三角公式及推导祥尽解释

1、祥尽解释公式二:设祥尽解释公式二:设a为任意角，n的三角函数值与sinn + a= sin aCOSn + a= COs atann + a=tan aCOtn + a=COt aa的三角函数值之间的关系:三角公式及 推导1诱导公式：常用的诱导公式有以下几组：公式一： 设a为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等:sin 2k n + a= sin aCOS 2k n + a= COS atan 2k n + a= tan aCOt 2k n + a= COt a任意角 a与-a的三角函数值之间的关系:sin一a=一 sin aCOS一a=COs a公式三:tanatan tan acot

2、一aCOt a公式四：利用公式二和公式三可以得到 n a与a的三角函数值之间的关系:sinn a=sin acosn a=-COs atann a=-tan aCOtn a=-COt a公式五：利用公式一和公式三可以得到 2 n a与a的三角函数值之间的关系: sin 2 n a= sin aCOS 2 n a= COS atan 2 n a= tan aCOt 2 n a= COt a公式六:n /2 土及3 n /2 土与a的三角函数值之间的关系:sinn /2 +a= cos acosn /2 +a= sin atann /2 + a= cot aCOtn /2 + a= tan asi

3、nn 12 a= cos a cosn /2 a= sin a tann /2 a= cot a cotn /2 a= tan asin 3 n /2 + a= cos a cos 3 n /2 +a= sin a tan 3 n /2 +a= cot a cot 3 n /2 +a= tan asin 3 n /2 a=ccsacos 3 n /2 a= sin atan 3 n /2 a= cot acot 3 n /2 a= tan a(以上k z)诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于k n /2 a (k z)的个三角函数值，当k是偶数时，得到a的同名函数值，即函数

4、名不改变；tan.当k是奇数时，得到 a相应的余函数值，即sin f cos;cos sin;tan cot,cottan.奇变偶不变然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号。符号看象限上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把 a视为锐角时，角k 360 +a k za、180a,36所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余 弦这十二字口诀的意思就是说：第一象限任何一个角的四种三角函数值都是“； 第二象限只有正弦是“，其余全部是“； 第三象限切函数是“，弦函数是“；

5、第四象限只有余弦是“，其余全部是“公式七：额外的定义-同角三角函数根本关系1同角三角函数的根本关系式倒数关系 :tan a cotl a =sin a-sin a-esC a=商的关系：sin a /cosa= tan a= sec a /csc acos a /sina= cot a= csc a /sec a平方关系：COS aCOS a-sed a =sinA2(a ) + COSA21( a )=1+ tanA2(a ) = SecA2( a)1+ cotA2(a ) = cscA2( a)证明：同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法：参看图片或参考资料构造以上弦、中切、下割；左正、

6、右余、中间 1 的正六边形为模型。1 倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；2商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积。由此，可得商数关系式。3平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶 点上的三角函数值的平方。-两角和差公式2两角和与差的三角函数公式sin a B= sin a cos p cos a sin Bcosa + B韦osa cos p sin a sin pcosa B= cos a cos p+ sin a sin Btan a+ tan Btana + B=1 tan a

7、 tan Btan a tan Btana_B=1+ tan a tan B和差公式的证明：(1)两角差的余弦222AB2yA yBXaXB22r sinrsinrcosr cos2.22 222 22 22rrsinr sin2r sin sinr cosr cos2 r2 sin2 sin2si nsin2 2 coscos2coscos2 r2 sin2 cos2 sin2 cos2s in sin2coscos2 r1 12 sin sin cos cos2 r2 2sin sincoscos2r2 1sin sincoscos可得：综上得:cossin sincoscosCOScos

8、由余弦公式两角和的余弦两角和的正弦两角差的正弦两角和的正切两角差的正切-二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式升幂缩角公式表示:sin2 a= 2sin a COS a证明：因为 sin( + )=sin cos +cos sin，令=所以，可得：sin2 =2 sin cos表示二：以正切表示二倍角2tansin2 =21+ta n2sin 2tansin2 =21+ta n2sin 證明：sin2 =2sin cos =2 cos2 cos=2ta n (2 sec2ta n=时余弦二咅角公式:所以，可得:cos2 =cos2 sin2 =2cos2 1=1 2sin2 表示二:1 tan

9、2cOs2=荷疗證明:cos2 =2cos21 =sec2所以，可得:cos2 =cos2 sin2 =2cos2 1=1 2sin2 表示二:1 tan2cOs2=荷疗證明:cos2 =2cos21 =sec21+ta n21 tan21 =1+02ta n atan2 a=1 tanA2( a)证明：因为由和角公式:tan( + )=tan +ta n 令1 tan tan 所以，可得:tan2 =2ta n1 tan2結論：利用tan可以將sin2 ,cos2 , tan2表示出來，整理如下:2ta n(a) sin2 =雋(b) cos2 =1 tan21+ta n22ta n(c)

