2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷)理

1、北京理科1.(2012北京,理1)已知集合A=xR|3x+20,B=xR|(x+1)(x-3)0,则AB=(). A.(-,-1)B.C.D.(3,+)D由题意得,A=,B=x|x3,所以AB=(3,+).2.(2012北京,理2)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是().A.B.C.D.D由题意知此概型为几何概型,设所求事件为A,如图所示,边长为2的正方形区域为总度量,满足事件A的是阴影部分区域A,故由几何概型的概率公式得:P(A)=.3.(2012北京,理3)设a,bR,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的().A.充分而不必要条件B

2、.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件B由已知得,“a+bi是纯虚数”“a=0”,但“a=0”“复数a+bi是纯虚数”,因此“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件.4.(2012北京,理4)执行如图所示的程序框图,输出的S值为().A.2B.4C.8D.16C初始:k=0,S=1,第一次循环:由03,得S=120=1,k=1;第二次循环:由13,得S=121=2,k=2;第三次循环:由23,得S=222=8,k=3.经判断此时要跳出循环,因此输出的S值为8.5.(2012北京,理5)如图,ACB=90,CDAB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E,则().

3、A.CECB=ADDBB.CECB=ADABC.ADAB=CD2D.CEEB=CD2A由切割线定理得,CD2=CECB,又在RtCAB中,ACDCBD,CD2=ADDB,CECB=ADDB.6.(2012北京,理6)从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为().A.24B.18C.12D.6B先分成两类:(一)从0,2中选数字2,从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为4=12;(二)从0,2中选数字0,从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为2=6.故满足条件的奇数的总个数为12+6=18.7.(20

4、12北京,理7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是().A.28+6B.30+6C.56+12D.60+12B根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为:此几何体为一个底面为直角三角形,高为4的三棱锥,因此表面积为S=(2+3)4+45+4(2+3)+2=30+6.8.(2012北京,理8)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m值为().A.5B.7C.9D.11C结合Sn与n的关系图象可知,前2年的产量均为0,显然=0为最小,在第3年第9年期间,Sn的增长呈现持续稳定性,但在第9年之后,Sn的增速骤然降低.因为当n=9时,的

5、值为最大,故m值为9.9.(2012北京,理9)直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数为.2由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为x+y-1=0,x2+y2=9,进而求出圆心(0,0)到直线x+y-1=0的距离d=3,交点个数为2.10.(2012北京,理10)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=,S2=a3,则a2=,Sn=.1(n2+n)由a1=,S2=a3得,a1+a2=a3,即a3-a2=,an是一个以a1=为首项,以为公差的等差数列.an=+(n-1)=n.a2=1,Sn=(a1+an)=n2+n=(n2+n).11.(2012北京,理11)在ABC中,若a=2,b+c

6、=7,cos B=-,则b=.4由余弦定理得,cos B=-,解得b=4.12.(2012北京,理12)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60,则OAF的面积为.由已知得抛物线的焦点坐标为(1,0),直线l的方程为y=tan 60(x-1),即y=x-,联立得由得x=y+1,将代入并整理得y2-y-4=0,解得y1=2或y2=-.又点A在x轴上方,A(3,2).SOAF=|OF|y1|=12=.13.(2012北京,理13)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为,的最大值为.11=(

7、+)=(+)=|2+.因为,所以=0.所以=12+0=1.=(+)=+=|2(01),的最大值为1.14.(2012北京,理14)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满足条件:xR,f(x)0或g(x)0;x(-,-4),f(x)g(x)0.则m的取值范围是.(-4,-2)(一)由题意可知,m0时不能保证对xR,f(x)0或g(x)0成立.(1)当m=-1时,f(x)=-(x+2)2,g(x)=2x-2,此时显然满足条件;(2)当-1m-(m+3),要使其满足条件,则需解得-1m0;(3)当m2m,要使其满足条件,则需解得-4m-1.因此满足条件的m的取值范围

8、为(-4,0).(二)在满足条件的前提下,再探讨满足条件的m的取值范围.(1)当m=-1时,在(-,-4)上,f(x)与g(x)均小于0,不合题意;(2)当m-1时,则需2m-4,即m-2,所以-4m-2;(3)当-1m0时,则需-(m+3)1,此时无解.综上所述满足两个条件的m的取值范围为(-4,-2).15.(2012北京,理15)已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调递增区间.解:(1)由sin x0得xk(kZ),故f(x)的定义域为xR|xk,kZ.因为f(x)=2cos x(sin x-cos x)=sin 2x-cos 2x-1=sin-

