分数的意义和运算教材与教学研究

“分数的意义和运算”教材与教学研究朱乐平杭州现代小学数学教育研究中心课题组Tel-mail:zhulp@分数意义和运算的教材编排研究分数意义和运算的课堂教学研究一、教材中的知识与体系研究。“分数”单元有哪些数学的知识？这些知识在教材中按照怎样的先后顺序出现？(请每一个老师想一想，写一写。)一般教材中的知识与体系：1、分数的意义和性质。分数的初步认识；分数的意义；真分数、假分数、带分数；分数的基本性质；约分；通分；分数与小数的互化。2、分数的加减法。同分母分数的加减法；异分母分数的加减法；带分数加减法；分数、小数加减混合运算；3、分数的乘法。分数乘以整数；一个数乘以分数；（整数乘以分数；）（分数乘以分数；）带分数乘法；4、分数的除法。分数除以整数；一个数除以分数；（整数除以分数；）（分数除以分数；）带分数除法。对上面体系的反思：有些内容没有按照由易到难进行编排；比较：“异分母分数的加减法与分数的乘法”内容，前者比后者更容易错；(实际教学中存在)分数与整数之间缺少联系。对分数单位没有引起足够的重视。学生对分数除法法则的推导过程比较难理解；分数除法法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。请每一个老师写一个现实的问题，根据这个问题列出两个分数相除的算式，再推理得出它的计算方法。(以下面的分数除法算式为例。)÷＝×＝原来教材：（人教社）例1李师傅小时做6个零件，1小时做几个零件？第一步先看怎样列式。因为（1小时做的零件个数）×＝6（个），所以要求1小时做的零件数，列成算式就是

6÷

第二步再看怎样计算。因为小时做6个，所以小时做个，(为什么不写成2个？)要求1小时做的零件个数，算式是×4＝＝6×。因此6÷＝6×＝8（个）答：1小时做8个零件。教学（教材）体系是一个“原始的”数学知识体系；这样的体系是否就是学生的学习体系？能否建立一个新的体系，使得这个体系更符合学生的认知规律？（难易问题，法则推导问题）我们的总体想法和做法（变化部分）：1、整数、分数的意义与运算比较：整数的单位唯一；分数的单位不唯一；分数单位的不唯一，是使得分数的意义与运算比整数要复杂的主要原因。2、分数单位在分数的意义和运算中有着十分特殊的地位。在分数的意义教学中，把几分之一单独设立一节课。在这节课中，直观地比较大小，直观地进行简单地计算。3、分数意义的掌握，要注重从具体到抽象逐步概括；（螺旋上升）几分之一；几分之几（1）；几分之几（2）；用归一的思路求一个数的几分之几；分数与除法的关系（原来是意义后）单位“1”的均分与几分之几；4、分数的运算实质上是：（1）统一单位；（2）分子的整数运算；同分母分数加减法；异分母（转化成同分母）（放在乘法之后）分数的乘法。分数乘以整数；（放在同分母分数加法中。）一个数乘以分数；（整数乘以分数；）（先用归一的思路求一个数的几分之几。）（分数乘以分数；）（1）分数单位相乘；（2）一般的分数相乘；(两个分数单位相乘，再两个分子相乘。)分数的除法。分数除以整数；（乘法后）一个数除以分数；（整数除以分数；）（分数除以分数；）同分母分数相除；同分母－－分数单位同方法：分子相除；异分母分数相除；（1）通分；转化为同分母分数（2）分子相除。提倡(允许)学生有不同的计算方法；化归是推导分数计算法则的基本思想方法。1、分数意义和性质教学的研究。分数意义教学分两段：分数的初步认识；分数的意义(分数的再认识)“初步”：单位“1”由一个物体组成。“意义”：单位“1”可以由多个物体组成，给出分数的定义。二、分数的意义和运算教学研究(1)分数初步认识的教学。张浩强课引入马建红课引入朱乐平课引入华应龙课引入朱乐平课引入您能对上面的课加以分类吗？试一试。什么叫分数？(分数的定义是什么？请每一个老师写一写。)定义：形如(N为大于1的自然数，M为自然数)的数叫做分数。补充定义：当N=1时，=M；当M=0时，=0。M是整数，N是自然数。分数是怎样产生的？(请您写一写。)一是为了表示度量的结果；用一个作为标准的量(度量单位)来度量另一个量，只有当量若干次恰好量尽的时候，才可以用一个整数来表示度量的结果。如果量若干次不能恰好量尽，这时可能有两种情况：(1)把作为标准的量分成几等份，用其中的一等份作为新的度量单位来度量，量了若干次后，正好量尽。(2)无论把作为标准的量分成几等份，用其中的一等份作为新的度量单位来度量，量了若干次后，总是不能正好量尽。对上面的第1种情况，人们把量得的结果用一个分数来表示。把单位“1”平均分成几份，表示这样一份或几份的数，叫做分数。分数就是把单位“1”平均分成N份，表示这样M份的数。不好的说法：表示其中的一份或几份的数。二是为了整数的除法运算总可以实施。把1个苹果平均给2个人，每人得到多少？把3块饼平均分给4个人，每人得到多少？分数还可以理解为：把M个单位分成N等份，表示这样的一份的数。也就是说，是M除以N的结果。上面的课从总体上说，是根据分数产生的两种原因来设计的。因些可以把它们分成两大类。(到目前为止，还没有出现用第三种思路来设计分数初步认识这节课的。)“分数初步认识”这节课有不同的设计，主要是目标不同，教学环节也不同。第一类课：只是要求学生能够通过操作活动初步理解分数，并能够图与分数相互表示。这类课最多，课堂的一般结构是：(1)创设一个平均分的情境引出分数；(2)动手操作(如折纸)感知和初步理解分数；(3)练习(图与数相互表示)。进一步理解分数。第二类课：不但要做到：学生能够通过操作活动初步理解分数，并能够图与分数相互表示。而且还要明确相对大小，并感受量质变的规律。相对大小量质变这类课的大致结构：(1)从自然数过渡到分数；(2)理解二分之一的含义；(3)学习单位“1”的大小与相应二分之一大小的关系；(4)练习中不断加深对分数的理解，有分子与分母相等的分数，零分数等出现。(5)归纳解决问题的思路。写分数的思维过程第三类课：要求学生初步认识分数的含义，初步的比较大小，初步的进行加、减、乘、除法。(结合图形进行计算。)课堂的主要结构：(1)用整数除法引入分数；(2)运用折纸进一步理解分数；(3)运用图形学习大小比较和分数的加、减、乘、除四则运算。(2)分数再认识的教学。主要内容：单位“1”的扩展，由单个物体组成的单位“1”扩展到由多个物体组成的单位“1”。给出分数的定义。几个“分数的再认识”的教学片断：王延安课的引入王延安课中学生的多种表示唐彩斌课的引入吕琼华课中的一到多。在分数的再认识中，用单位“1”的合与分，让学生来理解“可以把多个物体看成单位1”是比较好的办法。吕琼华课的教材图片(3)“用整数的思路求一个数的几分之几是多少”的教学。主要目的：一是进一步理解分数的意义；二是为分数乘法作准备。郑建：几分之一郑建：几分之几(4)分数基本性质的教学黄爱华课的引入黄爱华课展开黄爱华课展开2最后一个好练习分数基本性质教学的几种基本的思路：2、分数加减法的教学一般分数加减