入时输出信号的幅值和相位均与开环特性基本相同，而中间频段的形状随系统阻尼的不同有较大变化。（4-68）其中，H(j)为主反馈通道的频率特性，一般为常数。H(j)为常数的情况下，闭环频率特性的形状不受影响。令GK(j)=G(j)H(j)则研究单位反馈系统的(j)与G(j)之间的关系并不丧失问题的一般性，因为在一般情况下：二、频率特性的性能指标在频域分析中，评价控制系统性能优劣的特征量称为频域性能指标，主要包括零频幅值、谐振峰值、谐振频率、截止频率和带宽。它体现了系统的快速性、稳定性等动态品质，图4-32为表征频域性能指标的闭环幅频特性。图4-32闭环系统频域指标1．零频幅值M(0)零频幅值M(0)表示在频率趋近于零时，系统稳态输出的幅值与输入的幅值之比。对于单位反馈系统，闭环频率特性(j)与开环频率特性G(j)有如下关系可表示为（4-69）式中，K为开环增益；N为开环传递函数中积分环节的数目；G1(j)为开环频率特性的组成部分，其增益为1，且不包含积分环节。由式(4-69)知，当N1时当N=0时显然，在频率0时，若M(0)=1，则输出值能完全准确地反映输入幅值。系统的带宽指闭环系统的对数幅值不低于-3dB时所对应的频率范围(0b)。

带宽表征了系统响应的快速性。对系统带宽的要求，取决于两方面因素的综合考虑。2．截止频率b和带宽截止频率系指闭环频率特性的幅值衰减到0.707M(0)时的角频率。对于M(0)=1的系统，其对数幅值为-3dB时的频率就是截止频率。闭环系统将高于截止频率的信号分量滤掉，而允许低于截止频率的信号分量通过。

1)响应速度的要求响应越快，要求带宽越宽。

2)高频滤波的要求为滤掉高频噪声，带宽又不能太宽。3．谐振峰值Mr和谐振频率r

闭环频率特性幅度值的极大值Mr，称为谐振峰值。以二阶系统为例。从知，系统的阻尼越小，Mr值越大，越易振荡。阻尼比越大，Mr越小，越易稳定下来。故Mr标志着系统的相对稳定性。当1≦Mr≦1.4（相当于对数幅值0≦Mr≦3dB）时，对应的阻尼比为0.4≦≦0.707。若<0.4