第3章信号与系统连续时间信号与系统的傅里叶分析ppt课件

1、 3.1 引 言变换域分析变换域分析就是选取完备的正交函数集来最正确逼近信号 ，或者说，信号 用完备的正交函数集来展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变换域的区别就在于选取不同的正交完备集。采用变换域分析的目的：主要是简化分析。延续时间LTI系统的时域分析: 以冲激函数为根本信号； 系统零形状呼应为输入信号与系统冲激呼应之卷积。傅立叶分析: 以正弦函数或复指数函数作为根本信号; 系统零形状呼应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号呼应的加权和或积分。 傅立叶分析频谱分析：把信号表示为不同频率正弦分量或复指数分量的加权和，简称信号的谱分析。傅立叶分析：用频谱分析的观念来分析系统，或

2、称为系统的频域分析。频域分析法在系统分析中极其重要，主要是由于：(1) 频域分析法易推行到复频域分析法，同时可以将两者一致同来；(2) 利用信号频谱的概念便于阐明和分析信号失真、滤波、调制等许多实践问题，并可获得明晰的物理概念；(3) 延续时间系统的频域分析为离散时间系统的频域分析奠定坚实根底。 (4) 简化了求解微分方程的过程傅立叶分析 3.2 周期信号的 傅立叶级数展开 周期信号: 定义在区间 ，每隔一定时间 T ，按一样规律反复变化的信号，如下图 。它可表示为 f (t)=f ( t+mT )周期信号其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。周期信号的特点：1它是一个

3、无穷无尽变化的信号，从实际上也是无始无终的，时间范围为 周期信号2假设将周期信号第一个周期内的函数写成 ，那么周期信号 可以写成3周期信号在恣意一个周期内的积分坚持不变，即有正交性:m 和 n 都是整数 一、周期信号的傅立叶级数 三角函数集:在区间 内是一完备正交函数集。正交性:m 和 n 都是整数 指数函数集在区间 内也是一完备正交函数集。一、周期信号的傅立叶级数 式中各正、余弦函数的系数 ，称为傅立叶系数。周期信号 ，周期为 ，角频率1. 三角方式的傅立叶级数该信号可以展开为下式三角方式的傅立叶级数：一、周期信号的傅立叶级数 根据正交函数展开实际，容易得到傅立叶系数公式如下式中积分可以取恣

4、意一个周期，普通情况下，取或一、周期信号的傅立叶级数 三角方式的傅立叶级数两种方式之间系数有如下关系:或一、周期信号的傅立叶级数 还可以写成下面方式其中直流分量： 基波：二次谐波： 依次类推，还有三次谐波、四次谐波、高次谐波等概念。 周期信号的傅立叶级数展开阐明周期信号可以分解为直流分量、基 波分量以及各次谐波分量之和。根据前面的傅立叶系数公式知道： 是 n 的偶函数， 是 n 的奇函数。 是 n 的偶函数， 是 n 的奇函数。一、周期信号的傅立叶级数 例：将图示的对称方波信号展成三角方式傅立叶级数解：直接代入公式有一、周期信号的傅立叶级数 直接代入公式有一、周期信号的傅立叶级数 所以有一、周

5、期信号的傅立叶级数 式中 称为傅立叶系数，是复数。周期信号 ，周期为 ，角频率该信号可以展开为下式复指数方式的傅立叶级数。2 . 复指数方式的傅立叶级数其中一、周期信号的傅立叶级数 分量的频率是 ，而分量 的频率是 。除了直流分量 ，单独一个 不能构成物理上一个谐波分量，必需是对称的两个分量 和 才构成物理上的一个谐波分量。在三角方式的傅立叶级数中，系数 中的下标变量取值范围为 ，在复指数方式的傅立叶级数中，系数 中的下标变量取值范围是一、周期信号的傅立叶级数 两种方式傅立叶级数中系数的关系:一、周期信号的傅立叶级数 例： 将图示周期矩形脉冲信号展成指数方式傅立叶级数解： 直接代入公式有所以一

6、、周期信号的傅立叶级数 1.周期信号的频谱为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。二、周期信号的频谱与功率谱 在傅立叶分析中，把各个分量的幅度 或 随频率或角频率 的变化称为信号的幅度谱。而把各个分量的相位 或 随频率或角频率 的变化称为信号的相位谱。幅度谱和相位谱通称为信号的频谱。三角方式的傅立叶级数频率为非负的，对应的频谱普通称为单边谱，指数方式的傅立叶级数频率为整个实轴，所以称为双边谱。例二、周期信号的频谱与功率谱 周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为 频谱图：假设把相位为零的分量的幅度看作正值，把相位为的分量的幅度看作负值，那