10、tan2 =荷表示cos2 a= cosA2( a ) sinA2( a ) 4=2d)sA2Sina() a)证明：因为由和角公式： cos( + )=cos cos sin sin，令 =用三角形直观表示如下：图半角公式半角的正弦、余弦和正切公式降幕扩角公式1 COS a或：sinA2(a /2)=21 COs aCOSA2( a /2)=21 COs atanA2( a /2)=1 COs a-万能公式万能公式推导附推导：sin2 a =2sin a COs a =2sin a COs a /(COsA2( a )+sinA2( a )*因为 COsA2( a )+sinA2( a )=

11、1 再把 *分式上下同除 cosA2( a )，可得2 a= tan2 a /(1 + tanA2( a )然后用a /2弋替a即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。-三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式(a)sin3 = 3sin 4sin3 證明： sin3 =sin( +2 )=sin cos2 +cos sin22 2 2 2 2 =sin (1 2sin )+cos (2sin cos ) = sin (1 2sin )+2sin cos = sin (1 2sin )+2sin (1 sin )3= 3sin 4sin3 (b)cos3 =4cos3

12、 3cos證明：cos3 =cos( +2 )=cos cos2 sin sin22=cos (2cos 1) sin (2sin cos )= cos (2cos2 1) 2sin2 cos22= cos (2cos 1) 2(1 cos )cos=4cos3 3cossin3 a= 3sin a 4sinA3( a)C0S3 a= 4COSA3( a ) 3C0S a3tan a tanA3( a)tan3 a1 3tanA2(a附推导：tan3 a= sin3 a /cos3 a=(sin2 a cos a+ cos2 a sin a )/-sOS2 a aicoa )=(2sin a

13、cosA2( a ) + cosA2( a )sin a sE3( a )/(cosA3(a ) cos a sinA2( a ) 2sin上下同除以cosA3( a )，得：tan3 a= (3tan a tanA3tanA2()/(h ) sin3 a= sin(2 a + a ) = sin2 a cos a+ cos2 a sin a=2sin a cosA2(1 )2+门八2(a )sin a=2sin a 2sin)+(sinaa 2sin八2( a)=3sin a 4si门八3( a)cos3 a=cos(2a + a ) = cos2 a cos a sin2 a sin a=

14、(2cosA2(a )1)cos a 2cos a SinA2(a)=2cosA3(a )-cos a+ (2cos a 2cosA3( a )=4cosA3(a )-3cos a即sin3 a= 3sin a 4sin八3( a)cos3 a= 4cosA3( a ) 3COS a三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角： 3元 减 4元3角欠债了 （被减成负数 ），所以要“挣钱 （音似“正弦 ）余弦三倍角： 4 元 3 角 减 3 元减完之后还有“余 注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。-积化和差公式积化和差公式推导附推导：首先，我们知道 sin(a+

15、b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到 sin( a+b)+si n( a-b)=2s in a*cosb所以,sin a*cosb=(s in( a+b)+s in( a-b)/2同理，假设把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的，我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到,cosa

16、*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,两式相减我们就得到sin a*s in b=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式：sin a*cosb=(si n(a+b)+s in (a-b)/2cosa*si nb=(si n(a+b)-si n(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2si na*si nb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2也可以这样证：-和差化积公式和差化积的公式推导：好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式.我们把上 述四个公式中的a+b

17、设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式sin x+si ny=2si n(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sin x-si ny=2cos(x+y)/2)*si n(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2s in (x+y)/2)*si n(x-y)/2)-辅助角公式asin bcos. a2 b2sin()，其中tan -, 的象限由a, b的符号确定。a12任意二角形面积公式:证完14-正弦定理证明16-特殊的三角函数值表0 015

18、1230 一645-460 一375 7290 一2sin01近+tan2Jr21 tan1422/ 4/ 21?1 tancos14遁2遁22品4240tan02亦亍12 43N/A17:其它一些恒等变换的有用公式：也必须熟记 2 sin(a)cos2 =cos2 sin2 =2cos21=1 2sin2(b)cos =2cos221= 2 sin(a)cos2 =cos2 sin2 =2cos21=1 2sin2(b)cos =2cos221=1 2s咗(c)cos21+cos221 cos2=218:一些常用的高次方降次-有用的公式:(a)sin +cos4 =(sin2 +cos2 )

19、2 2sin22 “cos =12sin2 cos2(b)sin66 2+cos =(s in+cos2 )3 3sin2 cos ( sin2 +cos2 )=1 3 sin2 cos (c)tan +cot =1sin cos2si n2(d)(sin cos )2= sin2 +cos2 2sin cos =1 sin219:三角函数公式集中记忆表：和差的三角函数积化和差公式sin() sin coscos sincos() cos cos sin sin,、tantantan()-1 十 tan tan1sin cos si n() si n()21 cos sin si n() si n()21cos cos co