【高等代数试题】高代 I-2016 期末答案

1、北京大学数学科学学院期末试题2016 -2017学年第 1 学期考试科目 高等代数I 考试时间 2017 年 1 月 3 日一（20分）设 A : X a A X X AT是矩阵空间M 2 ( Q ) 上的线性变换 ,这里记A = . 1) 求 Im A的维数 r 与一组基Y 1 , , Y r , 并求X 1 , , X r M 2 ( Q ) , 使得 A X 1 = Y 1 , , A X r = Y r ;2) 求 Ker A 的一组基Z 1 , , Z s ; 3) 证明: X 1 , , X r , Z 1 , , Z s 构成M 2 ( Q )的基底 ;4) 求所有X M 2 (

2、 Q ) , 使得 A X X AT = A AT .解：1) 由 A= = = +知 dim Im A = 2, Im A的一组基为Y 1 =, Y 2 =.令 X1 =, X2 =, 则有A X 1 = Y1 , A X 2 = Y2 .2) 由1) 知 A= 当且仅当b = c, 且d = 0 . 于是Ker A 的一组基为Z 1 =, Z 2 =.3) 若有系数k1, k2, k3, k4 使得 k1 X 1 + k2 X 2 + k3 Z 1 + k4 Z 2 = 0 ,则 k1 A X 1 + k2 A X 2 + k3 A Z 1 + k4 A Z 2 = k1 Y 1 + k2

3、 Y 2 = 0 .由Y 1 , Y 2线性无关 , 得 k1 = k2 = 0 . 于是 k3 Z 1 + k4 Z 2 = 0 .再由Z 1 , Z 2线性无关 , 推得 k3 = k4 = 0 . 故X 1 , X 2 , Z 1 , Z 2 线性无关. 最后, 由于X 1 , X 2 , Z 1 , Z 2的向量个数恰好等于 dim Im A + dim Ker A = dim M 2 ( Q ) , 向量组X 1 , X 2 , Z 1 , Z 2 构成M 2 ( Q )的基底 . 注: 此问也可通过矩阵的直接计算证得。4) 注意到 A I = A I I AT = A AT . 若

4、X满足A X =A X X AT = A AT , 则A ( X I ) = 0 . 故 X I Ker A , 即 X = I + a Z 1 + b Z 2 =, a , b . 反之, 具有形式的矩阵X都是A X X AT = A AT的解. 二.（12分）在三维几何空间建立直角坐标系. 设Aq是绕x轴的旋转, 自y轴向z轴方向旋转q角度; 设Bw是绕y轴的旋转, 自z轴向x轴方向旋转w角度.1) 写出旋转变换Aq , Bw在标准基(由x, y, z轴单位向量构成)下的矩阵;2) 复合变换 Aq Bw是绕哪条直线的旋转, 转角是多少?解: 1) 在标准基e1 , e2 , e3下Aq ,

5、 Bw的矩阵为Aq =, Bw =. 2) 复合变换 Aq Bw在标准基e1 , e2 , e3下的矩阵为Aq Bw = = .由| Aq |=| Bw | = 1知Aq Bw是行列式为1的3级正交矩阵, 故1是Aq Bw的特征值. 对Aq Bw I作行变换 Aq Bw I = (可假定sin q sinw 0 , 即q , w kp )解得特征值1的特征向量a = (或 ) . 故复合变换 Aq Bw是绕a的旋转, 设旋转角为r . 设a1是a的单位化, 将a1扩充成欧氏空间的一组标准正交基 a1, a2, a3 . 在此基底下, 复合变换Aq Bw的矩阵变为. 于是有1 + 2 cosr

6、= tr( Aq Bw ) = cosq + cosw + cosq cosw. 化简，得 2(1 + cosr) = ( 1 + cosq ) ( 1 + cosw ) , 或 cos(r/2) = cos(q/2) cos(w/2). 于是转角 r = 2 arcos( cos(q/2) cos(w/2) ) . 注: 此题计算比较繁琐, 三角表达式没化简也可得分.三.（33分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 2 x22 + x32 + 4 x1 x2 + 8 x1 x3 + 4 x2 x3 .1) 将 f 写成 XT A X的形式, 并求实对称矩阵A的特征值与

7、特征向量;2) 求正交矩阵P及对角矩阵D , 使得A = P D PT ; 用正交替换X = P Y 将f 化为标准型;3) 求f 在单位球面上取到的最大,最小值, 以及它们在何处取到. 解： 注意到 , .故A的特征值为l = 3 (代数二重) 及 l = 6 .对l = 3解齐次方程组 ( A + 3 I ) X = 0 : (*)通解为x1 = 1/ 2 x2 x3 , x2 、x3为自由变量. 解的向量形式于是1 =, 2 = 构成l = 3特征子空间的一组基.对l = 6解齐次方程组 ( A 6 I ) X = 0 得l = 6特征子空间的一组基3 =.(由于实对称矩阵不同的特征子空

