BB6_5几种常用的二次曲面与空间曲线

1、主讲教师: 王升瑞高等数学 第二十一讲1三、几种常用的空间曲线第五节一、旋转曲面 二、柱面几种常用的二次曲面与空间曲线 第六章 2定义1. 一条平面曲线一、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴 .例如 :3一、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴4一、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴5一、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴6一、旋转曲面定义

2、以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴7一、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴8一、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴9一、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴10一、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴11一、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成

3、的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴12一、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴13一、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴14一、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴15一、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴16下面我们重点讨论母线在坐标面,轴是坐标轴的故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线

4、 C: 则有则有该点转到建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:旋转曲面.17同理：当曲线绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程:例1. 旋转抛物面特点:母线C为抛物线,轴L为抛物线的对称轴。例如:将yoz平面上的抛物线C:绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:例如:将yoz平面上的抛物线C:绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:问:此曲线若绕x轴旋转所得的是何图形?18例2:其图形顶点在z轴上(0,0,1)处,开口向下的旋转抛物面.例3. 旋转椭球面特点:母线C为椭圆,轴为椭圆的对称轴.例如:yoz面上的椭圆:绕z轴旋转得旋转曲面方程:绕y轴旋转得旋转曲面方程:(0,0,1)注:旋转曲面的重要特

5、征是其两个变量的平方项系数相等.19例4. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方20例5. 求坐标面 xoz 上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为21二、柱面引例. 分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程解:在 xoy 面上，表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为故在空间过此点作圆柱面.对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面在圆C上任取一点 其上

6、所有点的坐标都满足此方程,22定义二、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.23定义二、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.24定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.二、柱面25定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面

7、的准线，动直线 L 叫柱面的母线.二、柱面26定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.二、柱面27定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.二、柱面28定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.二、柱面29定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.这

8、条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.二、柱面30定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.二、柱面31定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.二、柱面32定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.二、柱面33定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的

9、曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.二、柱面34定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.二、柱面35定义二、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.36定义2.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.z 轴的平面.表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)表示母线

10、平行于C 叫做准线, l 叫做母线.37一般地,在三维空间曲面图形的方程中缺少一个变量,柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线此方程表示柱面方程.其图形平行于所缺变量对应的数轴.38注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,在不同的坐标系中应该注意。一般在xoy面上的曲线，在空间直角坐标系中应该表示为：而在空间坐标系中表示柱面。例如：抛物柱面在xoz平面上的准线L339三、几种常用的空间曲线三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常

11、见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 )401、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度, 称为螺距 .41例1. 将下列曲线化为参数方程表示:解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为故所求为得所求为422、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为满足（1）的数中的必满足（2）式。这说明曲线

12、C上所有点都在（2）式所表示的曲面上。求其在 平面上的投影.432、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程44例2C 在xoy 面上的投影曲线方程为（1）（2）（3）代入（1）整理得求曲线C在xoy 面上的投影曲线方程。为投影柱面，45例3所围的立体在xoy 面上的投影上半球面和锥面在 xoy 面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域 .区域为:46例4求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xo

13、y 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 ,它与所给平面的47 (2)(1)展示空间图形48(3)4950思考:交线情况如何?交线情况如何?5152内容小结1. 空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如, 曲线绕 z 轴的旋转曲面: 柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .532. 二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面: 54 空间曲线三元方程组或参数方程 求投影曲线 (如, 圆柱螺线)3、几种常用的空间曲线55斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习1. 指出下列方程的图形:56P4