专题43 相关点法确定圆的轨迹-2023年高考数学核心压轴题（新高考地区专用）

1、专题43 相关点法确定圆的轨迹【方法点拨】1.双动点、一显一隐：已知条件中有两个动点，一个动点的轨迹明显易求，另一个隐藏极深难求.2.建立关联：即建立双动点的关系，最好以向量的形式出现，从而便于使用坐标形式.3.消显现隐：利用显动点的轨迹方程，通过代入，从而求出隐动点的轨迹方程.【典型题示例】例1 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），B，C是圆O：x2+y2=4上的两动点，且，若圆O上存在一点P使得（），则正数的取值范围是 【答案】4，6【分析】BC是定长弦，动中取静，直接取BC的中点为D，易求出点D的轨迹方程是x2+y2=1，再求另一动点P的轨迹方程，利用m的几何意义求出其取值范围

2、.【解析】设BC的中点为D，则，故点D的轨迹方程是x2+y2=1D为BC的中点设，故有又在圆O上，故有这里的几何意义是点到点 A（3,4）的距离又点D的轨迹方程是x2+y2=1点到点 A（3,4）距离的最大值是6，最小值是4的取值范围是4，6.例2 已知AB是圆O：x2+y2=2的一条弦，且，M是AB的中点，若动点P(t，t2)，Q(m，2)，使得四边形PMOQ为平行四边形，则实数m的最大值是 【答案】3【解析】易得点M的轨迹方程是四边形PMOQ为平行四边形设 ，又在圆上，可看作动点与动点距离的平方是实数m的最大值是3例3 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+(y1)2=1及点，设点P圆

3、C上的一动点，在ACP中，若ACP的平分线与AP相交于Q(m，n)，则的取值范围是 【答案】【解析】由角平分线性质定理得 设 ，故有又在圆C上，即故点Q的轨迹是以为圆心为半径的圆的几何意义是点Q到坐标原点的距离的最大值、最小值分别是、故的取值范围是【巩固训练】1.若点在圆上运动，点在轴上运动，定点，则的最小值为 . 2.在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x4)2(ya)216上两个动点，且AB2 eq r(,11)若直线l：y2x上存在唯一的一个点P，使得eq o(PA,dfo1()sup7()eq o(PB,dfo2()sup7()eq o(OC,dfo2()sup7()，则实数

4、a的值为 3.已知是边长为的等边三角形，点是以为圆心的单位圆上一动点，点满足，则的最小值是 4.在平面直角坐标系中，已知点，、为圆上的两动点，且，若圆上存在点，使得，则的取值范围为_.5.已知点D为圆O：x2y24的弦MN的中点，点A的坐标为(1，0)，且，则的最小值为 6.在平面直角坐标系中，已知点分别为轴，轴上一点，且，若点，则的取值范围是 7.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BMDNMN，则eq o(AM,sup6()eq o(AN,sup6()的最小值是_8.在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kxy20与直线l2：xky20相交于点P，则当

5、实数k变化时，点P到直线xy40的距离的最大值为 9.已知A，B是圆C1：x2y21上的动点，ABeq r(3)，P是圆C2：(x3)2(y4)21上的动点，则|eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()|的取值范围是 10.设定点M(3，4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，则点P的轨迹是 【答案或提示】1. 【答案】3【解析】设的中点为，则，所以点在圆上 ，即它表示以为圆心，为半径的圆为的中点故的最小值为3. 2.【答案】2或-18【解析一】设AB的中点为M(x0，y0)，P(x，y)，则由AB2eq r(11)，得CMeq r(1611)

6、eq r(5)，即点M的轨迹为(x04)2(y0a)25.又因为eq o(PA,sup7()eq o(PB,sup7()eq o(OC,sup7()，所以eq o(PM,sup7()eq f(1,2)eq o(OC,sup7()，即(x0 x，y0y)eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(a,2)，从而eq blcrc (avs4alco1(x0 x2，,y0yf(a,2)，)则动点P的轨迹方程为(x2)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(a,2)25，又因为直线l上存在唯一的一个点P，所以直线l和动点P的轨迹(圆)相切，则丨-4-a2丨-12+22eq r(5)【解

7、析二】由题意，圆心C到直线AB的距离deq r(1611)eq r(5)，则AB中点M的轨迹方程为(x4)2(ya)25.由eq o(PA,sup7()eq o(PB,sup7()eq o(OC,sup7()，得2eq o(PM,sup7()eq o(OC,sup7()，所以eq o(PM,sup7()eq o(OC,sup7().如图，连结CM并延长交l于点N，则CN2CM2eq r(5).故问题转化为直线l上存在唯一的一个点N，使得CN2eq r(5)，所以点C到直线l的距离为丨2（-4-a2）丨-12+222eq r(5)，解得3.【答案】 【解析】以点为坐标原点，为轴正半轴，使得落在第

8、一象限，建立平面直角坐标系设，则由得：，故点在单位圆上即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆又，所以的最小值是 4.【答案】【分析】取中点为，连接，得到，由得到，再由、为圆上的两动点，且，得到，设，求出点的轨迹，再由点与圆位置关系，求出的取值范围，即可求出结果.【解析】取中点为，连接，则，又圆上存在点，使得，所以，因此，即；因为、为圆上的两动点，且，所以，设 ，则，即即为动点的轨迹；所以表示圆上的点与定点之间的距离，因此，即.即.故答案为：5.【答案】【解析】，设，则，即设（其中）则所以（当时，“=”成立）.6.【答案】7.【答案】8eq r(2)88.【答案】3eq R(,2)9.【答案】10.【答案】圆：(x3)2(y4)24，除去两点eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,5)，f(12,5)和eq blc(rc)(avs4alco1(f(21,5)，f(28,5)【解析】如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)，f(y,2)，线段MN的中点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(x03,2)，f(y04,2)由于平行四边形的对角线互相平分，故eq f(x,2)eq f(x03,2)，eq f(y,2)eq f(y04,2)从而eq blcrc (avs4alco1(x0 x3