8、间彼此正交, 此基也可从(*)式简化阶梯形的非零行直接读出).(2) 将1 =, 2 = 正交化:令 1 = 1 , 再单位化:将3 = 也单位化: 则g1 , g2 , g3 构成R3 的标准正交基, P = g1 g2 g3 = 为正交矩阵, 且 (3) 做正交替换X = P Y , 二次型f化为 f( X ) = X TA X = Y T P TA P Y = Y T D Y = 3 y12 3 y22 + 6 y32 .由于P是正交矩阵, 我们有x12 + x22 + x32 = X T X = Y T P T P Y = Y T Y = y12 + y22 + y32 .故当 | X

9、 | = | Y | = 1 时，f ( X ) = 3 y12 3 y22 + 6 y32 = 6 ( y12 + y22 + y32 ) 9 ( y12 + y22 ) 6 ,且等号成立当且仅当 y1 = y2 = 0 , 或等价地, X = g3 时 f ( X ) 取到最大值6 . 类似地，当 | X | = | Y | = 1 时，f ( X ) = 3 y12 3 y22 + 6 y32 = 3 ( y12 + y22 + y32 ) + 9 y32 3 ,且等号成立当且仅当 y3 = 0 , 或等价地, 当X = y1 g1 + y2 g2 , y1 , y2 R , y12 +

10、 y22 = 1，即 X属于最小特征值l = 3的特征子空间与单位球面的交集时取到最小值 3 .四. （15分）设n级复矩阵A , B 及X满足A X = X B . 设 a1 , , ar ( r 1 ) 是 X的一个列极大无关组, 记 C = a1 ar . 证明:1) 存在r级复矩阵D , 使得A C = C D ;2) D的每个复特征值都是A的特征值 ;3) D的每个复特征值也是B的特征值. 解：1) 矩阵X的列极大无关组a1 , , ar 能线性表出X的每个列向量.又由 A X = X B 知X的列向量组能线性表出A X的列向量组 , 进而表出A C的列向量组 . 由线性表出的传递性

11、知C = a1 ar 的列组能表出A C的列组 , 即存在r级方阵D , 使得C D = A C . 2) 设l是D 的一个复特征值, 是属于l的一个特征向量, 即 D = l , 0 . 则有A C = C D = l C . 又由C 的列向量组线性无关及 0 可推出 C 0 . 故C 是A的一个特征向量, 特征值为l .3) 由于a1 , , ar 能线性表出 X的每个列向量, 故存在矩阵M , 使得X = C M . 于是有 A X = A CM = X B = CM B . 将A C = C D 带入得 C D M = C M B, 或 C( D M M B ) = 0 . 由C 的列

12、向量组线性无关知 D M = M B . 于是有 BT MT = MT DT.利用与2)类似的方法可证DT的特征值(即D的特征值)也是BT 的特征值(即B的特征值):设l是DT 的一个复特征值, 是属于l的一个特征向量, 即 DT = l , 0 . 则有BT MT = MT DT = l MT . 又由X = C M 知M秩 X秩 = C列数 = M行数, 故 M行满秩. 于是MT列满秩. 由 0 可推出MT 0 . 故MT 是BT的特征向量, l 是BT (与B )的特征值.五. （15分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例. 1) 若实方阵A满足 A AT A = 0 , 则

13、一定有A + AT = 0 .解: 正确. 由A AT A = 0 可推出AT A AT A = ( AT A )T AT A = 0 . 由于实矩阵AT A的秩等于( AT A )T AT A的秩 0 , 故AT A = 0 . 再由实矩阵A的秩等于AT A的秩 0 , 推出 A = 0 . 于是A + AT = 0 .2) 若3级实矩阵A 的秩为1 , 且tr(A) = 0 , 则存在实可逆矩阵U, 使得.解: 正确. 不妨设实矩阵A = T , 其中 , 是非零列向量 且 | | = 1. 由tr( A ) = tr( T ) = tr( T ) = 0 知 ( , ) = 0 . 将

14、, 扩充成 R3的一组正交基 , , g , 并记 U = g . 则U可逆且有 AU = T g = 0 0 = g .于是 . 3) 在有限维线性空间上存在线性变换A , B , 使得 A B B A = A 且 A 不是零变换 .解: 正确. 设A , B是n ( 1) 维线性空间上的线性变换，它们在一组基下的矩阵分别是 A =， B =. 则A B B A在这组基下的矩阵为 AB BA = A . 我们有 A B B A = A , A 0 .六. （5分）证明: 实对称矩阵 A = 的特征值都大于0 , 且小于等于 .证: 记 B =, D =. 则有=即BT B = A . 另一方面, 有 A = B + BT D . 由实方阵B 可逆知实对称矩阵A = BT B 正定, 于是A的特征值都大于0 . 设l1是A 的最大特征值 , 则有XTAX = XT BT B X = | B X |2 l1 | X |2 , X Rn .于是 | B X | | X | , X Rn .类似地 , 我们也有 | D