7、么幅度谱和相位谱可合二为一。幅度谱相位谱二、周期信号的频谱与功率谱 各条谱线顶点的联线称为谱线包络线。假设把按抽样函数规律变化的频谱包络线看成一个个起伏的山峰和山谷，其中最顶峰称为主峰。包含信号主要频谱分量的 这段频率范围称为矩形脉冲信号的有效频带宽度或带宽，即矩形脉冲的频带宽度为主峰高度 包络主峰两侧第一个零点为或二、周期信号的频谱与功率谱 (3) 收敛性谱线幅度随 而衰减到零。各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小。周期信号频谱的特点：(1) 离散性谱线是离散的而不是延续的，因此称为离散频谱；(2) 谐波性谱线所在频率轴上的位置是根本频率的整数倍

8、；二、周期信号的频谱与功率谱 典型周期信号的频谱T：脉冲周期：脉冲宽度A：脉冲幅度：三角函数公共周期第一步：首先展开为三角方式的傅立叶级数f(t)是偶函数bn=0二、周期信号的频谱与功率谱 第二步：展成指数方式傅立叶级数二、周期信号的频谱与功率谱 当 时第三步：频谱分析与之比值有关，取 与包络线均为为离散频率即二、周期信号的频谱与功率谱 计算第一个振幅为零的谐波次数n幅度频谱图1抽样函数令 将 代入得即 取 二、周期信号的频谱与功率谱 0 an 00Fn0Fn1等效于在频域中扩展 信号在时域中扩展a1等效于在频域中紧缩。在无线通讯中，通讯速度与占用带宽是一对矛盾。物理意义:信号的波形紧缩 a

9、倍，那么信号随时间变化加快 a 倍，那么它包含的频率分量也添加等效于在频域中扩展a倍，即信号的频谱扩展 a 倍。根据能量守恒定理，各频率分量大小必然减小a倍。信号与系统 四、尺度变换性质信号与系统 信号与系统 假设是尺度变换和时移同时发生，那么有下面性质：即四、尺度变换性质延时t0 尺度变换a延时t0 尺度变换a尺度变换a 延时t0/a尺度变换a 延时t0/a或信号与系统 假设 f (t) 是实函数五、共轭对称性 阐明：对实时间信号，信号的傅立叶变换的幅频为偶对称，相频为奇对称；实部为偶对称，虚部为奇对称。其中那么信号与系统 假设 f (t)为实偶函数，即 f (t) = f ( t) ，此时

10、 那么 F() R()必为 的实偶函数。五、共轭对称性 其中 是 的复共轭。 假设 f (t)为实奇函数，即f (t) = f ( t) ，此时那么 F() jX() 必为 的虚奇函数。对恣意信号 f (t) ，假设那么有信号与系统 假设 ，那么六、正反变换的对称性根据傅立叶反变换即有所以得亦即证明:假设 为实偶函数，那么信号与系统 六、正反变换的对称性阐明: 假设 f (t)的傅立叶变换为 F() ，那么外形为 F()的波形对应傅立叶变换就是 2 f (t) 。假设 f (t) 是实偶函数，那么时域与频域完全对称。信号与系统 六、正反变换的对称性例: 求取样信号 的频谱。解： 此题直接用傅立

11、叶变换的定义公式求信号频谱很费事，这里根据傅立叶变换的对称性来求。由前面知道，高度为 E ，宽度为 的对称矩形脉冲的频谱为 根据傅立叶变换的对称性，有上式中，令 ，E=1，那么有低通滤波器例例相移全通网络信号与系统 假设 七、时域卷积性质由时移性质得所以证明：那么即信号与系统 八、频域卷积性质令 得假设 所以证明：那么频域卷积也称调制定理，表示用信号去调制另一信号振幅。求系统的呼应。将时域求呼应，转化为频域求呼应。运用用时域卷积定理求频谱密度函数。利用频域卷积定理求傅立叶变换的傅立叶变换信号与系统 假设 , 那么九、时域微分性质证明：由傅立叶反变换两边对时间变量 t 求导得推行：对高阶导数情况

12、，有阐明：在频域分析中常利用这一性质来分析微分方程描画的LTI系统。信号与系统 假设 ， 那么十、时域积分性质证明：对信号的积分可以看成是信号与阶跃函数的卷积，然后利用时域卷积性质有假设 f (t) 的积分为零，即那么所以有信号与系统 解： f (t) 可表示为 十、时域积分性质例：知三角脉冲信号如下图， 求它的频谱 F()对其求一阶、二阶导数得信号与系统 十、时域积分性质图(a)可以看作是(c)积分两次得到，所以利用积分性质可得：信号与系统 解： f (t) 可表示为 十、时域积分性质例：知截平斜变信号如下图，求它的频谱 F()对其求导数得根据矩形脉冲频谱及时移性质知道 的频谱为信号与系统

