三角函数学习知识点学习

1、三角函数知识点角的有关看法角的看法：角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。射线的端点叫做角的极点;旋转开始时的射线叫做角的始边;旋转停止时的射线叫做角的终边。正角、负角和零角按逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当一条射线没有作任何旋转时而成的角叫做零角.象限角在平面直角坐标系下,使角的极点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,角的终边落在第几象限,就把这个角称做第几象限角,若角的终边落在坐标轴上,称为轴线角,这个角不属于任何象限.各个象限的半角范围可以用以下图记忆，图中的、分别指第一、二、三、四象限角的半角范围；终边相同的角与角终边相同的角所组成的

2、会集:S=2k,kz角度制与弧度制设扇形的弧长为l，圆心角为a（rad）,半径为R，面积为S角a的弧度数公式角度与弧度的换算弧长公式扇形的面积公式任意角的三角函数2(a/360)360=2rad1=/180rad1rad=180/=571857.3laR1lR2三角函数（6个）表示：a为任意角，角a的终边上任意点P的坐标为(x,y)，它与原点的距离为rx2y20（r0,当点P在单位圆上时，r=1）那么角a的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是：sinayxyx，secarr，cosa，tanax，cota，csca.rryxy4.同角三角函数关系式倒数关系：tanacota1商数关系：ta

3、nasinacosacosa，cotasina平方关系：sin2acos2a1-1-三角函数知识点三角函数符号规律sincostanl特别锐角（0，30，45，60，90）的三角比的值7.引诱公式：（奇变偶不变，符号看象限）k/2+a所谓奇偶指的是整数k的奇偶性公式三角函数sincostan引诱公式一k2)sincos(k2)costan(k2)tansin(引诱公式二)sincos()cossin(引诱公式三)sincos()cossin(引诱公式四)sincos()cossin(引诱公式五引诱公式六注：-2-两角和与差的三角函数（1）两角和与差公式：三角函数知识点：sin()sincosc

4、ossin,sin()sincoscossincos()coscossinsin,cos()coscossinsintan()tantan,tan()tantan1tan1tantantan（2）二倍角公式：sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin2升幂公式tan22tan1tan221cos2sin21cos222sin(降幂公式）21cos21cos22cos2cos2（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：sina1cosa，cosa1cosa，tana1cosasina1cosa222221cosa1cosasina（4）辅助角公式（5）三角函数的积化和差，可

5、得：（6）三角函数的和差化积公式-3-三角函数知识点三角函数的图像和性质：（其中kz）三角函数ysinxycosx图象定义域RR值域-1,1-1,1最小正周期T2T2奇偶性奇偶2k,2k2(2k1),2k2单调性单调递加单调递加2k,2k3(2k,(2k1)22单调递减单调递减xkxk（对称轴）对称性2（对称轴）(k,0)(k,0)（对称中心）2（对称中心）零值点xkxk2xk,ymax1x2k，ymax1；2最值点xk,ymin1x(2k1)，ymin12ytanxxk2RT奇(k,k)22单调递加(k,0)（对称中心）k无10.函数yAsin(x)的图像与性质：（本节知识察看一般能化成形如

6、yAsin(x)图像及性质）1）函数2）函数yAsin(x)和yAcos(x2)的周期都是TyAtan(x)和yAcot(x)的周期都是T（3）五点法作yAsin(x)的简图，设tx，取0、3、2来求相应x的值以及对应的22值再描点作图。X03222t32220A0A0Asin(x)-4-三角函数知识点（4）ysinx经过变换变为yAsin（x）的步骤：方法1：先平移后伸缩横坐标变为原来的1倍ysinx纵坐标不变ysinx向左或向右y（x）平移个单位sin纵坐标变为原来的A倍yA（x）横坐标不变sin方法2：先伸缩后平移向左或向右ysinx平移个单位横坐标变为原来的1倍（x）ysin纵坐标不变

7、ysin(x)纵坐标变为原来的A倍yAsin（x）横坐标不变（5）函数的平移变换：yf(x)yf(xa)(a0)将yf(x)图像沿x轴向左（右）平移a个单位（左加右减）yf(x)yf(x)b(b0)将yf(x)图像沿y轴向上（下）平移b个单位（上加下减）函数的伸缩变换：yf(x)yf(wx)(w0)将yf(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1倍（w1缩短，0w1伸长）wyf(x)yAf(x)(A0)将yf(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（A1伸长，0A1缩短）函数的对称变换：yf(x)yf(x)将yf(x)图像绕y轴翻折180（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于x轴对称）yf(

8、x)yf(x)将yf(x)图像绕x轴翻折180（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于y轴对称）yf(x)yf(x)将yf(x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）yf(x)yf(x)保留yf(x)在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻动）-5-正、余弦定理：正弦定理：在ABC中有:abcsinAsinBsinC三角函数知识点2R（R为ABC外接圆半径）sinAaa2RsinAb2RsinBc2RsinC2RbsinB2RsinCc2R面积公式：SABC111abssinCacsinBbcsinA222余弦定理：在三角形ABC中有:cosAb2c2a2a

9、2b2c22bccosA2bca2c2b2b2a2c22accosBcosBc2a2b22abcosC2aca2b2c2cosC2ab-6-三角函数知识点三角变换：三角变换是运算化简过程中运用很多的变换，提高三角变换能力，要学会创立条件，灵便运用三角公式，掌握运算、化简的方法技术。1）角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作增加、删除角的恒等变形2）函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：asinbcosa22sin(abb)其中cosb2,sinb2a2a2（3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时需将常数转变为三角函数，特别是常数“1”。

