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充要条件课时作业一、选择题1.“x(y-2)=0”是“x2+(y-2)2=0A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若x(y-2)=0,则x=0或y=2,x2+(y-2)2=0不一定成立,反之,若x2+(y-2)2=0,则x=0且y=2,一定有x(y-2)=0,因此,“x(y-2)=0”是“x2+(y-2)2=0答案:A2.“m=1”是“函数y=xm2-4m+5为二次函数A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当m=1时,y=x1-4+5=x2,是二次函数;反之,若y=xm2-4m+5为二次函数,则m2-4m+5=2,即m2-∴m=1或m=3,因此,“m=1”是“y=xm2-4m+5为二次函数”答案:A3.函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数的充要条件是()A.b≥0 B.b≤0C.b>0 D.b<0解析:由于函数y=x2+bx+c的图像是开口向上的抛物线,且对称轴方程为x=-eq\f(b,2),要使该函数在[0,+∞)上单调,必须-eq\f(b,2)≤0,即b≥0,故选A.答案:A4.方程“ax2+2x-1=0至少有一个正实根”的充要条件是()A.-1≤a<0 B.a>-1C.a≥-1 D.-1≤a<0或a>0解析:a=0时,方程ax2+2x-1=0有一正根,排除A、D两项;a=-1时,方程化为x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,x=1>0.答案:C二、填空题5.不等式x2-3x+2<0成立的充要条件是________.解析:x2-3x+2<0⇔(x-1)(x-2)<0⇔1<x<2.答案:1<x<26.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=__________.解析:由于方程都是正整数解,由判别式Δ=16-4n≥0得“1≤n≤4”,逐个分析,当n=1、2时,方程没有整数解;而当n=3时,方程有正整数解1、3;当n答案:3或47.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:充要条件①____________;充要条件②____________.(写出你认为正确的两个充要条件)解析:根据平行六面体的定义和性质可知,平行六面体的两组相对侧面分别平行,反之亦成立;平行六面体的一组相对侧面平行且全等,反之亦成立;平行六面体的底面是平行四边形,反之亦成立.从中任选两个即可.答案:底面是平行四边形两组相对侧面分别平行三、解答题8.求关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充要条件.解:(1)当a=0时,解得x=-1,满足条件;(2)当a≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号实根,则a<0;若方程有两个负的实根,则必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>0,,-\f(1,a)<0,,Δ=1-4a≥0,))⇒0<a≤eq\f(1,4).综上,若方程至少有一个负的实根,则a≤eq\f(1,4).反之,若a≤eq\f(1,4),则方程至少有一个负的实根.因此,关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a≤eq\f(1,4).9.已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.证明:(充分性)当q=-1时,a1=S1=p-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),且n=1时也成立.于是eq\f(an+1,an)=eq\f(pnp-1,pn-1p-1)=p(p≠0且p≠1),即{an}为等比数列.(必要性)当n=1时,a1=S1=p+q;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).因为p≠0且p≠1,所以当n≥2时,eq\f(an+1,an)=eq\f(pnp-1,pn-1p-1)=p,又{a
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