13、由于 所以十、时域积分性质信号与系统 假设 ，那么十一、频域微分性质证明：对右边求导得推行：信号与系统 频域微分性质的运用：十一、频域微分性质解：解：信号与系统 假设十二、频域积分性质由于 利用对称性 那么信号与系统 3.6 信号抽样与抽样定理 信号与系统 信号抽样也称为取样或采样，是利用抽样脉冲序列 p (t) 从延续信号 f (t) 中抽取一系列的离散样值，经过抽样过程得到的离散样值信号称为抽样信号，用 fs (t) 表示。一、信号抽样 信号与系统 抽样的原理方框图:一、信号抽样 延续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需求再经量化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、处置等步骤后，再

14、经过上述过程的逆过程就可恢复原延续信号。周期信号需求处理两个问题：抽样信号 fs (t)的频谱Fs()与原延续信号 f (t)的频谱F()的关系；2. 在什么条件下可从抽样信号 fs (t)中无失真地恢复原延续信号 f (t) 。信号与系统 假设原延续信号 f (t)的频谱为 F()，即抽样脉冲 p (t) 是一个周期信号，它的频谱为一、信号抽样 所以抽样信号的频谱为其中， 为抽样角频率， 为抽样间隔 ， 为抽样频率， 在时域抽样离散化相当于频域周期化频谱是原延续信号的频谱以抽样角频率为间隔周期地延拓，频谱幅度受抽样脉冲序列的傅立叶系数加权。信号与系统 (1) 冲激抽样假设抽样脉冲是冲激序列，

15、那么这种抽样称为冲激抽样或理想抽样。一、信号抽样 冲激序列的傅立叶系数为所以冲激抽样信号的频谱为 抽样信号的频谱 是以 s 为周期等幅地反复信号与系统 频谱图：一、信号抽样 信号与系统 (2) 周期矩形脉冲抽样假设抽样脉冲是周期矩形脉冲，那么这种抽样称为周期矩形脉冲抽样。也称为自然抽样一、信号抽样 在矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期反复，但在反复过程中，幅度不再是等幅的，而是遭到周期矩形脉冲信号的傅立叶系数 的加权。周期矩形脉冲的傅立叶系数为那么抽样信号的频谱为 信号与系统 幅度不再是等幅，遭到周期矩形脉冲信号的傅立叶系数 的加权一、信号抽样 信号与系统 信号与系统 如何从抽样信号中恢

16、复原延续信号，以及在什么条件下才可以无失真地由抽样信号恢复原延续信号。著名的抽样定理对此作了明确而精辟的回答。 抽样定理在通讯系统、信息传输实际、数字信号处置等方面占有非常重要的位置，该定理在延续时间信号与系统和离散时间信号与系统、数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从实际上回答了为什么可以用数字信号处置手段处理延续时间信号与系统问题。二、时域抽样定理 信号与系统 二、时域抽样定理 时域抽样定理：一个频谱受限的信号 f (t) ，假设频谱只占据 的范围，那么信号 f (t)可以用等间隔的抽样值 独一地表示，只需抽样间隔 不大于 ，其中 为信号的最高频率，或者说，抽样频率 满足条件通常把满足

17、抽样定理要求的最低抽样频率 称为奈奎斯特频率，把最大允许的抽样间隔 称为奈奎斯特间隔 。信号与系统 时域抽样定理的图解：假定信号 f (t)的频谱只占据 的范围，假设以间隔 对 f (t)进展抽样，抽样信号 fs (t)的频谱 FS() 是以 S 为周期反复，在此情况下，只需满足条件 各频移的频谱才不会相互重叠。这样，抽样信号 fs (t) 保管了原延续信号f (t)的全部信息，完全可以用 fs (t) 独一地表示 f (t) ，或者说， f (t)完全可以由恢复出 fs (t) 。二、时域抽样定理 假设 ，那么原延续信号频谱在周期反复过程中，各频移的频谱将相互重叠，就不能从抽样信号中恢复原延

18、续信号。频谱重叠的这种景象称为频率混叠景象。信号与系统 二、时域抽样定理 信号与系统 在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为 的理想低通滤波器，即可从抽样信号 fs(t) 中无失真恢复原延续信号 f (t) 。三、延续时间信号的重建 信号与系统 由于所以，选理想低通滤波器的频率特性为假设选定 ，那么有理想低通滤波器的冲激呼应为假设选 ，那么而冲激抽样信号为三、延续时间信号的重建 信号与系统 那么延续低通滤波器的输出信号为阐明： 1信号可以展开成抽样函数的无穷级数，该级数的系数等于抽样值； 2假设在抽样信号的每个样点处，画出一个峰值为 的Sa函数波形，那么其合成信号就是原延续信号；结论：只需知各抽样值，就能独一地确定出原信号。三、延续时间信号的重建 信号与系统 留意：在实践工程中要做到完全不失真地恢复原延续信号是不能够的。三、延续