9、1,所以f(x)的最小正周期T=.(2)函数y=sin x的单调递增区间为(kZ).由2k-2x-2k+,xk(kZ),得k-xk+,xk(kZ).所以f(x)的单调递增区间为和(kZ).16.(2012北京,理16)如图1,在RtABC中,C=90,BC=3,AC=6.D,E分别是AC,AB上的点,且DEBC,DE=2,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如图2.图1图2(1)求证:A1C平面BCDE;(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.解:(1)因为ACBC,DEBC,所以DEA

10、C.所以DEA1D,DECD.所以DE平面A1DC.所以DEA1C.又因为A1CCD,所以A1C平面BCDE.(2)如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系C-xyz,则A1(0,0,2),D(0,2,0),M(0,1,),B(3,0,0),E(2,2,0).设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z),则n=0,n=0.又=(3,0,-2),=(-1,2,0),所以令y=1,则x=2,z=.所以n=(2,1,).设CM与平面A1BE所成的角为.因为=(0,1,),所以sin =|cos|=,所以CM与平面A1BE所成角的大小为.(3)线段BC上不存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直.理由

11、如下:假设这样的点P存在,设其坐标为(p,0,0),其中p0,3.设平面A1DP的法向量为m=(x,y,z),则m=0,m=0.又=(0,2,-2),=(p,-2,0),所以令x=2,则y=p,z=.所以m=.平面A1DP平面A1BE,当且仅当mn=0,即4+p+p=0.解得p=-2,与p0,3矛盾.所以线段BC上不存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直.17.(2012北京,理17)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾.数据统计如

12、下(单位:吨):“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a0,a+b+c=600,当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值.(求:s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2,其中为数据x1,x2,xn的平均数)解:(1)厨余垃圾投放正确的概率约为=.(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件表示生活垃圾投放正确

13、.事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P()约为=0.7,所以P(A)约为1-0.7=0.3.(3)当a=600,b=c=0时,s2取得最大值.因为=(a+b+c)=200,所以s2=(600-200)2+(0-200)2+(0-200)2=80 000.18.(2012北京,理18)已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-

14、,-1上的最大值.解:(1)f(x)=2ax,g(x)=3x2+b.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f(1)=g(1).即a+1=1+b,且2a=3+b.解得a=3,b=3.(2)记h(x)=f(x)+g(x),当b=a2时,h(x)=x3+ax2+a2x+1,h(x)=3x2+2ax+a2.令h(x)=0,得x1=-,x2=-.a0时,h(x)与h(x)的情况如下:x-h(x)+0-0+h(x)所以函数h(x)的单调递增区间为和;单调递减区间为.当-1,即0a2时,函数h(x)在区间(-,-1上单调递增,h(x)在区间(-

15、,-1上的最大值为h(-1)=a-a2.当-1,且-1,即2a6时,函数h(x)在区间内单调递增,在区间上单调递减,h(x)在区间(-,-1上的最大值为h=1.当-6时,函数h(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间上单调递增,又因为h-h(-1)=1-a+a2=(a-2)20,所以h(x)在区间(-,-1上的最大值为h=1.19.(2012北京,理19)已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mR).(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y=1与直

16、线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.解:(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆,当且仅当解得m0,即k2.设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=,x1x2=.直线BM的方程为y+2=x,点G的坐标为.因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN=,kAG=-,所以kAN-kAG=+=+=k+=k+=0,即kAN=kAG.故A,G,N三点共线.20.(2012北京,理20)设A是由mn个实数组成的m行n列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记S(m,n)为所有这样的数表构成的集合.对于AS(m,n),记ri(A)为

17、A的第i行各数之和(1im),cj(A)为A的第j列各数之和(1jn);记k(A)为|r1(A)|,|r2(A)|,|rm(A)|,|c1(A)|,|c2(A)|,|cn(A)|中的最小值.(1)对如下数表A,求k(A)的值;11-0.80.1-0.3-1(2)设数表AS(2,3)形如11cab-1求k(A)的最大值;(3)给定正整数t,对于所有的AS(2,2t+1),求k(A)的最大值.解:(1)因为r1(A)=1.2,r2(A)=-1.2,c1(A)=1.1,c2(A)=0.7,c3(A)=-1.8,所以k(A)=0.7.(2)不妨设ab.由题意得c=-1-a-b.又因为c-1,所以a+b0.于是a0.r1(A)=2+c1,r2(A)=-r1(A)-1,c1(A)=1+a,c2(A)=1+b,c3(A)=-(1+a)-(1+b)-(1+a).所以k(A)=1+a1.当a=b=0且c=-1时,k(A)取得最大值1.(3)对于给定的正整数t,任给数表AS(2,2t+1)如下:a1a2a2t+1b1b2b2t+1任意改变A的行次序或列次序,或把A中的每个数换成它的相反数,所得数表A*S(2,2t+1),并且k(A)=k(A*).因