10、（4）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂办理，有时需要升幂比方：1cosa常用升幂化为有理式。5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。6）结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。7）消元法：若是所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法8）思路变换：若是一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，经过解析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。（9）利用方程思想解三角函数。如关于以下三个式子：sinacosa，sinacosasinacos

11、a，已知其中一个式子的值，其他二式均可求出，且必要时可以换元。函数的最值（几种常有的函数及其最值的求法）：yasinxb（或acosxb)型：利用三角函数的值域，须注意对字母的谈论yasinxbcosx型：引进辅助角化成ya2b2sin(x)再利用有界性yasin2xbsinxc型：配方后求二次函数的最值，应注意sinx1的拘束yasinxb型：反解出sinx，化归为sinx1解决csinxdya(sinxcosx)bsinxcosxc型：常用到换元法：tsinxcosx，但须注意t的取值范围：t2。（3）三角形中常用的关系：sinAsin(BC)，cosAcos(BC)，sinAcosBC，

12、22sin2Asin2(BC)，cos2Acos2(BC)-7-三角函数知识点三角函数值域总结：注意：定义域的取值1、应用提斜公式，形如yasinbcosc可直接用公式。形如yasin2xbsinxcosxccos2xd，逆用倍角公式化成提斜的形式。形如yasinxbcos(x)或yasinxcos(x)的的函数（式中也可以是同名函数），先、用和差化积公式张开，化归为例1、例2的形式求最值.形如yasinxb的函数可将y看作参数，利用提斜公式。ccosxd2、利用倍角公式、半角公式、化同名三角函数，尔后配方3、“1”的妙用，形如sinxcosxsinx?cosx在关系式中时，可以应用换元办理，

13、令t=sinxcosx，则2t-1sinx?cosx=把三角问题化为代数为题来办理。24.形如yasinxb的函数用分别变量法分别常数，利用sinx的有界性求解.csinxdasinxb5、形如yd的函数可将y看作参数，化归为例1的形式求解ccosx6、求同时含有sinxcosx与sinxcosx（或sinxcosx）的函数的值域，一般令sinxcosxt(或sinxcosxt)可以化归为求yat2btc在区间上的值域，要注意t的取值范围.例：函数ycos2xasinxb(a0)的定义域为0,2，值域为4,0，求常数a,b.解;ycos2xasinxb1sin2xasinxba2a2sinxb

14、1,24a22令tsinx1,1,则ytab1,t1,124i)若a2,则当t时,y取最大值0,即ba0(1)1而当t时取最小值4,即ba4(2).联立(1)(2)解得a2,b21,yii)若0a2,则当ta时,y取最大值0,即a2b10(3),而当t1时,y取最小值4,即ba4(4).24联立(3)(4),解得a2或a6,经检验,都不合题意,舍去.综上所述,a2,b21、求ysin2x2sinxcosx3cos2x的最小值，并求使y取最小值时x的会集.-8-三角函数知识点2、求y2sinx(sinxcosx)的值域。3、求ysin2xcos(2x)1的值域.34、若函数y2sinxacosx

15、4的最大值为1，则a=5、函数的y(acosxbsinx)cosx有最大值2，最小值-1，求实数a,b的值。6、若函数y2asin2xacos2xab的定义域为0,，值域为5,1，求常数a,b的值。27、求函数y2sin的最大值和最小值.2cos8、求函数y2cos2x5sinx4的值域；9、求函数ysin2x2cosx,x2,的值域。3310、函数y(sinx1)(cosx1)(6x)的最小值是211、求函数ysinxcosxsinxcosx的最大值。12、函数y2asin2x22asinxab的定义域为0,，值域为5,1，求常数a,b的值。213、函数f(x)11cos2xasinxcos

16、x(aR)的最大值为3，求a的值。222三角函数的单调性的基本方法：函数yAsin(x)k的单调区间的确定1、第一要看A、可否为正，若为负，则先应用引诱公式化为正2、尔后将x+看作一个整体，化为最简式，再结合A的正负，在2k2x2k,kz和22kx2k3,kz两个区间内分别确定函数的单调增减区间。22例题：1、求函数ysin(31x)在区间-2，2的单调增区间。2解：利用引诱公式把函数转变为标准函数（yAsin(x),A0,0）的形式：ysin(1x)sin(1)32x32把标准函数转变为最简函数（yAsinx）的形式：令z1xysin(1x3)sinz23，原函数变为2ysinz谈论最简函数

17、的单调性：从函数ysinz的图像可以看出，ysinz的单调增区间为2k,2k3，K。22-9-三角函数知识点所以2Kz2K3，K22即2K21x32K3，K224K5x4K11，K33计算k=0,k=1时的单调增区间：5x11当k=0时，33当k=1时，22x2333当k=-1时，7x133在要求的区间内-2，2确定函数的最后单调增区间：因为x2,2，所以该函数的单调增区间为152x和x233（）,332（二）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。可以利用正弦定理和余弦定理等求解。三基定理：（正。余。面积）abc2R,A、正弦定理：sinAsinBsinC其中R是三角形外接

18、圆半径.B、余弦定理：a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosCcosAb2c2a2,cosBa2c2b2,cosCa2b2c2.由此可得：2ab2ac2ab.（做题出现余弦，角换边）SVABC111C、三角形面积公式：（1）absinCbcsinAacsinB.222（此为常用公式）-10-三角函数知识点SVABCssasbscsrabc,（2）4Rabcs2，r为内切圆半径，R为外接圆半径.其中，D、在三角形中大边对大角，反之亦然.（用来判断三角形可否成立，去根）1）在ABC中，A+B+C=1802）大边对大角，即abABE、射影定理（认识）：abcosCccosB,bacosCccosA,cacosBbcosA.F、有关三角形内角的几个常